Неклассические перемещенные состояния света

По многим аспектам Вигнеровское представление произвольного состояния является лучшим компромиссом между классической функцией распределения и правильным квантово-механическим описанием. Но помимо функции Вигнера существует бесконечное количество функций квази-распределений. Все они выводятся из начальной соответствующей характеристической функции. Рассмотрим данные квази-распределения на примере одно-модовых состояний. Чтобы определить квази-распределения, введем параметр в характеристическую функцию

. (3.1.44)

Здесь используются аргументы и . Сравнивая (3.1.44) с (3.1.6), можно считать, что . Если значение параметра , то характеристическая функция (3.1.6) функции Вигнера следует из (3.1.44). Таким образом, значение соответствует функции Вигнера. Значение параметра лежит в диапазоне от до . Поскольку непрерывный параметр может принимать любое значение, то количество функций квази-распределения является бесконечным.

Как правило в научной литературе не рассматриваются функции квази-распределения, соответствующие промежуточным значениям . Исследователи, как правило, ограничиваются функциями квази-распределений, которые соответствуют крайним значениям и . Данные функции имеют свои собственные названия. Так значению соответствует функция квази-распределения , которая известна в научной литературе под названием функция. Впервые такая функция была введена в работах [143,144], с помощью которой была выписана формула для произвольной матрицы плотности

, (3.1.45)

где интегрирование производится по всей комплексной плоскости. Можно показать, что выражение (3.1.45) можно вывести из ее характеристической функции (3.1.44). Другая функция квази-распределения, соответствующая значению , известна в научной литературе как функция, которая в общем виде определяется как

. (3.1.46)

функция всегда положительна и ограничена в диапазоне

Каждая из функций квази-распределения (функция, функция Вигнера, функция) обладает своими собственными свойствами. Среднее значение определенной комбинации операторов рождения и уничтожения может быть вычислено с помощью соответствующей функции квази-распределения [138]. Свойства функции Вигнера рассмотрены достаточно подробно, свойства и функций не рассматриваются. В целом можно сказать, что функция является самой худшей функцией квази-распределения с точки зрения классической физики. Помимо областей отрицательности функция может иметь сингулярности типа дельта функции Дирака. Например, функция когерентного состояния является дельта функцией Дирака. Функция Вигнера уже не имеет сингулярностей (3.1.21), но может иметь области, где она принимает отрицательные значения. И наконец, функция является положительной на всей комплексной плоскости. Данное наблюдение за функциями квази-распределения наводит на мысль как ввести меру неклассичности произвольного состояния.

Рассмотрим введение количественной меры неклассичности. Используем функцию данного состояния. Данная функция неклассического состояния может обладать всеми возможными дефектами, которые отличают ее от классической функции. Усредним данную функцию со всеми ее дефектами (сингулярности, отрицательные области) в каждой точке фазовой плоскости с Гауссовым распределением шириной, определяемой величиной

, (3.1.48)

где интегрирование проводится по всей комплексной плоскости, а функция квази-распределения вероятности вакуумного состояния с некоторым значением (3.1.44) имеет вид

. (3.1.49)

Можно показать, функция смеси когерентного и хаотического света имеет такой же вид как (3.1.49), где --- среднее число фотонов в моде. Таким образом, интеграл (3.1.48) представляет конволюцию функцию произвольного состояния с функцией некоторого шума.

Для каждой функции существует определенное значение параметра , при котором становится положительной для . Соответственно, такое значение рассматривается как мера неклассичности исходного состояния [145]. Верхний индекс означает, что рассматривается одно-модовое состояние. Мера неклассичности может быть введена и для модового состояния [146]. С качественной точки зрения меру неклассичности можно интерпретировать следующим образом. Возьмем наихудшую функцию квази-распределения вероятностей любого состояния, именно функцию, со всеми ее дефектами и смешаем это состояние с классическим шумом. Мера неклассичности состояния может быть интерпретирована (на понятийном уровне) как некое количество классического шума, которое необходимо задействовать при смешении с исходным состоянием, чтобы на выходе избавиться от всех дефектов функции квази-распределения с классической точки зрения. Мера неклассичности находится в диапазоне , где соответствует классическому состоянию, в то время как значения относятся к неклассическим состояниям. Соответственно, значение можно принять за меру классичности произвольного состояния.

Теорема, доказанная в работе [147], утверждает, что мера неклассичности одно-модового чистого состояния, кроме Гауссовых состояний (3.1.39, 3.1.41), всегда равна , то есть чистое состояние всегда обладает наивысшей мерой неклассичности. Мера неклассичности Гауссовых состояний находится в диапазоне от до . Так например, мера неклассичности сжатого вакуума (Гауссовое состояние)

(3.1.50)

равна

(3.1.51)

где --- амплитуда сжатия одной из квадратурных компонент оператора сжатия (2.3.13). Интересно, что мера неклассичности двух-модового сжатого вакуума (Гауссовое состояние)

(3.1.52)

также равна (3.1.51). Если значение сжатого параметра становится равным нулю (вакуум), то (классическое состояние). Когерентное состояние также имеет меру неклассичности . Довольно часто в научной литературе говорят, что когерентное, и в частности вакуумное, состояние находится на границе между классическими и неклассическими состояниями. Если значение сжатого параметра стремится к бесконечности (EPR состояние [2]), то тогда .

Интересно, что мера неклассичности не позволяет различить чистые одно-модовые состояния друг от друга. Происходит только прыжок меры неклассичности при переходе от чистых Гауссовых состояний к чистым не Гауссовым и физическая природа такого прыжка не очевидна и не понятна. В тоже время мера неклассичности для смешанных состояний меняется непрерывно от до . Существует не доказанное предположение, что степень неклассичности двух-модового не Гауссового чистого состояния также равна . И даже более. По аналогии можно предположить, что мера неклассичности модового чистого состояния, кроме Гауссовых состояний, равна . Можно допустить, что мера неклассичности модового Гауссового состояния ограничена в диапазоне . Но данное предположение является не доказанным.

Степень смешанности произвольного состояния определяется как

. (3.1.53)

Степень смешанности равна для чистого состояния. Для смешанног состояния . Степень смешанности для Гауссового состояния может быть вычислена как

. (3.1.54)

Стоит отметить, что если одно-модовое чистое состояние ортогонально какому-либо когерентному состоянию , то тогда данное состояние является максимально неклассическим с [147]. Из теоремы о представлении произвольного чистого состояния

(3.1.55)

(раздел 2.2) следует, что если хотя бы для одного значения , то тогда данное состояние является максимально неклассическим с . Рассмотрим четную и не четную СКС (2.2.37). Формулы (2.2.41) и (2.2.49) представляют разложение (3.1.55) для четной и не четной СКС. Коэффициенты пропорциональны и для четной и не четной СКС, соответственно. Очевидно, что при любом значении всегда можно подобрать такие значения , которые обеспечивают . Это означает, что мера неклассичности для четной и не четной СКС всегда максимальна . Теорема о представлении применима к произвольному когерентному кубиту (1.5.2) независимо от значений его волновых амплитуд. Рассмотрим когерентный кубит в форме (3.1.55). Находим выражение для его . Можно показать, что всегда можно найти такое значение , которое обеспечивает , что означает, что для любого когерентного кубита с произвольными волновыми амплитудами.

В научной литературе используется другая мера неклассичности отличная от параметра . Функция Вигнера (3.1.8) может быть рассмотрена как оптимальное квази-распределение вероятностей, так как значение ее параметра лежит посередине между крайними значениями (функция) и (функция). Функция Вигнера не обладает сингулярностями, поскольку она ограничена (3.1.21). Тем не менее функция Вигнера может иметь области, где она принимает отрицательные значения . Вторая возможная мера неклассичности основывается именно на этом факте. Согласно определению [106] состояние считается неклассическим, если оно обладает такими областями, в которых наблюдается . Если условие выполняется на всей комплексной плоскости, то такое состояние является классическим. Стоит отметить, что для чистых Гауссовых состояний (3.1.41) всегда выполняется условие . Это означает, что чистое Гауссовое состояние является классическим согласно второму определению неклассичности. В тоже время Гауссовое состояние (3.1.41) является неклассическим, так как (3.1.51).

Преобразование Гауссовых состояний света в не Гауссовые с помощью извлечения фотонов

Используем оптическую схему на рисунке 2.8 для описания процесса де-Гауссификации света [72,148].. Как уже отмечалось в разделе 2.3 чистые Гауссовые состояния, а именно сжатые когерентные состояния (3.1.27-3.1.30), используются в качестве входных базисных состояний. В новой формулировке задачи, рассмотренной в разделе 2.3 с использованием упрощенной модели, основная мода находится в Гауссовом состоянии с соответствующей КМ [72,148]

, (3.2.1)

где верхний индекс означает общее число мод, тогда как нижний индекс --- это номер выбранной моды. В частности, мы имеем и в формуле (3.2.1). Coгласно рисунку 2.8 моды и изначально находятся в вакуумном состоянии со следующими КМ и

, (3.2.2)

и нулевыми средними значениями . Окончательно, начальная КМ трех-модового состояния является диагональной и имеет следующий вид

. (3.2.3)

Вектор-столбец

(3.2.4)

определяет средние значения исходного трех-модового Гауссовго состояния.

Выше уже отмечалось, что элементы КМ (3.1.40) зависят от используемой нормировки операторов координаты и импульса (3.1.31, 3.1.32). Так, например, диагональные элементы КМ (3.2.1) и параметры , для сжатого когерентного состояния (2.3.11, 2.3.12) равны

, (3.2.5)

, (3.2.6)

, (3.2.7)

(3.2.8)

в случае используемой нормировки (3.1.31, 3.1.32). Такая нормировка ответственна за дополнительный множитель для диагональных элементов КМ (3.2.5, 3.2.6) и множитель для средних значений оператора координаты и импульса (3.2.7, 3.2.8). Другой множитель появляется в случае использования отличной нормировки операторов. В выражениях (3.2.1-3.2.4) нормировочный множитель не используется [72,148]. Но стоит иметь в виду, что соответствующий нормировочный множитель должен быть введен в окончательные формулы в случае окончательного выбора той или иной нормировки. Стоит также отметить, что квадратурная компонента сжата (импульсно-сжатое состояние), в то время как квадратурная компонента расширена в случае . В случае ситуация меняется на противоположную. Для квадратурных компонент (3.2.5, 3.26) выполняется условие . В частности, произведение квадратурных компонент чистого сжатого когерентного состояния равно .

Как уже отмечалось выше, Гауссовые операции сохраняют Гауссовую природу начальных состояний, изменяя только первые и вторые моменты преобразованного Гауссового состояния. Так не измеренная ковариантная матрица трех-модового состояния на рисунке 2.8

, (3.2.9)

где и --- операторы пучкового делителя (2.3.14), и --- эрмитово-сопряженные, преобразуется согласно следующему соотношению

, (3,2.10)

где матрицы преобразования пучкового и следуют из (2.3.15)

, (3.2.11)

, (3.2.12)

где --- это единичная матрица.

Перемножая матрицы (3.2.10), можно выписать аналитические соотношения для элементов выходной КМ

, (3.2.13)

, (3.2.14)

, (3.2.15)

, (3.2.16)

где коэффициенты имеют следующий вид

, (3.2.17)

, (3.2.18)

, (3.2.19)

, (3.2.20)

, (3.2.21)

, (3.2.22)

, (3.2.23)

. (3.2.24)

Соответственно, начальный вектор-столбец (3.2.4) преобразуется в конечный как

.

(3.2.25)

Эти модифицированные первые и вторые моменты трех-модового Гауссового состояния (3.2.9) полностью определяют ее характеристическую функцию и окончательно функцию Вигнера.

Отраженная мода (мода ) высоко пропускающего пучкового делителя направляется на два APD через равновесный дополнительный пучковый делитель. Чтобы описать действие APD с квантовой эффективностью , воспользуемся математическим аппаратом POVM (positive operator valued measure) [65]. Элементы POVM детектора имеют вид

, (3.2.26)

. (3.2.27)

Оператор, описывающий регистрацию одновременных кликов двумя APD в модах и (Рис. 2.8), имеет форму тензорного произведения двух операторов

. (3.2.28)

Соответственно успешная регистрация двух одновременных кликов во вспомогательных модах на Рис. 2.8 генерирует выходное состояние

, (3.2.29)

где --- это след матрицы по соответствующим модам . Предполагается, что квантовые эффективности обоих APD одинаковы .

Характеристическая функция оператора имеет вид

, (3.2.30)

где --- двух-мерная Дельта функция Дирака. Характеристическая функция выходного состояния (3.2.29) вычисляется как

, (3.2.31)

где , и --- комплексные переменные. Характеристическая функция Гауссового состояния (3.2.9) формируется с помощью моментов первого (3.2.25) и второго порядков (3.2.10). Характеристическая функция дана формулой (3.2.30). Параметр --- это нормировочный множитель или то же самое вероятность регистрации двух одновременных кликов во вспомогательных модах на рисунке 2.8. Интеграл (3.2.31) является суммой четырех Гауссовоых интегралов с соответствующими КМ. Окончательный результат содержит три члена

, (3.2.45)

, (3.2.46)

где

, (3.2.47)

. (3.2.48)

Вероятность успеха, зарегистрировать два одновременных клика во вспомогательных модах на рисунке 2.8 может быть рассчитана с помощью формул (3.2.44-3.2.46)

. (3.2.49)

Окончательная функция Вигнера может быть получена Фурье-преобразованием (3.1.8) характеристической функции (3.2.32). Значения параметров , , , начального Гауссового состояния (3.2.1), параметр пучкового делителя и квантовая эффективность используемых APD полностью определяют выходную функцию Вигнера. Очевидно, что выходное состояние (3.2.29) уже не является Гауссовым состоянием, так как ее функция Вигнера не может быть уже представлена в виде (3.1.41). Данное обстоятельство следовало ожидать заранее, так как извлечение фотонов (оператор уничтожения) является не Гауссовой операцией. Процесс де-Гауссификации исходного Гауссового состояния света не Гауссовыми операторами описывается формулой (3.2.31). Тем не менее, выходное не Гауссовое состояние (3.2.32) может приближаться достаточно близко к Гауссовому состоянию

(3.2.50)

в случае или . Действительно, амплитуды (3.2.45) и (3.2.46) в случае или . Можно сказать, что выходное состояние асимптотически приближается к Гауссовому состоянию и точность между состояниями стремится к единице в случае или .

Рассмотрим значения параметров Гауссового состояния, являющегося предельным для сгенерированного не Гауссового (3.2.32). Элементы КМ Гауссового состояния (3.2.33) равны

, (3.2.51)

. (3.2.52)

Это означает, что среднеквадратичное отклонение квадратурной компоненты увеличивается, в то время как среднеквадратичное отклонение квадратурной компоненты уменьшается по сравнению с исходными значениями этих параметров. Степень смешанности для Гауссового предельного состояния (3.2.33) равна

(3.2.53)

в случае . Неравенство (3.2..53) означает, что выходное предельное состояние на рисунке 2.8 становится смешанным, даже если на входе оно было чистым. И только в предельном случае , степень смешанности предельного состояния стремится к единице . Мера неклассичности предельного Гауссового состояния (3.2.33) равна

. (3.2.54)

Мера неклассичности (3.2.54) стремится к (3.1.51) входного состояния в случае .

Естественно, что не Гауссовая операция (не Гауссовые операторы рождения и уничтожения) трансформирует изначально Гауссовое состояние в не Гауссовое. Интересно другое. Увеличение значений первых моментов (3.2.4) или тоже самое средних значений ведет к тому, что генерируемое не Гауссовое состояние очень близко приближается к Гауссовому состоянию, тем не менее оставаясь все время не Гауссовым. Можно даже предположить, что генерируемое состояние остается только максимально не Гауссовым в случае . Как следует из формул (3.1.51, 3.2.54), первые моменты Гауссового состояния не влияют на меру неклассичности. В тоже время средние значения могут быть связаны с некоторой мерой макроскопичности, которая до настоящего времени еще не определена. На понятийном уровне можно сказать, что чем больше значения средних моментов, тем более макроскопическое состояние используется. Тогда извлечение нескольких фотонов (не Гауссовая операция) из такого состояния ведет к генерации состояния достаточно близкого к изначальному Гауссовому (3.2.50). Это напоминает действие операторов уничтожения на когерентное состояние. Имеет место следующее соотношение для классического когерентного состояния

(3.2.55)

независимо от значений и . Соотношение (3.2.55) означает, что не Гауссовая операция извлечения фотонов не изменяет структуру когерентного состояния. Стоит отметить, что результат (3.2.55) прямо следует из формул (3.2.32-3.2.48). Для изначально когерентного состояния имеет место равенство среднеквадратичных отклонений , что дает для выходного сгенерированного состояния. Окончательная характеристическая функция в данном случае имеет вид

. (3.2.56)

Данная функция --- это характеристическая функция когерентного состояния со средними значениями и , что и следовало ожидать согласно (3.2.55). Отметим только, что результат действия оператора рождения на когерентное состояние уже не будет классическим состоянием, что рассматривается в следующем разделе.

Таким образом, генерируемое не Гауссовое состояние (3.2.32) может быть использовано в протоколах квантовой информатики в случае небольших значений средних значений начального состояния. Поскольку в схеме на рисунке 2.8 используются APD, которые не в состоянии различить количество приходящих фотонов, то выходное состояние является смешанным. Точность между сгенерированными не Гауссовыми состояниями (3.2.32) и чистыми состояниями СПСКС (3.1.22) может быть рассчитана с помощью характеристических функций искомых состояний согласно выражению (3.1.20)

, (3.2.57)

где --- характеристические функции сгенерированных не Гауссовых состояний, а --- характеристические функции СПСКС (3.1.22). Подставляя функции (3.1.22, 3.2.32) в интеграл (3.2.57) и выполняя интегрирование по всей комплексной плоскости, получаем выражение для точностей

, (3.2.58)

, (3.2.59)

, (3.2.60)

, (3.2.61)

, (3.2.62)

, (3.2.63)

, (3.2.64)

, (3.2.65)

, (3.2.66)

, (3.2.67)

где и .

В общем случае зависимость точности (3.2.58) от исходных параметров и экспериментальных параметров является довольно сложной и едва ли удобна для аналитического анализа. Но тем не менее, данное выражение --- это общая формула, которая может быть использована для численного поиска оптимальных значений параметров. Возможны различные вариации зависимостей точности от используемых параметров [72]. Так в качестве примера используем выражение (3.2.58) для построения трехмерной зависимости от амплитуды СПСКС и степени смешанности изначально Гауссового состояния. На рисунках 3.1 и 3.2 представлены максимально возможные значения и , соответственно, от данных параметров. Оптимальные значения, которые обеспечивают данные точности, не представлены. Выходные не Гауссовые состояния аппроксимируют не ортогональные друг другу четную и не четную СПСКС на рисунках 3.1 и 3.2. Из данных графиков видно, что уменьшение степени смешанности ведет к значительному уменьшению точностей выходных состояний. Случай (изначально чистое Гауссовое состояние) полностью соответствует данным, которые могут быть получены на основе упрощенной модели, представленной в разделе 2.3. Кривые и на рисунке 2.13 и часть трехмерного графика с на рисунках 3.1 и 3.2 совпадают друг с другом с высокой точностью.

Формула (3.2.58) может быть использована для поиска оптимальных значений параметров генерируемых состояний, которые аппроксимируют ортогональные суперпозиционные состояния гейта Адамара. Чтобы это показать, наложим соответствующие ограничения на значения параметров. Выберем среднеквадратичные отклонения и (3.2.1) изначально Гауссовых состояний одинаковыми друг другу.

 

Значения параметров четной и не четной СПСКС также выбираются одинаковыми. Меняются только значения средних значений квадратурной компоненты и . Такое выбор значений параметров возможен. Так средние значения сжатых когерентных состояний прямо пропорциональны амплитуде когерентного состояния (3.2.7, 3.2.8), в то время как среднеквадратичные отклонения этих же состояний (3.2.5, 3.2.6) не зависят от амплитуды когерентного состояния. Трехмерные графики точностей и между генерируемыми не Гауссовыми состояниями и четной и не четной СПСКС в зависимости от и показаны на рисунках 3.3 и 3.4, соответственно. Данные состояния аппроксимируют с высокой точностью выходные состояния матрицы Адамара. Изменение только среднего значения начальных Гауссовых состояний от к при одинаковых значениях других параметров дает возможность генерировать четную или не четную СПСКС. Случай соответствует кривой на рисунке 2.10, которая получена в случае использования упрощенной модели. Это доказывает корректность и применимость упрощенного метода, рассмотренного в Главе 2, к задачам по извлечению фотонов из начальных состояний. Наблюдается уменьшение значений точностей на рисунках 3.3 и 3.4 с уменьшением параметра также как на рисунках 3.1 и 3.2. Таким образом можно считать, что наибольшие точности генерируемых состояний достигаются для изначально чистых состояний. Включение даже не больших примесей к чистым состояниям ведет к существенному ухудшению качества выходных состояний, что является общей чертой данного типа преобразования.

Общее выражение (3.2.32) для генерируемого не Гауссового состояния позволяет получить и другие интересные с экспериментальной точки зрения характеристики этого состояния. Более подробно данные вопросы изложены в работах [69-72, 148]. Рассмотрим только два частных примера. Аналитическое выражение для вероятности успеха сгенерировать четную и не четную СПСКС дано формулой (3.2.49). Подставляя значения параметров, которые обеспечивают точности на рисунках 3.3 и 3.4, построим следующий график от , показанный на рисунке 3.5. Данный график соответствует случаю чистых входных состояний с . Увеличение параметра пучкового делителя ведет к увеличению вероятности успеха. Но очевидно, что увеличение параметра пучкового делителя также ведет к генерации менее качественных состояний, так как тогда уже могут регистрироваться состояния с большим числом фотонов, что ведет к уменьшению степени смешанности выходных состояний. Поэтому значение параметра пучкового делителя должно выбираться не большим, что ведет к равенству . Данное обстоятельство позволяет сделать вывод, что оптическая схема на рисунке 2.8 действительно реализует прямое действие матрицы Адамара на входных состояниях, как это обсуждалось в разделе 2.5.

Другой пример представлен на рисунке 3.6, на котором показана зависимость меры неклассичности генерируемого не Гауссового извлеченного двух-фотонного состояния от амплитуды СПСКС [149]. Данная величина вычисляется на основе общего определения меры неклассичности (3.1.48) с помощью характеристической функции генерируемого состояния (3.2.32). Рассмотрен частный случай генерируемого не Гауссового состояния с , точность которого с четной СПСКС представлена на рисунке 3.1. Ранее отмечалось, что данное состояние аппроксимирует четную СПСКС с наибольшей точностью. Стоит ожидать, что мера неклассичности такого состояния будет близка к единице. Численные расчеты подтверждают данное предположение. Мера неклассичности генерируемого состояния почти равна единице. Тем не менее всегда выполняется условие для данного состояния, что отражает тот факт, что генерируемое состояние является смешанным и аппроксимирует четную СПСКС с точностью меньшей единицы.

Подобный анализ может быть проведен и для не Гауссовых состояний, из которых извлечено большее (чем два) число фотонов (Рис. 2.9). Рассмотрим функции Вигнера не Гауссовых состояний, которые генерируются посредством извлечения трех фотонов из изначально Гауссовых состояний (3.2.1). Логично рассмотреть случай изначально чистых Гауссовых состояний с , так как, как следует из предыдущего анализа, наибольшая точность наблюдается именно с такими состояниями. Так на рисунках 3.7 и 3.9 показаны функции Вигнера 3PSS состояний и . Соответственно, на рисунках 3.8 и 3.10 показаны функции Вигнера чистых состояний четной и не четной СПСКС для сравнения с состояниями, которые аппроксимируют их. Данные функции Вигнера построены на основе реалистической модели с учетом не совершенства оптических приборов. При построении функций Вигнера на рисунках 3.7-3.10 были использованы те же самые значения параметров, которые были найдены при анализе этой задачи на основе упрощенной модели (кривая на рисунке 2.10).



Вероятности успеха сгенерировать не Гауссовое состояния, которые аппроксимируют четную и не четную СПСКС, в зависимости от параметра пучкового делителя . Кривая соответствует , кривая описывает . Амплитуда СПСКС выбрана равной .

График зависимости меры неклассичности не Гауссового извлеченного двух-фотонного состояния от в случае и . Соответствующая точность данного состояния с четной СПСКС показана на рисунке 3.1 в случае .



График функции Вигнера не четной СПСКС с амплитудой

Зависимость точностей между генерируемыми не Гауссовыми 3PSS состояниями и четной и не четной СПСКС от в случае , . Кривые и описывают и , кривая построена на основе упрощенной модели (кривая на рисунке 2.10). Все остальные значения параметров для расчета кривых и взяты из результатов анализа оптической схемы на рисунке 2.9 на базе упрощенной модели. Наблюдается не большое различие значений точностей, полученных в реальной и упрощенных моделях.

Даже визуальное наблюдение показывает сильную схожесть сравниваемых функций Вигнера. Как для идеальных функций , , так и для их аппроксимаций наблюдаются пики и интерференционные биения. Соответствующие значения точностей равны и .

Более подробное сравнение результатов, полученных на основе использования реальной и упрощенной моделей, следует из графиков на рисунке 3.11. Кривые и описывают эволюцию точностей и при изменении . Кривая построена на основе упрощенной модели, представленной в разделе 2.3 (кривая на рисунке 2.10). Верхний дополнительный индекс используется в обозначении величины , чтобы отличать ее от точностей, полученных в реалистической модели. Значения параметров, которые обеспечивают значения точностей (раздел 2.3), использовались в расчетах в реалистической модели. Если данные значения параметров обеспечивают равенство в упрощенной модели, то эти же значения уже не гарантируют равенство в реалистической модели. Наблюдается не равенство значений точностей . К тому же расчеты показывают, что в общем случае имеет место . Это подтверждает корректность использования упрощенных моделей при анализе подобного рода задач с качественной точки зрения. Но может наблюдаться не большое количественное расхождение в окончательных значениях. Но данное количественное различие результатов является логическим, так как в реалистической модели используется большее количество параметров по сравнению с упрощенной моделью. Некоторые параметры не используются в упрощенной модели. Изменяя значения параметров и , можно сделать различие результатов двух моделей меньшим.

Таким образом, было доказано, что упрощенная и реальная модели оптических схем на рисунках 2.8, 2.9 дают качественно одинаковые результаты в случае извлечения двух и трех фотонов. Можно по аналогии предположить, что качественное согласие результатов, следующих из упрощенной и реальной моделей, будет наблюдаться и для состояний, из которых извлекли 4 и более фотонов. Анализ реалистической модели подтверждает возможность реализовать оптический аналог прямого действия преобразования Адамара. Можно было сразу приступить к анализу обсуждаемых оптических схем на основе реалистической модели. Но едва ли такой подход уместен в силу своей математической сложности. Упрощенная модель позволяет задействовать в анализе меньшее количество параметров, чтобы рассмотреть возможность реализации элементарных квантовых гейтов и сделать важные выводы относительно поведения изучаемой системы. Так упрощенная модель показывает, что качество генерируемых состояний улучшается с увеличением числа извлекаемых фотонов из начальных состояний. Реалистическая модель позволяет уточнить результаты упрощенной модели и расширить анализ, например, включить в рассмотрение параметры, которые играют существенную роль в реальном эксперименте. Так в реальной модели принимается во внимание включение примесей к базисным входным состояниям, параметр пучкового делителя и квантовая эффективность используемых APD. Поэтому результаты реальной модели (3.2.58) максимально близко приближаются к тем результатам, которые могут быть получены в оптическом эксперименте. Более того, результаты, проистекающие из реальной модели, позволяют понять причины возможного отклонения теоретических и экспериментальных результатов друг от друга, что, заметно наблюдается в оптических экспериментах, например, в работе [74] по генерации оптического аналога кота Шредингера. В изучаемом случае такой существенной причиной (вполне возможно не заметной) может стать не полная чистота исходных входных состояний (Рис. 3.1-3.4). Стоит отметить, что реальная модель строится на основе упрощенной модели. Это означает корректность и взаимосвязь совместного использования как упрощенной, так и реалистической моделей при анализе подобного типа задач.

Разложение двух-фотонного сжатого вакуумного состояния и суперпозиции вакуума и единичного фотона по перемещенным фотонным состояниям, метод извлечения перемещенных фотонных состояний как способ генерировать новые состояния и использование данного метода для реализации элементарных квантовых гейтов

В разделе 2.2 был представлен математический метод разложения перемещенных фотонных состояний с произвольным параметром перемещения в терминах перемещенных фотонных состояний с отличным параметром перемещения. Коротко говоря, решение данной проблемы заключено в нахождении скалярного произведения перемещенных состояний с различными амплитудами перемещения [150]

. (3.3.1)

Данное скалярное произведение выражается через специальные функции [150], что является существенным затруднением в понимании и применении данных выражений к практическим вычислениям в квантовой оптике. Метод вывода представления, предложенный в разделе 2.2, является более наглядным и приспособленным к реалистическим вычислениям. Стоит также отметить, что свойства перемещенных состояний подробно изучались в работах [151,152].

В частности, представление было получено для СКС состояний (2.2.38-2.2.40). Естественно, что данный подход не ограничивается только СКС состояниями. Интересно получить представления и других неклассических состояний света, которые используются в квантовой обработке информации. Более того, метод извлечения перемещенных фотонных состояний, о котором уже говорилось в разделе 2.3, может стать новым мощным способом как для генерации новых неклассических состояний света, так и для реализации обусловленных квантовых протоколов [153]. Рассмотрим данный подхода на примере состояния двух-модового сжатого вакуума (3.1.52).

Двух-модовое сжатое вакуумное состояние (3.1.52) генерируется посредством применения двух-модового оператора сжатия с параметром сжатия . Известное выражение двух-модового сжатого вакуума (3.1.52) представлено в терминах фотонных состояний. По данной причине данное выражение можно назвать представлением в рамках математического подхода, развитого в разделе 2.2, поскольку . Найдем представление двух-модового сжатого состояния с произвольным значением амплитуды перемещения . Представим двух-модовое сжатое состояние (3.1.52) в виде матричного произведения

, (3.3.2)

где бесконечные вектор столбцы имеют вид

, (3.3.3)

, (3.3.4)

где символ означает транспонирование матрицы.

Вектор столбец может быть записан как матричное произведение унитарной матрицы (2.2.23) на бесконечный вектор столбец перемещенных фотонных состояний (2.2.23), что позволяет представить матричное произведение в следующем виде

. (3.3.5)

Введем бесконечный вектор-столбец новых состояний как

, (3.3.6)

что позволяет переписать двух-модовое сжатое состояние (3.3.2) как

. (3.3.7)

Волновое не нормированное состояние является бесконечной суперпозицией фотонных состояний

. (3.3.8)

Волновые амплитуды суперпозиции (3.3.8) формируются из элементов столбца унитарной матрицы (2.2.23) посредством дополнительного умножения на множитель Вклад дополнительного множителя проистекает из действия оператора двух-модового сжатия. Можно доказать, что волновая амплитуда для произвольного значения может быть разложена в конечный ряд по следующему набору базисных функций

, (3.3.9)

где . Набор базисных функций состоит из члена. Математическое доказательство данного факта является достаточно сложной задачей и здесь не приводится. Стоит только отметить, что коэффициенты в формуле (3.3.8) являются функцией амплитуды , в то время как аргумент базисных функций (3.3.9) определяется выражением . Амплитуды разложения волновой амплитуды по базисным функциям находятся из решения матричных уравнений, которые здесь не приводятся в виду их сложности и громоздкости. Можно показать, что разложение по базисным функциям (3.3.9) для произвольного значения имеет вид

, (3.3.10)

где амплитуды разложения определяются как

, (3.3.11)

, (3.3.12)

, (3.3.13)

, (3.3.14)

, (3.3.15)

. (3.3.16)

Рассмотрим следующую матрицу

, (3.3.17)

которая поясняет суть проделанных преобразований. Первый бесконечный столбец --- это столбец фотонных состояний от до . Последний бесконечный столбец с элементами , где меняется от до , описывает состояние (3..3.8). Первая строка матрицы (3.3.17) --- это строка из амплитуд разложения (3.3.11-3.3.16), где меняется от до . Базисные функции, по которым происходит разложение элементов последнего столбца , расположены в последующих строках матрицы. Можно доказать, что амплитуды разложения для каждого набора базисных функций одинаковы. Также базисные функции сгруппированы по столбцам, каждый из которых соответствует определенной амплитуде разложения. Можно заметить, что столбцы из элементов , где индекс соответствует номеру столбца, а параметр меняется от до , формируют перемещенное фотонное состояние с амплитудой перемещения с учетом нормировочного множителя . Действительно, данное равенство следует из сравнения столбцов матрицы (3.3.177) со строками матрицы (2.2.24). Суммируя сказанное про матрицу (3.3.17), отметим только, что состояние с произвольным значением параметра может быть представлено как бесконечная суперпозиция фотонных состояний с волновыми амплитудами (последний столбец матрицы) или как конечная суперпозиция перемещенных фотонных состояний с амплитудами разложения (последняя строка матрицы).

Таким образом, состояние (3.3.8) может быть представлено как

, (3.3.18)

где волновые амплитуды имеют вид

, (3.3.19)

, (3.3.20)

, (3.3.21)

, (3.3.22)

, (3.3.23)

, (3.3.24)

где

. (3.3.25)

Рассмотрим конечную сумму фотонных состояний . Можно заметить, что величины (3.3.19-3.3.24) являются коэффициентами разложения степени оператора

. (3.3.26)

Отметим, что имеет место следующее соотношение

. (3.3.27)

Тогда состояние (3.3.18) может быть окончательно переписано как

, (3.3.28)

где параметр определяется как

. (3.3.29)

Окончательно, состояние двух-модового сжатого вакуума (3.3.2) определяется как

, (3.3.30)

где нормированное состояние имеет вид

(3.3.31)

и нормировочный множитель дается выражением

. (3.3.32)

В формуле (3.3.31) использован оператор рождения перемещенного фотонного состояния

(3.3.33)

с амплитудой перемещения . Соответственно вводится оператор уничтожения перемещенного фотонного состояния с той же самой амплитудой

. (3.3.34)

По аналогии с оператором числа фотонов вводим оператор числа перемещенных фотонов

. (3.3.35)

Действительно, по аналогии с (2.2.3, 2.2.4) имеем

, (3.3.36)

, (3.3.37)

. (3.3.38)

В случае состояния двух-модового сжатого вакуума (3.3.30) оператор рождения перемещенного фотонного состояния действует на вакуумное состояние. Поэтому и состояния (3.3.31) преобразуются к соответствующей суперпозиции. Выражение (3.3.30) является представлением двух-модового сжатого вакуума и применимо к произвольному значению параметра перемещения . Данное состояние в представлении зависит от двух параметров и . Интересно только отметить, что амплитуды перемещения и в коррелированных модах отличаются друг от друга. В силу симметрии состояния двух-модового сжатого вакуума состояния в модах (3.3.30) могут быть поменяться местами. Рассмотрим случай . Тогда параметр (3.3.29) становится равным нулю , что ведет к тому, что выражение (3.3.30) преобразуется к общеизвестному виду (3.3.2) [66]. В случае если параметр сжатия стремится к бесконечности , то согласно определению (3.3.29) параметр . В данном предельном случае получаем следующее не физическое ЭПР состояние [2] в представлении

, (3.3.39)

состояние, в котором вероятности нахождения состояний одинаковы для любых значений .

Вероятность обнаружить коррелированное состояние двух перемещенных фотонных состояний в состоянии двух-модовом сжатого вакуума равна

. (3.3.40)

Зависимость распределения вероятностей перемещенных фотонных состояний в двух-модовом сжатом вакууме от для различных значений и .

Можно показать, что выполняется условие нормировки

 (3.3.41)

для любых значений и . Примеры зависимостей вероятностей от для различных значений и показаны на рисунке 3.12. Как видно из данных графиков распределение принимает максимальное значение при некотором значении . Значение величины , при котором распределение принимает максимальное значение, зависит от параметров и . Численные расчеты показывают, что увеличение значения параметра ведет к сдвигу максимального значения распределения в сторону больших значений .

Таким образом, получено представление состояния двух-модового сжатого состояния. Естественно получить представление и других возможных неклассических состояний света, что является не тривиальной задачей и может вести к значительным математическим преобразованиям. Для наших целей рассмотрим представление суперпозиционных состояний, составленных из вакуума и единичного фотона

. (3.3.42)

Состояния являются ортогональными друг другу. Воспользовавшись формулами для разложения вакуумного состояния (2.2.25) и единичного фотона (2.2.26, 2.2.27) в ряд по перемещенным фотонным состояниям, для суперпозиций имеем

, (3.3.43)

. (3.3.44)

Выражения (3.3.43. 3.3.44) представляют собой бесконечную суперпозицию перемещенных фотонных состояний. Можно показать, что выражения (3.3.43, 3.3.44) преобразуются в (3.3.42) в случае .

Функции распределения вероятностей обнаружить перемещенное фотонное состояние в суперпозициях (3.3.43, 3.3.44) определяется выражениями

Зависимость распределения вероятностей перемещенных фотонных состояний в суперпозиции вакуума и единичного фотона от для различных значений амплитуды перемещения .



Зависимость распределения вероятностей перемещенных фотонных состояний в суперпозиции вакуума и единичного фотона от для различных значений амплитуды перемещения .

, (3.3.45)

где функции и связаны между собой соотношениями

. (3.3.46)

Можно показать, что данных распределений вероятностей (3.3.45) выполняется условие нормировки

 (3.3.47)

Интересно сравнить распределения и (3.3.45) для различных значений амплитуды перемещения . Графики зависимостей и от представлены на рисунках 3.13 и 3.14, соответственно. Как видно из данных зависимостей, графики вероятностей и существенно отличаются друг от друга. Но данное отличие проявляется при больших значениях амплитуды перемещения . Пики функций сдвинуты в сторону больших значений . Графики распределения и имеют два пика каждый. Один из пиков превалирует над другим. Расположение пиков зависит от функции распределения и , соответственно. Так в случае функции маленький пик расположен справа от большого пика (Рис. 3.13), в то время как местоположение данных пиков меняется на противоположное в случае рассмотрения функции (Рис. 3.14). Поведение зависимостей и становится отличным в случае маленьких значений . Маленький пик уже не проявляется. Так вероятность перемещенного вакуума превалирует в распределении (Рис. 3.13(а)) в случае не больших значений . В распределении превалирует вероятность обнаружить перемещенный единичный фотон (Рис. 3.14(а)) в случае .

Использование неклассических состояний в новом виде (представление) позволяет по новому взглянуть на эти состояния и попытаться использовать из для квантово-механической обработки информации. Для построения преобразования Адамара (2.1.9) рассмотрим оптическую схему на рисунке 3.15. Состояние коррелированного двух-модового вакуума в модах и используется как вспомогательное. Входной кубит на рисунке 3.15 находится в третьей моде.



Схематическое изображение оптической схемы, которая используется для реализации прямого действия преобразования Адамара. Оптическая схема является интерферометром Маха-Цендера с пучковыми делителями и . Смешение входного кубита с вспомогательным состоянием двух-модового сжатого вакуума происходит внутри интерферометра с помощью пучковых делителей и . Выходное состояние наблюдается в моде при условии регистрации двух одновременных кликов в модах и . Вставка показывает возможную реализацию проекционного оператора на состояние единичного фотона с помощью пучкового делителя с параметрами и , соответственно.

Моды и смешиваются на пучковых делителях и , образуя интерферометр Маха-Цендера. Перед финальным смещением на пучковом делителе моды и смешиваются с модами и вспомогательного двух-модового вакуума на пучковых делителях и , соответственно. Используются пучковые делители с отличными друг от друга по величине коэффициентами пропускания и отражения. Выходное состояние генерируется в моде при условии, что во вспомогательных модах и регистрируются фотонные клики.

Рассмотрим подробно оптическую схему на рисунке 3.15. В качестве входных базисных состояний выбираются когерентные состояния с равными по модулю, но противоположными по знаку амплитудами

, (3.3.48)

, (3.3.49)

где амплитуда принимает положительные значения , --- параметр сжатия вспомогательного двух-модового сжатого вакуума, и --- параметры пучкового делителя. Входные базисные состояний (3.3.48, 3.3.49) являются асимптотически ортогональными в случае увеличения амплитуды перемещения. Соответствующая произвольная суперпозиция базисных когерентных состояний определяются как

,

(3.3.50)

где и --- амплитуды базисных состояний (3.3.48, 3.3.49) и --- нормировочный множитель суперпозиционного состояния (3.3.50). Можно считать, что нормировочный множитель равняется в силу того, что амплитуды когерентных состояний принимают большие значения, что позволяет пренебречь наложением когерентных состояний с отличными только по знаку амплитудами друг на друга. Наложение условия нормировки на волновые амплитуды позволяет уточнить значение нормировочного коэффициента . Суперпозиционные состояния (3.3.50) становятся (четной, не четной) СКС состояниями (2.2.37) в случае , . В качестве выходных базисных состояний выбираем состояния вакуума и единичного фотона

, (3.3.51)

. (3.3.52)

Тогда, в частности, выходные равновесные суперпозиционные состояния определяются как (3.3.42)

. (3.3.53)

Отметим, что используются два отличных двухмерных Гильбертовых пространства.

Реализация прямого действия преобразования Адамара основывается на представлении двух-модового сжатого вакуума (3.3.30). Рассмотрим один член данной бесконечной суперпозиции с номером

. (3.3.54)

Очевидно, что проецирование второй моды на состояние единичного фотона порождает следующее состояние

 (3.3.55)

в случае , где оператор проецирования имеет вид

, (3.3.56)

где --- номер моды, к которой применяется оператор, а верхний индекс отвечает за проецирующее фотонное состояние. По определению (3.3.29) значение параметра соответствует значению амплитуде перемещения

(3.3.57)

Значение вещественной амплитуды перемещения варьируется в зависимости от изменения параметра сжатия . Именно эти значения используется в выражениях (3.3.48-3.3.50). Соответственно используется представление двух-модового сжатого вакуума (3.3.30) с данной амплитудой перемещения. Стоит отметить, что волновые амплитуды состояния (3.3.30) и вероятности (3.3.40) не зависят от знака параметра , так как данные величины определяются квадратом его модуля .

Отметим, что для реализации прямого действия преобразования Адамара используются следующие пучковые делители на рисунке 3.15

, (3.3.58)

где амплитуда пропускания стремится к единице , а амплитуда отражения стремится к нулю ,

, (3.3.59)

(3.3.60)

с амплитудами пропускания и отражения

, (3.3.61)

. (3.3.62)

Используя приведенные значения параметров, можно показать, что выполняется следующая цепочка преобразований на рисунке 3.15

, (3.3.63)

Состояние (3.3.63) является результатом действия прямого действия матрицы Адамара на произвольное состояние в выходном Гильбертовом пространстве с базисными элементами (3.3.51, 3.3.52). Таким образом реализуется прямое действие матрицы Адамара из входного двухмерного пространства когерентных состояний в выходное двухмерное пространство с вакуумом и единичным фотоном в качестве базисных элементов

. (3.3.64)

Отметим один момент. Реализация цепочки преобразований (3.3.63) возможна в силу того, волновые амплитуды коррелированных состояний в сжатом вакууме являются четными функциями по параметру (3.3.32), то есть данные волновые амплитуды не зависят от знака параметра

. (3.3.65)

Рассмотрим частные случаи. Так в случае имеем из (3.3.63)

, (3.3.66)

, (3.3.67)

соответственно. Можно показать, что если данная цепочка операторов как в (3.3.63) применяется к входным базисным состояниям (3.3.48, 3.3.49) , (, ), то данные состояния трансформируются в равновесные суперпозиции состояний вакуума и единичного фотона

, (3.3.68)

. (3.3.69)

Рассмотрим физические основы преобразования (3.3.63). При рассмотрении преобразований (3.3.63) было принято то, что пучковые делители действуют на входные состояния как операторы перемещения. Более подробно данный вопрос обсуждался в разделе 2.3 (2.3.7). Было показано, что пучковый делитель с коэффициентом пропускания , на котором смешиваются исходное произвольное и когерентное состояния с большой амплитудой, аппроксимирует оператор перемещения для входного состояния. Данные оптические элементы используются в оптической схеме на рисунке 3.15 для того, чтобы применить операторы перемещения к обеим модам двух-модового сжатого вакуума (3.3.30). Мода --- это мода, в которой происходит извлечение перемещенного фотона с соответствующей амплитудой перемещения. Извлечение перемещенного единичного фотона в моде позволяет наблюдать как конструктивную (3.3.63, 3.3.64), так деструктивную интерференцию (3.3.66, 3.3.67) базисных элементов в моде при условии, что некоторый результат измерения зафиксирован также в моде .

Рассмотрим случай, когда в третьей моде регистрируется вакуумное состояние. Данный случай напрямую проистекает из формулы (3.3.63) в случае замены проекционных операторов

. (3.3.70)

Соответственно, в случае из выражения (3.3.70) следует

, (3.3.71)

, (3.3.72)

Случай , (, ) соответствует генерации следующих равновесных

суперпозиционных состояний вакуума и единичного фотона

, (3.3.73)

. (3.3.74)

Данное прямое преобразование с выбранным набором базисных входных (3.3.48, 3.3.49) и выходных состояний (3.3.51, 3.3.52) описывается матрицей (2.1.2)

, (3.3.75)

где --- унитарное преобразование (2.1.1). Соответственно преобразование Адамара может быть получено из (3.3.75) как

. (3.3.76)

Тем не менее, перестановка выходных базисных состояний (3.3.51, 3.3.52) позволяет рассмотреть преобразование (3.3.70) как прямое действие матрицы Адамара с перестановочным набором базисных элементов выходного Гильбертова пространства. В целом можно заключить, что извлечение не четного числа фотонов в моде , содержащей когерентные состояния, ведет к прямому действию матрицы Адамара (3.3.63-3.3.64) с выходными базисными элементами (3.3.51, 3.3.52). В тоже время извлечение четного числа фотонов из этой же моды дает возможность реализовать преобразования (3.3.70-3.3.74), которое может быть также рассмотрено как прямое действие матрицы Адамара в перестановочном базисе выходных состояний.

Рассмотрим реализацию двух-кубитовой операции controlled-Z гейт с помощью оптической схемы на рисунке 3.15.Controlled-NOT и controlled-Z гейты были упомянуты в разделе 2.1 в качестве основных универсальных блоков квантового компьютера. В оптической схеме на рисунке 3.5 квантовый входной кубит (3.3.50) является управляющим, а кубит, составленный из вакуума и единичного фотона, является управляемым. Реализация выходного состояния двух-кубитового controlled-Z гейт может быть реализована посредством извлечения перемещенного единичного фотона в моде и требует меньших оптических элементов. В частности, не требуется проекционный оператор в моде . Действительно имеет место следующая цепочка преобразований

, (3.3.77)

где использовано обозначение для амплитуды когерентного состояния и использована замена нумерации мод в отличная от нумерации мод на рисунке 3.15 таким образом, что когерентный (управляющий) кубит находится в моде , а кубит из микроскопического двухмерного пространства занимает моду . Волновые амплитуды микроскопического кубита определяются как и , соответственно. Из выражения (3.3.77) следует, что в перестановочном базисе (3.3.51, 3.3.52) наблюдается реализация controlled-Z гейта между двумя кубитами, один из которых (управляющий) макроскопический, а другой (управляемый) микроскопический. Стоит только отметить, что замена входных базисных элементов на , также позволяет выполнить controlled-Z гейт.

...