Могу добавить, что настоящая цель этого «нечестного» эксперимента, который, как вы видели, вполне удался, заключалась не просто в том, чтобы навести на ложный путь. Посетив этот класс раньше, я заметил, что в поверхностном обращении учеников с методом индукции кроется реальная опасность. Я хотел, чтобы эти ученики -- и их учитель -- ясно почувствовали рискованность такого отношения.

Можно, конечно, сказать, что мальчик ошибся в своей гипотезе просто потому, что она не была универсальной, потому, что она была обобщением, основанным лишь на небольшом числе случаев. Но это значит не понять сути дела. Предложенное равенство -- площадь = а+b-- бессмысленно, потому что ничего не говорит о внутренней связи между площадью и а+b, о том, почему оно может оказаться разумным хотя бы в одном -- единственном случае, поскольку не существует внутренней связи между ними.

14. Приведу еще более простой пример. Вы спрашиваете ученика:

12=3 умноженное на сколько? Ответ: 4.

56 = 7 умноженное на сколько? Ответ: 8.

45 = 6 умноженное на сколько?

Предположим, что ученик ответил на третий вопрос: «Семь». И когда вы спросили его, почему он так думает, он сказал: «Разве это не очевидно? Четвертая цифра на единицу больше третьей:

12 3 4

56 7 8

45 6 7».

Разве здесь существенно, что ученик основывал свою «гипотезу» на очень малом числе случаев? Нет. Сама гипотеза нелепа: увеличение чисел в этом случае не имеет никакого отношения к структуре ситуации, к требованиям ситуации, к соединению знаком равенства, к смыслу чисел, расположенных слева, к смыслу знака умножения в правой части. Оно не связано с теми структурными свойствами, которые обусловливают требования к разумному решению или осмысленной гипотезе.

15. Теперь мы приведем дополнительные примеры диких процедур, ведущих к правильному ответу. Ошибочным здесь является не отсутствие доказательства, а то, что ни один из шагов этой процедуры не имеет разумной связи с заданием.

Как определить площадь прямоугольника:

Я выбрал искусственные примеры для того, чтобы объяснить суть дела, но подобные вещи случаются и без вмешательства психолога.

Ребенок в школе заучивает вместе с сопутствующими упражнениями формулы для периметра, 2(а+b), и для площади, а М b, прямоугольника.

Спустя некоторое время ему предлагаются задачи, требующие вычисления площади прямоугольников в контексте решения более широких задач. Ему приходит на ум формула 2(а+b), и он ошибочно использует ее, даже не подозревая об этом.

Либо он старается вспомнить формулу площади. Он может даже пытаться вспомнить страницу учебника, на которой встречается эта формула, и действительно вспоминает эту страницу, но формула все же не приходит в голову. Он теряется, смотрит на результат соседа, замечает, что найденная площадь равна 25 при сторонах а и b, равных соответственно 10 и 2,5. «Понятно! -- говорит он себе. -- Теперь я вспомнил, как это делается: 10+2,5= 12,5, умножить это на 2, получается 25; 2(а+b)» -- успокаивается и энергично решает таким способом следующие задачи, получая неверные результаты, но даже не зная об

этом. (Может случиться, что в следующей задаче а=12, b=2,4; так что, взглянув для проверки на результат соседа, он убедится в своей правоте.) Ему даже не придет в голову проверить, годится ли вообще в данном случае эта формула. Однако, если бы ученик смело приступил к решению задачи, он, может быть, и сумел бы восстановить самостоятельно даже забытую формулу.

Итак, является ли решающим только то обстоятельство, что ученик получил неправильный результат, что его формула не имела общего значения? Для того чтобы заострить вопрос, представим себе следующую фантастическую ситуацию. Задача вполне может быть решена машиной, которая разрезает прямоугольник на мелкие квадраты. Вы опускаете прямоугольник в щель, машина начинает работать, маленькие квадраты выпадают из машины и могут быть сосчитаны либо вами, либо суммирующим механизмом аппарата. Допустим далее, что в ходе работы машина отбрасывает некоторое число маленьких квадратов, их число зависит от размеров прямоугольника. Вместе с тем машина всегда добавляет четыре квадрата 1. Такую машину легко сконструировать, и она по общему правилу будет неизменно выдавать результат 2 (а+b).

Исследователь чувствует большое желание заглянуть в машину и выяснить, каким образом почти закономерно получается такой странный результат. Если бы можно было открыть машину и заглянуть внутрь! Но допустим, что это запрещено или даже что такой машины вообще не существует, что все происходит без машины -- чудесным образом -- просто в результате разрезаний и вычислений...

Рис. 15

1 Применение формулы 2 (a+b) для вычисления площади означает, что исчезает площадь т и дважды появляются четыре заштрихованных квадрата (см. рис 15).

У вас будет универсальный закон, подтверждающаяся неизменно формула, и тем не менее выраженный в этой формуле закон будет диким, слепым, совершенно непостижимым.

Вернемся к нашему вопросу. В наших диких примерах отсутствовало доказательство, и могло возникнуть впечатление, что в этом-то и было все дело. В связи с этим рассмотрим, что является условием разумного, осмысленного процесса мышления. Обычно называют следующие условия:

должно быть получено правильное решение, такое решение достигается благодаря применению логически правильных операций, правильность результата должна быть доказана, он должен быть правилен во всех случаях.

И это все? Является ли это адекватным отражением того, с чем мы сталкиваемся в реальном, разумном процессе?

Рассмотрим процедуру, которая содержит все эти перечисленные признаки и все же остается уродливой. Допустим, я рассказываю о площади прямоугольника ребенку, который ничего не слышал о геометрии. Сначала я показываю ему, что площадь квадрата есть а2: а, умноженное на а. Он усваивает это и вычисляет площади нескольких квадратов различных размеров. Затем я показываю ему прямоугольник и учу находить площадь прямоугольника следующим образом:

Рис. 16

Сначала вычти b из а а--b 7--2=5

Возведи остаток в квад- (а--b)2 52=25 рат

Возведи b в квадрат и (а--b)2--b2 25--4=21 вычти его из ранее по-лученного результата

Возведи я в квадрат и (а--b)2--b2--а2 21--49=--28 вычти его из результата 3

Умножь результат на a2+b2--(а--b)2 +28 --1 (сделай его положи-тельным)

Раздели результат на 2 аb 14

Это -- площадь прямоугольника. Это может быть доказано геометрически, как показано на рисунке:

Рис. 17

Доказательство сводится к демонстрации равенства двух прямоугольников и вычитанию общей площади b2. Хотя такое доказательство и является несколько замысловатым, оно с логической необходимостью приводит к решению. Эта процедура не столь уродлива, как предыдущая, но все же и она уродлива.

Вот некоторые реакции детей: «Что делают взрослые! Почему бы сразу не вычислить площадь? Это похоже на случай с квадратом -- число маленьких квадратов в нижнем ряду нужно умножить на число рядов».

18. Теперь вернемся назад. Почему описанные процедуры «уродливы»? В чем здесь дело?

Разве операции выполнены неправильно? Нет, в некоторых примерах операции выполнены совершенно правильно.

Разве недостает универсальности? Нет, примеры носили самый общий характер и тем не менее оказались уродливыми (см. пункты 11, 15).

Разве недостает наглядности в доказательстве? Нет, некоторые примеры содержат доказательство.

Если мы рассмотрим конкретные действия в этих диких примерах, посмотрим, как ученики подходят к задаче, каким образом отдельные этапы мышления связаны с его» общим направлением, то ответ покажется очевидным: я хочу решить задачу, я столкнулся с проблемной ситуацией; я хочу понять, как можно прояснить задачу, чтобы достичь ее решения. Я стараюсь понять, как определяется площадь, как она «встроена» в эту фигуру; я хочу понять это. Вместо этого приходит некто и говорит, что я должен делать то-то и то-то, например вычислить 1/а, или 1/b, или (а-- b), или (а--b)2, то есть делать вещи, внутренне совершенно не связанные с задачей, ведущие меня в другом направлении, -- в направлении, чуждом задаче. Почему я должен делать именно это? Мне говорят: «И все-таки делай», а затем добавляется новый шаг, опять ведущий в непонятном направлении. Эти шаги совершенно непонятны, их содержание, направление, весь процесс не обусловлены внутренними требованиями ситуации, кажутся произвольными, не связанными с вопросом, каким образом площадь структурно строится из меньших единиц именно в такой форме. В конце концов эти шаги приводят к правильному или даже доказанному результату. Но сам этот результат воспринимается так, что он не приводит к пониманию и ничего не проясняет. И это относится ко всем примерам и с доказательствами, и без доказательств.

«Послушайте, -- скажет возмущенный читатель, -- а не требуете ли вы от человеческого мышления слишком многого?» Нет, не требую; к счастью, встречаются не столь слепые процессы.

Как показывают реакции детей, позитивный, продуктивный ход мышления имеет совершенно иной характер. Вопрос о площади в смысле суммы маленьких единичных квадратов рассматривается в связи с фигурой, в связи с ее характерной формой; ребенок обнаруживает, что существуют параллельные ряды, которые прилегают друг к другу, равны друг другу, содержат одинаковое число маленьких квадратов. Затем число квадратов в одном таком ряду, определяемое длиной одной из сторон, умножается на число рядов, определяемое длиной другой стороны. Здесь важно понять, что площадь структурирована в соответствии с характерной формой фигуры. Ни один из предполагаемых шагов не является произвольным, не связанным с внутренней природой проблемной ситуация.

Один и тот же результат (площадь=а-b) психологически имеет различный смысл в разумной и дикой процедурах: а-b в осмысленной процедуре рассматривается не просто как «произведение двух членов», поскольку один из них означает число квадратов в одном ряду, а второй -- число рядов. Множители имеют различное структурное и функциональное значение, и, пока это не будет осознано, формула и даже смысл самого умножения не будут поняты.

Рис. 18

20. Я приведу иллюстрацию последнего утверждения. Мальчику показывают прямоугольник, разделенный на маленькие квадратные части. Ему говорят, что общее число квадратов -- площадь -- равно а-b. Теперь, перемножая стороны, он может правильно вычислить площадь нескольких предложенных ему прямоугольников. Я спрашиваю его: «Ты уверен, что это правильно?» «Конечно, ведь вы меня научили формуле, но, если хотите, я могу пересчитать», -- отвечает он. И начинает пересчитывать наборы из пяти квадратов следующим образом:

Закончив подсчет, он поворачивается ко мне: «Вот видите, все верно».

Ясно, что что-то существенное здесь упущено. Мальчик не понял, каким образом из повторения параллельных рядов строится площадь. Он не использовал основной структурный признак, заключающийся в том, что ряды состоят из одинакового числа квадратов. И таким образом, ему не удалось найти основу осмысленного структурного понимания площади.

Другими словами, если бы площадь определялась посредством вычислений, которые произвел мальчик, то фигура совсем не обязательно должна была бы быть прямоугольником. Подошла бы любая другая фигура, составленная из прилегающих малых квадратов. Действия ученика не учитывают внутреннюю связь фигуры с операцией умножения.

Подобное структурное понимание (или отсутствие такового) играет решающую роль и в переносе. Вот короткий пример: в экспериментальных целях ребенку показывают, как определяется площадь квадрата. Он овладевает приемом и применяет его в различных случаях, а затем его просят определить площадь прямоугольника. Он не может ее найти. Я спрашиваю: «Почему бы тебе не поступить таким же образом, как ты это делал в случае с квадратом?» Он колеблется, а затем говорит: «Не могу... здесь стороны не равны».

Но если бы на примере квадрата он действительно разобрался в сути дела, понял бы, что площадь следует рассматривать как произведение числа квадратов, лежащих в основании, на число рядов, то перенос не вызвал бы никаких затруднений. В этом случае равенство сторон квадрата не было бы помехой, оно структурно было бы периферическим явлением, не имеющим существенной связи с решением.

Перенос может быть и слепым. Без такого понимания можно просто слепо считать, что и площадь прямоугольника определяется произведением двух его сторон. Если называть и этот случай обобщением, то следует ясно понимать, что существует важное различие между структурно слепыми, или бессмысленными, обобщениями и обобщениями осмысленными.

Мне могут возразить: «Почему вы говорите о понимании внутренней структуры, внутренних требований, подразумевая при этом, что схватывание структурных признаков в ваших примерах делает действия осмысленными? А что вы скажете о неевклидовых ситуациях? Что если мы выберем для нашей геометрии другие аксиомы? То, что разумно в одной системе, может быть бессмысленным в другой. То, что вы говорите, может показаться разумным только тем, кто разделяет наивную старомодную веру в важность только евклидовых аксиом».

Это возражение несостоятельно: оно не затрагивает существа вопроса. Неевклидова геометрия обладает своими собственными структурными признаками, но и в новом, более широком контексте сохраняют силу требования осмысленности. После введения признака пространственной кривизны некоторые утверждения евклидовой геометрии оказываются непригодными, так как они не учитывают условий, появляющихся с введением кривизны, и соответствуют только частному случаю, при котором кривизна равна нулю.

Коротко проиллюстрируем сказанное: фигура, состоящая из четырех «прямых» линий и четырех прямых углов на поверхности сферы, отличается от плоского прямоугольника также и площадью, но и в этом случае вы можете либо осмысленно определить эту площадь, поняв ее внутреннюю структуру, либо получать результаты диким методом, аналогичным уже рассмотренным нами случаям.

«Почему вы в этом контексте говорите о разумности?-- спросит логик. -- Разумность -- это не что иное, как требование непротиворечивости в смысле старой формальной логики. Любая теорема, любой закон -- даже ваш пример площади прямоугольника, равной в описанном вами искусственном мире 2 (а+b),-- являются нелепыми или неразумными только потому, что они противоречат другим законам и не согласуются с аксиомами собственной системы. Вот и все».

Но этот аргумент просто переносит вопрос с теорем на аксиомы. Если рассмотреть другие аксиомы, соответствующие именно таким структурно слепым связям и обеспечивающие формальную непротиворечивость, то в результате окажутся дикими не только отдельные теоремы, но и вся аксиоматическая система.

Конечно, в современной математике наблюдается тенденция к построению систем, из которых устраняется структурная осмысленность. Некоторые считают, что следует игнорировать такую осмысленность. Сходная тенденция наблюдается и в развитии логики -- логика сводится

к игре, управляемой суммой произвольно комбинируемых отдельных правил. Как разделение труда такая специализация заслуживает одобрения, особенно когда дело касается критериев строгой логической валидности. Но если к этому сводится все назначение логики, то тем самым мышление лишается тех признаков, которые играют важную роль в действительно продуктивных процессах. Однако, каково бы ни было отношение структурных проблем к формальной логике и теории познания (независимо от решения вопроса о том, следует или не следует логике заниматься структурными проблемами), они являются решающим моментом подлинно разумных, продуктивных процессов.

Развитие современной математики происходило в направлении полного освобождения от всяких следов геометрической интуиции. Это имело свои основания, поскольку анализировались вопросы валидности идеальных, аксиоматических систем, в которых конкретные теоремы выводятся только путем применения к аксиомам силлогистических и сходных формальных операций. Но это вполне обоснованное стремление не следует смешивать с проблемами понимания и подлинно продуктивных процессов. Я не встречал ни одного действительно продуктивного математика, который не чувствовал бы этого различия. Некоторые говорили: «Это не логический и не математический вопрос. Это психологический вопрос, или, если угодно, вопрос эстетической стороны дела». Мне кажется, что такие утверждения связаны со слишком узким пониманием логики. К тем шагам и операциям, которые образуют дикие процедуры, приходят не логическим путем. Прямая процедура кажется также и более логичной. Различие между произвольными, слепыми и осмысленными действиями составляет самую суть логики.

Приведенные примеры и в самом деле были дикими и бессмысленными, и читатель вправе спросить, зачем их нужно было приводить. Их искусственность и бессмысленность вполне очевидны; достаточно здравого смысла, чтобы понять их отличие от действительно осмысленных действий. Но в целях научной ясности необходимо сосредоточить внимание на очевидных вещах. Некоторые теоретические построения в логике, теории познания, психологин игнорируют эту фундаментальную проблематику или даже пытаются оправдать слепоту к ней.

Более того, то, что мы склонны считать само собой разумеющимся и «очевидным», нуждается в научном освещении и разработке. Здесь я использовал термины, которые кажутся непривычными и недостаточно простыми. Следует, однако, понять, что сама ситуация таит в себе множество проблем. И в этом нет ничего странного. В то время как в традиционной логике существует множество хорошо разработанных операций, операции, с которыми имеем дело мы, все еще плохо изучены. Гештальттеория только пытается их разработать.

23. «Вы не упомянули, -- вмешивается логик, -- еще одно обстоятельство, достаточное для различения действий, которые вы называете дикими, и действий разумных. Эти примеры кажутся бессмысленными просто потому, что состоят из большего числа шагов, являются более длинными. Вы забыли о „lex parsimoniae"».

Все предыдущие решения действительно содержали большее число шагов, чем соответствующие разумные решения. Но этот внешний признак не должен вводить вас в заблуждение. Он не имеет существенного значения.

Всегда ли такие «мудреные» действия необходимо содержат большее число шагов? Всегда ли они «сложнее» соответствующих осмысленных действий? Нет. В задачах на определение площади прямоугольника и параллелограмма осмысленные действия структурно слишком просты, чтобы допустить применение более короткого метода, но в учебниках по математике можно обнаружить такие случаи. Рассмотрим, например, следующую задачу.

Какова сумма ряда:

S=l+a+a2+a3+a4...? (a<1)

Вот обычное решение:

Напишите равенство 1. S = 1+а+a2+а3+а4+...

Умножьте обе части 2. aS=a+a2+a3+a4+a5...

равенства на а

Вычтите из первого ра- 3. S--aS= 1 венства второе

Найдите S

Вот правильный результат:

он корректно получен, доказан и весьма элегантен из-за своей краткости. Действительное понимание, разумный вывод формулы отнюдь не просты; для этого требуется гораздо большее число нелегких шагов. Хотя многие и вынуждены признать корректность описанных выше действий, они не испытывают чувства удовлетворения и чувствуют себя обманутыми. Умножение на а, а затем вычитание одного ряда из другого дает решение, но не приводит к пониманию того, как бесконечный ряд (точнее, последовательность его частичных сумм) приближается в процессе роста к своему предельному значению1. Подлинное понимание исходит из рассмотрения роста ряда и приводит к закону роста, что позволяет найти предел. Многие в действительности не достигают понимания. Они удовлетворяются получением правильного ответа2.

Существуют математические теоремы, которые в настоящее время имеют только «внешние» решения, потому что они остаются все еще слишком сложными для конструктивного понимания. Крайними примерами их являются некоторые случаи так называемого доказательства от противного, непрямого доказательства, в котором используется принцип исключенного третьего, показывающий, что принятие противоположной посылки невозможно, поскольку оно ведет к противоречию. Но такое доказательство не позволяет понять, как конструктивно достигается позитивное решение. Знаменитый математик Брауэр презрительно называл такие непрямые доказательства «позвоночным мышлением». Я не стану здесь выяснять, насколько обоснованно его требование не признавать результаты, которые могут быть получены только таким способом. Я лишь хочу подчеркнуть, что существует огромное различие между осмысленным решением, основанным на понимании сущности задачи, и решением, совершаемым посредством внешних действий.

1 Вот пример ответа испытуемого в одном из моих экспериментов: «Странно... умножение на а ... зачем? Разве это приближает меня к цели?.. Вычитание -- зачем? А теперь в 3) все, что я знаю о структуре 5, исчезло! Разве я ищу сумму этого возрастающего ряда? Я знаю о ней не больше, чем раньше, -- только то, что она равна 1/1-a. Но почему? Как?»

2 Конечно, для профессионала и эта обычная процедура является осмысленной. Она основана на понимании того, что при «сдвиге», то есть при умножении на а, ряд, за исключением первого члена, не изменяется. И все же эта процедура остается внешней и не предполагает действительного понимания того, как возникает сумма.

Прежде чем перейти к рассмотрению подлинных процессов мышления детей в связи с определением площади параллелограмма, мы зададим следующий вопрос: «Каковы этапы действительно разумного процесса определения площади прямоугольника?» Мы коротко перечислим этапы, которые считаем существенными, основываясь на экспериментах с детьми и взрослыми.

Предлагается задача: чему равна площадь прямоугольника? Еще не знаю. Как я могу это узнать?

Я чувствую, что должна существовать какая-то внутренняя связь между величиной площади и формой прямоугольника. Какова эта связь? Как я могу ее обнаружить?

Площадь можно рассматривать как сумму маленьких квадратиков, помещающихся в фигуре1.

Рис. 20

А форма? Это не любая фигура, не простое нагромождение маленьких квадратов; я должен понять, как площадь «строится» в этой фигуре! (Рис. 20.)

4) Разве способ организации, (или возможность организации) малых квадратов в этой фигуре не ведет к ясному структурному восприятию целого? Да, конечно. Длина фигуры повсюду одна и та же, и это должно быть связано с постепенным увеличением площади! Параллельные ряды малых квадратов прилегают друг к другу и взаимно равны; таким образом они заполняют всю фигуру. У меня есть совершенно одинаковые по длине ряды, которые вместе образуют целую фигуру.

1 Я опускаю здесь процессы, которые начинаются с варьирования размера прямоугольника; введение маленьких квадратов упрощает картину. Иногда дети сами находят этот прием; иногда экспериментатор предъявляет прямоугольник, состоящий из кубиков, или с самого начала проводит линии; в этих случаях детям все еще предстоит самим сделать существенные шаги.

5) Я хочу найти общую сумму; сколько всего в фигуре рядов! Я осознаю, что на это указывает высота -- сторона а. Чему равна длина одного ряда? Очевидно, она задается длиной основания b.

6) Значит, я должен умножить а на b. (Это не просто умножение двух величин одного и того же рода: на этом этапе существенное значение имеет их характерное функциональное различие.)

При таком структурировании прямоугольника ясным становится вопрос о величине площади. Полученная структура прозрачна и легко схватывается. Решение достигается 1 благодаря пониманию внутренней структурной связи между площадью и формой.

25. Я не утверждаю, что именно такие фазы могут быть вычленены в актуальном процессе мышления 2. Обычно они тесно взаимосвязаны внутри целостного процесса; и все же, по-моему, их выделение необходимо для действительного понимания существа дела.

Эти фазы включают ряд операций и признаков, которые не были по-настоящему оценены или изучены традиционной логикой и ассоциативной теорией.

1) Здесь имеет место группировка, реорганизация, структурирование, операции деления целого на части, которые все-таки продолжают рассматривать вместе, в прямой связи с целой фигурой и под углом зрения поставленной специфической задачи.

Эти операции осуществляются не любым способом, мы имеем дело не с любой группировкой или организацией, хотя фактически существует много различных спосо-

1 На четвертом этапе вместо горизонтальных рядов можно выбрать вертикальные. Но в ходе решения не следует смешивать эти два способа. Когда ребенок их путает, легко стирается различие между «числом рядов» и «длиной ряда»; поэтому рекомендуется начинать с прямоугольника, у которого стороны явно различаются. Пятый этап особенно очевиден в случае, когда стороны прямоугольника кратны стороне мерного квадрата; в противном случае процедура включает еще один шаг, а именно уменьшение площади мерного квадрата. В 5) и 6) появляется умножение. Но это отнюдь простое или необходимое воспроизведение операции, усвоенной уроках арифметики. Возможно даже, что это нечто совершенно противоположное: сама идея умножения, или смысл умножения, может стать понятной именно в таком контексте.

2 Я бы не советовал адаптировать каждый из этих шагов для школьного обучения. Но иногда полезно задать вопрос в одном из указанных направлений.

Решение предполагает понимание того, каким образом части целого складываются друг с другом и заполняют всю площадь, осознание внутренней связи между тем, как они согласуются друг с другом и целостными свойствами фигуры, например прямолинейностью ее сторон и т. д.

2) Процесс начинается с желания установить внутреннюю связь между формой и размером. Это не поиски любого отношения, которое может их связывать, а поиски природы их внутренней взаимозависимости.

Некоторые люди начинают вводить изменения, наблюдая и изучая, как изменение (например, ширины фигуры) влияет на ее форму и площадь, и таким образом улавливают какие-то внутренние отношения.

3) Выделенные отношения этого типа -- имеющие смысл с точки зрения внутренней структуры данной ситуации, -- которые мы будем называть с-отношениями, играют здесь важную роль:

4) Здесь наблюдается понимание различного функционального значения частей, то есть двух сомножителей,-- важнейший признак продуктивного решения и всякого действительного понимания формулы.

5) Весь процесс является единым последовательным процессом мышления. Это не объединение отдельных операций. Ни один шаг не оказывается произвольным, непонятным по своему назначению. Напротив, каждый шаг связан с целостной ситуацией. Ни один из шагов не похож на а--b, 1/а или (а--b) 2 из наших бессмысленных примеров.

Основные признаки упомянутых операций коренным образом отличаются от операций традиционной логики и ассоциативной теории, которые слепы к целостности и к структурным требованиям ситуации, порождающим такого рода операции.

Надеюсь, что читатель почувствовал удивительную последовательность и замечательную ясность такого процесса, а также его разительное отличие от процессов, состоящих из изолированных бессмысленных операций.

В отличие от этого описание процесса в терминах одной только традиционной логики или ассоциативной теории выглядит поистине жалким.

Здесь я хочу сделать одно замечание в отношении этих подходов. В традиционной логике важнейшее значение придается универсальности: в понятиях, в суждениях мы хотим обнаружить свойства, общие для многих объектов (в данном случае -- общие свойства многих прямоугольников). Аналогично в ассоциативной теории основным является вопрос о том, во многих ли случаях, при многих ли повторениях обнаруживается та или иная устойчивая связь. В соответствии с этим бессмысленность наших примеров индукции объясняется тем, что они не обладают общей валидностыо. Однако вопросы осмысленного структурирования, организации, согласования частей друг с другом, соединения их в целое и т. д. не обязательно связаны с мыслью о других случаях; они могут осуществляться в отдельном конкретном случае, если рассматривать его структурно, осмысленно. Это, конечно, не обеспечивает фактическую универсальность, но часто приводит к осмысленному пониманию и подлинному открытию существенных признаков, в отличие от действий, основанных на слепом обобщении общих признаков, присущих большинству или всем случаям. И это также предполагает возможность структурно осмысленного переноса (см. пункт 4), ведущего к пониманию общности и универсальности. Но те или иные фазы решения не обязательны при рассмотрении многих случаев и констатации их общих черт.

Обнаружив, что обычных понятий недостаточно, некоторые теоретики пришли к заключению, что мышление становится продуктивным в результате использования принципа отношений. Конечно, понимание отношений играет важную роль в мышлении, но это утверждение само по себе не служит объяснением главного вопроса,

не является его решением. Ибо трудности, с которыми мы столкнулись при анализе элементов, снова возникают и в связи с отношениями. Понимание любых отношений, даже если они установлены правильно, не является решающим; важно, чтобы эти отношения были структурно необходимы, чтобы они возникали, рассматривались и использовались как части с точки зрения их функции в структуре целого. И это в равной степени относится ко всем операциям традиционной логики и ассоциативной теории, таким, как обобщение, абстрагирование и т. д., если они применяются в реальных процессах мышления.

Между прочим, бессмысленные и безуспешные процедуры предполагают не меньше отношений, чем продуктивные.

Согласно другому современному подходу, можно рассуждать так: «Подчеркиваемое вами различие между бессмысленными и хорошими примерами является в действительности элементарным и означает только то, что в случаях, которые вы называете бессмысленными, мы используем такие средства, шаги и операции, о которых заранее неизвестно, что они увенчаются успехом. Тогда как в случае действий, которые вы называете разумными, мне это известно по прошлому опыту. Я, например, заранее знаю, что если некоторое количество разделено на одинаковые части, то я могу воспользоваться известным мне приемом умножения. Здесь я использую средства, которые связаны с результатами предшествующих упражнений. Ассоциация вызывает воспоминание».

Против первой части этой формулировки нечего возразить: действительно, в бессмысленных примерах используются средства, относительно которых заранее неизвестно, помогут ли они. Но вторая часть формулировки является несостоятельной: во-первых, она игнорирует операции согласования, группировки и т. д. и их характерные особенности; во-вторых, знание, что между целью и средством существует какая-то постоянная связь, и использование его еще не решают дела. «Знание» -- двусмысленное понятие. Знание слепой связи, например связи между выключателем и светом, сильно отличается от понимания или открытия внутренней связи между средством и целью, от понимания их структурного соответствия в данном случае (см. пункт 38). Это различие играет важную роль особенно в отношении возникновения осмысленного, продуктивного процесса.

И утверждение, что мы вспоминаем об умножении, которое было усвоено в результате упражнений, не подходит к нашим разумным случаям. Ибо операция умножения и его смысл нередко постигаются благодаря осознанию структурных требований именно в таких заданиях. И даже если техника умножения была усвоена раньше н теперь осуществляется по памяти, важно, что именно было известно и что вспоминается: какие-то слепо применяемые заученные операции или же те операции, которые структурно необходимы и вспоминаются и применяются именно по этой причине, а не в результате какой-нибудь случайной ассоциации (например, накануне вы выполнили много упражнений на умножение или слышали слово «площадь» в связи со словом «умножение»).

Умножение -- это не просто операция, которая должна быть заучена и которая характеризуется в терминах ассоциаций, связей между числами. Если оно является осмысленным, то основывается на структурном открытии или понимании, которые необходимы даже при его применении. Правда, к сожалению, многих детей обучают умножению с помощью упражнений, и они мгновенно выполняют умножение, но не имеют ни малейшего представления о том, где его следует применять 1.

1 Я обыкновенно спрашивал девочку (в доме часто бывали гости): «Сколько мужчин и сколько женщин сидит за столом?» «Сколько всего гостей за столом?» Я часто задавал этот вопрос; сначала когда девочке было шесть, затем -- семь, потом -- восемь лет. В школе она хорошо успевала по арифметике. Когда вы просили ее перемножить, скажем, 6 и 2, она мгновенно правильно отвечала. Но в данном случае, даже если четверо мужчин сидели по одну сторону стола, а четыре женщины -- по другую или если мужчины и женщины сидели парами, она начинала нудно пересчитывать гостей: «Один, два, три, четверо мужчин; одна, две, три, четыре женщины». И только в возрасте восьми с половиной лет ей пришло в голову, пересчитав мужчин, сказать: «А женщин столько же», или: «Одна, две, три, четыре пары». А она была умным ребенком. Она только не понимала связи группировки с количеством, так как привыкла считать предметы по одному.

Однако в возрасте шести лет, в более сложной, но структурно более прозрачной ситуации, она поразила меня своими действия-пи. Как и многих других детей, я попросил ее мысленно сосчитать сторон и углов у кубика сахара, а затем -- у пирамиды и двойной пирамиды. Она смогла найти ответ структурным методом и применить его к пирамиде и двойной пирамиде, даже к пирамиде с 3х7 сторонами, хотя не умела считать до 21 и даже не могла произнести это число.

30. Теперь я расскажу, что происходило, когда я давал задачу на определение площади параллелограмма испытуемым -- главным образом детям, -- после того как вкратце объяснял им, как определяется площадь прямоугольника, не говоря ничего больше, ни в чем не помогая, просто ожидая, что они скажут или сделают. Среди испытуемых были взрослые люди различных профессий, студенты, по реакции которых можно было судить о том, что они совершенно забыли эту теорему, и дети, которые вообще никогда не слышали о геометрии, даже пятилетние дети.

Наблюдались реакции различных типов.

Первый тип. Вообще никакой реакции.

Или кто-нибудь говорил: «Фу! Математика!» -- и отказывался решать задачу со словами: «Не люблю математику».

Некоторые испытуемые просто вежливо ждали или спрашивали: «Что же дальше?»

Другие говорили: «Не знаю; этому меня не учили». Или: «Я проходил это в школе, но совершенно забыл», и все. Некоторые выражали недовольство: «Почему вы считаете, что я смогу это сделать?» И я отвечал им: «А почему бы не попробовать?»

Второй тип. Другие энергично рылись в памяти, пытаясь вспомнить что-нибудь такое, что могло бы им помочь. Они слепо искали какие-нибудь обрывки знаний, которые могли бы применить.

Некоторые спрашивали: «Можно спросить у моего старшего брата? Он наверняка знает». Или: «Можно посмотреть ответ в учебнике геометрии?» Очевидно, это тоже является одним из способов решения задач.

Третий тип. Некоторые начинали пространно рассуждать. Они вели разговор вокруг задачи, рассказывая об аналогичных ситуациях. Или же классифицировали ее каким-то образом, применяли общие понятия, относили задачу к какой-то категории или осуществляли бесцельные пробы.

Четвертый тип. Однако в ряде случаев можно было наблюдать реальный процесс мышления -- судя по чертежам, замечаниям, мыслям вслух.

«Вот эта фигура; как я могу определить величину площади? Площадь фигуры именно этой формы?»

«Что-то нужно сделать. Я должен что-то изменить, изменить таким образом, чтобы это помогло мне ясно увидеть площадь. Что-то здесь не так». На этом этапе некоторые из детей чертили фигуру, показанную на рис. 21.

Рис. 21

В таких случаях я говорил: «Хорошо было бы сравнить величину площади параллелограмма с площадью прямоугольника». Ребенок беспомощно прекращал, а затем возобновлял попытки.

В других случаях ребенок говорил: «Я должен избавиться от затруднения. Эту фигуру нельзя разделить на маленькие квадраты».



Рис. 22

3) Здесь один ребенок неожиданно сказал: «Можете дать мне складной метр?» Я принес ему такой метр. Ребенок сделал из него параллелограмм, а затем превратил его в прямоугольник.

Рис. 23

Мне это понравилось. «Ты уверен, что это правильно?» -- спросил я. «Уверен», -- ответил он. Только с большим трудом с помощью соответствующего чертежа (рис. 24) мне удалось заставить его усомниться в правильности его метода.

Рис. 24

Тут он сразу сказал: «Площадь прямоугольника гораздо больше -- этот метод не годится...»

4) Ребенок взял лист бумаги и вырезал из него два равных параллелограмма. Затем со счастливым видом соединил их следующим образом.



Рис. 25

Но он не знал, что предпринять дальше.

Сам по себе этот шаг был прекрасной находкой (ср. решение с кольцом, с. 78). Замечу, что в ряде случаев я сам давал детям два образца фигуры. Иногда я сталкивался с такими реакциями:

Рис. 26

Некоторые дети даже пытались наложить одну фигуру на другую. Такая помощь могла быть эффективной только при некоторых условиях. При каких же именно?

31. Но были случаи, когда мышление вело прямо к цели. Некоторые дети с незначительной помощью или вообще без всякой помощи находили правильное, разумное, прямое решение задачи. Иногда после периода крайней

сосредоточенности в критический момент их лица светлели. Какое чудо -- этот переход от слепоты к прозрению, к пониманию сути дела!

Сначала я расскажу о том, что произошло с девочкой пяти с половиной лет, которой я вообще не оказывал никакой помощи при решении задачи с параллелограммом. Когда после короткой демонстрации способа определения площади прямоугольника ей предложили задачу с параллелограммом, она сказала: «Я, конечно, не знаю, как это сделать». Потом, после минуты молчания, добавила: «Нехорошо здесь, -- и показала на область, расположенную



Рис. 27

справа, -- и здесь тоже, -- и показала на область, расположенную слева. -- Трудность связана с этим местом и с этим». Нерешительно сказала: «Здесь я могут исправить... но...» Вдруг она воскликнула: «Можете дать мне ножницы? То, что мешает там, как раз требуется здесь. Подходит». Она взяла ножницы, разрезала фигуру вертикально и перенесла левую часть направо.

Другой ребенок аналогичным образом отрезал треугольник.

И она приводила левый угол «в порядок». Затем, глядя на другой край, она попыталась сделать там то же самое, но внезапно стала рассматривать его не как «лишнюю часты», а как «недостающую».

Рис. 29

Встречались и другие действия. Девочка, которой я дал вырезанный из бумаги длинный параллелограмм (и в предыдущих примерах лучше начинать с длинного параллелограмма), вначале сказала: «Вся средняя часть в порядке, но края...» Она продолжала разглядывать фигуру, явно интересуясь ее краями, потом вдруг взяла ее в руки и с улыбкой превратила в кольцо, соединив края. Когда ее спросили, зачем она это сделала, она, удерживая своими маленькими пальчиками сомкнутые края, ответила: «Но ведь теперь я могу разрезать фигуру вот так, - и указала на вертикальную линию, расположенную где-то посередине, -- тогда все будет в порядке».

Наблюдались и несколько иные действия, но я не встречал ничего подобного тому, что предлагается в современных курсах математики -- уменьшение нарушения посредством разрезания на горизонтальные ряды с высотой меньшей любого заданного бесконечно малого числа. Даже взрослые часто понимают эту процедуру с трудом. Операция разрезания на ряды со все меньшей в меньшей высотой, предложенная детям лет двенадцати и взрослым, вызывала у них забавные реакции. Считая такой способ «нечестным», некоторые продолжали ломать голову даже после того, как им показали, что после соответствующего горизонтального сдвига рядов вся фигура становится все больше и больше «похожей» на прямоугольник. Эта процедура предполагает переход к понятию бесконечно малой величины и к операции предельного перехода. К этому методу пришли только после длительного развития математики, видимо, в связи с задачами на определение площади криволинейных фигур.

Какие же операции и шаги использовались в этой процедуре?

Мы видели, что в действительно продуктивных процессах, примеры которых мы только что привели, снова встречаются факторы, аналогичные тем, которые упоминались при обсуждении задачи на определение площади прямоугольника: перегруппировка частей целого, реорганизация, операция согласования частей; в ходе решения испытуемые обнаруживают факторы внутренней связи, понимают, в чем заключаются внутренние требования задачи, а затем следуют этим требованиям. Последовательность этапов решения и осуществляющихся операций была обусловлена видением целостной фигуры и всей ситуации в целом. Они не были результатом слепого припоминания или слепых проб; их содержание, направление я применение определялись требованиями проблемной ситуации. Такой процесс не является простой суммой отдельных шагов, совокупностью не связанных друг с другом операций, а представляет собой единый процесс мышления, порождаемый осознанием пробелов в ситуации, желанием их исправить, выправить то, что плохо, достигнуть внутренней гармонии 1. В ходе такого процесса мы исходим не от отдельных элементов с тем, чтобы затем перейти к их совокупности, движемся не «снизу вверх», а «сверху вниз», начиная с постижения сущности структурного нарушения и переходя к осуществлению конкретных шагов.

Как мы видели, в хороших примерах не встречаются слепые пробы и ошибки. А если и встречаются, то от них быстро отказываются. Я не сталкивался в таких процессах с действительно нелепыми, слепыми операциями. Так, не

1 Вначале мы не знаем, как определить площадь параллелограмма. Мы хотим восполнить этот пробел, понять, каким именно образом величина площади определяется структурой фигуры. В случае задачи на определение площади длинного параллелограмма легко прийти к первому шагу: совершенно ясно, как определить площадь средней части параллелограмма -- как и в случае прямоугольника; края же оказываются областями нарушения, которые затем «также приводятся в порядок».

Эта операция осуществляется в результате осознания необходимости ликвидировать еще одну «брешь» в нашем понимании внутренней связи формы фигуры и площади: теперь один из краев следует рассматривать не как мешающий, лишний, который, необходимо отрезать, а как часть, которую нужно добавить к другому краю с тем, чтобы фигура превратилась в прямоугольник.

Рис. 30

Не было вовсе таких случаев, когда бы трудности связывались с областями всех четырех углов, рассматриваемыми изолированно (рис. 30Б).

33. Можно, конечно, усвоить внешние признаки решения и даже само решение в результате бессмысленных упражнений. Давайте прямо и честно рассмотрим, что же это значит с общетеоретической точки зрения.

Возьмем крайний случай. Можно «научить» нужным действиям, даже не формулируя задачу. Учитель делает построения. Ученики раз двадцать повторяют: «Одна вспомогательная линия», и таким образом в результате многократного подкрепления устанавливается новая связь. Затем они точно так же поступают со второй вспомога тельной линией, «связывая» ее с фигурой, и т. д., и таким образом достигают цели, окончательного результата. Такая процедура по крайней мере вполне возможна, согласно ассоциативной теории. Я сам не проводил таких экспериментов. Однако думаю, что даже достигнутый таким образом положительный результат будет сильно отличаться от хороших случаев с точки зрения их последствий, например в отношении забывания или применения.

Рис. 31

Конечно, эти замечания с теоретической точки зрения являются крайне упрощенными. Всестороннее исследование должно включать обсуждение всех дополнительных гипотез, выдвинутых в рамках ассоциативного подхода, пытавшегося свести все разумные процессы к совокупности механических, слепых связей. Все вышесказанное можно рассматривать лишь как намек на содержащуюся здесь фундаментальную проблему.

34. Выше уже отмечалось, что иногда ученик концентрирует свое внимание на левом крае параллелограмма и устраняет нарушение, отрезая лишнее, затем переходит к правому краю, где находится область, которую необходимо заполнить. В результате ликвидируется нарушение справа и используется часть, которая была лишней слева.



Такое описание последовательности действий, по-видимому, не является адекватным отражением того, что происходит в других случаях, когда испытуемый рассматривает одновременно обе области нарушений, то есть устраняет нарушения на обоих краях, воспринимая фигуру в целом: то, что является лишним слева, используется как то, что необходимо справа. Оба действия выполняются вместе и требуют одно другого.

Это еще более отчетливо проявляется в решении с кольцом: оба края рассматриваются как соответствующие друг другу; для устранения нарушений их необходимо соединить. Между ними нет функционального различия,

оба края в равной степени являются нарушениями, которые одновременно устраняются в результате взаимной компенсации.

Решение посредством разрезания фигуры посередине и перемещения частей часто очень похоже на это:

получите необходимые прямоугольные края, вертикально разрезая в каком-нибудь месте фигуру; устраните мешающие края, соединив их вместе (сдвиг).

Тот, кто почувствовал своеобразие таких решений, поймет, что наибольшую опасность для развития таких удивительных процессов представляет прежде всего слепое вспоминание, слепое применение чего-то заученного, старательное выполнение отдельных операций, неспособность увидеть всю ситуацию в целом, понять ее структуру и ее структурные требования. Хотя у меня нет достаточных количественных данных на этот счет, мне кажется, что способность продуцировать творческие процессы часто значительно уменьшается, когда школьники привыкают к механическому заучиванию.

На рисунках показано направление векторов в ходе такого процесса. Кратко существенные черты динамики такого процесса мышления состоят в следующем: столкновение с проблемой; нахождение векторов, которые связаны со структурными особенностями ситуации и определяются ими, неясность, незавершенность ситуации, тенденция к конкретизации областей нарушения и тенденция к осуществлению операций по изменению. Ни положение, ни направление векторов не является случайным. Все используемое, независимо от того, вычленено ли оно из данной ситуации или извлечено из памяти, включается

в процесс благодаря тому, что выполняет определенную структурно необходимую функцию, превращает исходную» ситуацию с ее неясностями в четкую, завершенную конечную ситуацию; этот процесс представляет собой переход от плохого гештальта к хорошему.

Мое описание этого процесса кажется очень сложным потому, что я описывал его фазы по отдельности и последовательно, а также потому, что я пользовался формальными терминами, чуждыми традиционным подходам. Но разве это описание выглядит столь сложным, например, в случае кольца, где вся суть процедуры заключается просто в том, что наклонные стороны, которые являются нарушениями, в результате замыкания фигуры перестают быть боковыми сторонами и исчезают как таковые? Замыкание ликвидировало нарушения, и теперь фигура воспринимается как обычная, горизонтально и вертикально ориентированная полоса, которая, будучи разрезанной вертикально, является прямоугольником. Термины вроде «функция части в целом», «изменение функции», «изменение отдельных элементов» необходимы для точности формулировки, но они не должны скрывать от нас простой, понятный характер такого процесса.

35. Я не буду здесь затруднять читателя подробным структурным анализом таких процессов. Я дам только некоторое представление о структуре таких процессов.

Если в ходе таких процессов проводятся три вспомогательные линии, то они появляются не как «перпендикуляр, опущенный из левого верхнего угла, и перпендикуляр, опущенный из правого верхнего угла, и продолжение основания за правую вершину», которые, возможно, позднее и приобретут какой-то смысл, какое-то значение. Их появление обусловлено функциональными требованиями, той ролью, которую они выполняют как части фигуры. И в этом процессе части фигуры меняют свое функциональное значение:

1) Дополнительная линия слева возникает:

(а) как правильно проведенная левая боковая сторона прямоугольника;

(б) и в то же время она является не любой вертикалью, а частью треугольника;

(в) и, как таковая, она переносится, сдвигается вправо и становится соответствующей правой стороной прямоугольника.

Пункты (а) и (б) уже подразумевают двойную функ-

цию 1 этой линии -- она замыкает треугольник и образует левый край прямоугольника. Линия (в) сдвигается вправо вместе со всем треугольником, выполняя здесь функцию правого края прямоугольника.

Второй перпендикуляр тоже является не просто какой-нибудь линией, проведенной из вершины, а возникает как правильный край прямоугольника, будучи недостающей стороной треугольника.

И продолжение основания возникает не просто как какое-то произвольное продолжение линии, а как часть необходимого треугольника, дополняющая основание прямоугольника.

Эти три линии возникают не как линии, а как границы; главную роль играют не линии, а фигуры -- параллелограмм, прямоугольник, треугольник; линии же выступают как части этих фигур.

2) Что же происходит с линиями исходной фигуры? Некоторые испытуемые описывают эти изменения. Сначала фигура рассматривается как параллелограмм, горизонтальные стороны которого соединены косыми линиями.

Рис. 32

Две наклонные стороны начинают вызывать беспокойство: «Края фигуры не должны выглядеть таким образом»; возникает вектор, побуждающий нас не рассматривать стороны как пограничные линии; в результате перемещения треугольника они внезапно отождествляются, воспринимаются не как две линии, а как одна, и эта линия уже не является пограничной, фактически теперь она не имеет структурного значения.

...