Особенность продуктивного мышления

2. Другой способ, найденный двенадцатилетним мальчиком, начинался иначе. Задание было таким: 1+2+3+ + 4 + 5 + 6+7.

Когда его попросили не вычислять сумму шаг за шагом, он медленно проговорил: «Эти числа последовательно увеличиваются...» А затем с неожиданной радостью: «А, у меня есть идея! Я просто возьму число, стоящее в середине, и умножу его на количество членов последовательности, которое, конечно, равно последнему числу». Было ясно, что для него это открытие. Когда его попросили объяснить, что он имеет в виду, он взял среднее

число 4 и умножил его на 7. Когда ему дали ряд, оканчивающийся на 8, он взял среднее между 4 и 5 значение, то есть 4.

На языке общей формулы это означает: с · п (средний член, умноженный на n), или Эта формула структурно отличается от первой, в которой n+1 было суммой каждой пары, а n/2 -- числом пар.

Я хотел еще лучше понять, что он имел в виду и как он достиг решения. Он не мог дать какую-либо ясную математическую формулировку, но сказал: «Числа последовательно увеличиваются. Это означает, что центральное число важно для определения суммы. Числа увеличиваются к правому концу ряда, они уменьшаются к его левому концу. Таким образом, то, что прибавляется при движении направо, отнимается при движении налево» (см. рис. 74).

Рис. 74

1 Ср. гл. 1, с. 77 и сл. Испытуемые обнаруживают структурное нарушение и устраняют его: два структурных нарушения компенсируют друг друга и исчезают, образуя цельную, ясную и четкую структуру.



Рис. 75

Этот способ служит разумным обоснованием хорошо» известной процедуры, в ходе которой учитель говорит: «Для того чтобы определить сумму такого ряда, выпишите его, затем прямо под ним напишите тот же самый ряд в обратном порядке и сложите все вертикальные пары. Они равны:

Рис. 76

1+ 2+ 3 + 4 +58+59+60

60+59+58 +57+ ... +3+ 2+ 1

61+61+61+61…… 61+61+61+61»

Несколько человек в моих экспериментах предложили эту процедуру в качестве решения. Они сказали, что выучили этот способ в школе. Когда их спросили, почему они написали ряд дважды и второй раз в обратном порядке, все они были весьма озадачены и не знали, что ответить. Когда, настаивая, я спросил: «Мне нужна сумма ряда, зачем же сначала находить удвоенную сумму?» -- большинство отвечали: «Ну, в конце концов это ведет к решению». Они не могли объяснить, как возникла идея удвоения. Признаюсь, что я сам долгое время не мог объяснить, как можно разумным образом прийти к идее удвоения. Она казалась мне, как и многим другим, трюком, похожим на случайное открытие 1.

Когда я показал эти результаты математику, он ска-зал: «Зачем беспокоиться о том, что вы называете «функциональными различиями», «различиями в значении членов»? Важна только формула, которая одинакова во всех случаях».

Такой подход, конечно, оправдан, если дело касается лишь правильности или валидности конечного результата. Но если вы пытаетесь понять психологический процесс продуктивного мышления, вы должны исследовать, рассматривать члены в их функциональном значении. Это приводит к решению в ходе разумных, продуктивных процессов, в этом и состоит основное различие между осмысленным поиском формулы и усвоением в результате слепого обучения или случайных проб и ошибок.

Структурные операции в различных описанных выше процедурах в некоторых отношениях отличаются друг от друга 2. Но существует также и сходство между ними:

1 Ср. похожий способ определения площади треугольника с помощью дополнения его до параллелограмма или дополнение прямоугольного треугольника до прямоугольника.

Рис. 77

2 Организация, группировка и т. д. в наших трех примерах соответствуют следующим формулам:

величина одной пары число пар



центральное значение число членов

сначала испытуемые видят проблему, осознают ее. Для этого необходимо понимание, схватывание конкретной структуры ряда в свете того, что требуется определить. Потребность понять внутреннюю связь между данной структурой и поставленной задачей ведет к перегруппировке, к структурному переосмыслению. Фазы и операции решения ни в коей мере не образуют случайную, произвольную последовательность; напротив, они возникают как части единого целостного процесса мышления. Их выполнение обусловлено видением целостной ситуации, ее функциональными требованиями, а не является результатом простой случайности или бессмысленного повторения старых эмпирических связей.

Хотя весь процесс иногда длится не более минуты -- как в случае двух упоминавшихся мальчиков, -- идея часто возникает в весьма туманной форме, сначала как возможные направления основных способов группировки и т. д. Порой до того, как ситуация становится действительно прозрачной, совершенно ясной, проходит некоторое время. Это особенно относится к случаю, когда ищется формула. Схватив идею, испытуемые могут увидеть некоторые структурные свойства искомого равенства задолго до того, как способны написать его конкретную формулу. Я думаю, что этот этап мышления часто представляется туманным главным образом потому, что еще не разработаны точные понятия для описания структурных свойств, свойств целого. Конечно, действительное решение проблемы станет возможным только после того, как будут выявлены все относящиеся к делу вопросы. Но идея симметричной компенсации часто является существенной частью этого процесса. На этом этапе испытуемые, часто не колеблясь, отвергают предлагаемые формулы, которые не согласуются с найденными структурными свойствами, отвергают задолго до того, как могут написать правильную формулу. Так, композитор, представляя себе мелодию в целом, пытается конкретизировать ее на фортепиано, придумывает что-то и решительно отвергает как неподходящее и т. д., пока наконец не находит именно то, что воплощает его замысел.

Я приведу несколько примеров задач, которые использовал в экспериментальном исследовании задачи Гаусса. Как и в случае задачи на определение площади параллелограмма, моими испытуемыми были люди разного возраста, главным образом дети. На примере 1+2+3+4+ + 5 + 6 им был показан метод Гаусса, обычно -- без формулы, а иногда -- с формулой. Затем, для того, чтобы увидеть, каковы будут спонтанные действия испытуемых, какая им потребуется помощь, какая помощь действительно окажется эффективной и т. д., им предъявлялись задания типа описанных ниже.

Читатель может попытаться угадать, какова была природа реакций в этих случаях: иногда встречались прекрасные продуктивные процессы (A-реакции, особенно в случае задач d и е), иногда испытуемые обобщали формулу, иногда встречались бессмысленные B-реакции.

Предоставим читателю возможность попробовать самому: пусть он увидит, что с ним произойдет в процессе решения этих задач -- так или иначе, все они являются A-задачами.

Чему равна сумма:

a. 1 + 2+3 + 4 +58 + 59

b. 17 + 18 + 19 + 20+21 + 22 + 23

c. 1+2+3+4 +16 + 17 + 18 + 19

bc. 96 + 97 + 98 +102 + 103 + 104

d. 1+5+9+13+17+21

bd. 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

Чему равно произведение:

e. 1М2М4М8М16М32

be. 5М10М20М40М80М160

f. ?М1/4М1/2М1М2М4М8

Я уже говорил, что все эти задачи являются в определенном смысле A-задачами. Надеюсь, что вам это понятно.

В а первоначальный ряд продолжен. Если выучена формула, то эта задача являемся просто частным случаем формулы.

Ряд b начинается не с 1. Как действовать в этом случае? Не видите ли вы какого-либо прямого пути? Конечно, выбрав круглое число, я сделал это задание более легким. Подумайте о формуле, которая будет включать этот случай как частный.

В ряде с есть разрыв. Мешает ли он вам?

В ряде d изменена разница между членами. Что вы будете делать в этом случае?

Для рядов e и f нужно определить произведение. Удивило ли это вас? Нашли ли вы решение? Могли ли вы написать формулу?

Конечно, я не учил маленьких детей формулам, я также не просил найти их. Я часто выбирал более простые числа, чем в рядах b и bc, или более легкие случаи, чем е, f, но не обязательно более короткие ряды, а часто гораздо более длинные. Нужно соблюдать осторожность в отношении последовательности заданий. Лучше всего перейти сразу от первоначального задания к одному из последних, к d или е.

Часто при решении таких задач сталкиваешься с интересными случаями: иногда -- с удивительно точными реакциями, о чем свидетельствуют также замечания испытуемого, а иногда -- с полной беспомощностью, удивительно бестолковыми или слепыми ответами даже у умных людей, особенно если такая слепота возникает из-за действий по привычке или в результате механического усвоения (см. гл. 1, с. 44). Характер как осмысленных, так и бессмысленных реакций проливает свет на обсуждаемые психологические проблемы.

Что касается задач типа е и f, требующих перехода от сложения к умножению, то я могу привести следующий случай: на примере 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 я показал метод Гаусса одиннадцатилетнему мальчику. Затем я дал ему ряд 1 · 2 · 3 · 10 · 15 · 30. «Нет, -- сказал он, -- здесь невозможно применить этот прекрасный метод...» Но спустя некоторое время внезапно добавил: «А если перемножить эти числа, то метод сработает!..» -- и он показал способ группировки 30 · 30 · 30, самостоятельно открыв применение данного метода к произведениям.

В форме сложения этот последний ряд был B-случаем, а в форме умножения -- А-спучаем. Это дает возможность систематически использовать в экспериментах пары А- и В-форм таких рядов, как следующие:

5 + 10 + 20+40+80 + 160 (B-случай)

5 · 10 · 20 · 40 · 80 · 160 (А-случай)

1 + 2 + 4 + 8+16+32 (B-случай)

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 (A-случай)

Однако для некоторых рядов задача в форме сложения представляла собой А-случай:

5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 (A-случай)

5 · 10 · 15 · 20 · 25 · 30 (B-случай)

В каких случаях отвергают этот метод, в каких -- применяют, какие при этом возникают трудности и т. д. - все это характеризует понимание.

Существуют сходные примеры B-заданий, которые с большей вероятностью вызывают слепые реакции. Если, к примеру, вместо ряда

1 + 2+3+7 + 8+9

дать ряд

1 + 2 + 3 + 4+7+8+9,

или ряд

c) 1 + 2 + 3 + 4+6 + 7,

то испытуемые иногда не замечают требования симметричности двух половин ряда относительно положения разрыва. Однако некоторые испытуемые правильно и без колебаний (А-реакции) применяют метод в задачах типа а), тогда как в задачах типа b) и с) они колеблются, несмотря на то, что составные части этих рядов, несомненно, больше похожи на первоначальный ряд 1+2+3+4+ +5+6, чем ряд а). Они строго различают эти типы, ищут требуемую симметрию и в большинстве своем находят соответствующие, более сложные действия, например восстанавливая симметрию в b) путем исключения числа 4, добавляя недостающее в с) число 5 или меняя 4 на 5 и т. д.

Приведем следующие примеры А--B-пар в задачах типа d:

1+2+3+4+5+6

А 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 А 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 В 1+2+3+4+11+13 В 1+2+3+7+9+11

Хотя явно бессмысленно в B-случаях применять метод Гаусса (особенно если ряд длинный), тем не менее некоторые испытуемые слепо используют его. В то же время другие испытуемые разумно отвергают B-задачи или решают их с помощью громоздкого метода, в то время как с A-задачами справляются вполне осмысленно.

Таким образом можно выявлять, изучать и проверять, какие из структурных свойств задачи Гаусса являются «существенными», какова внутренняя структурная связь между операциями и формой, какие факторы являются периферическими. В различных типах задач существенными были:

в b -- независимость структурных факторов от положения начала ряда;

в с -- обязательная симметрия ряда, проверяемая по наличию и месту разрыва;

в d -- независимость структурных особенностей от величины постоянной разности членов;

в е -- независимость внутренней структурной связи от характера конкретных операций, о чем свидетельствует перенос на структурно сходные случаи с умножением.

Особенно интересно исследовать, какие формы задач лучше способствуют открытию метода с помощью учителя или без него. И с теоретической точки зрения очень важно было установить, что более короткие ряды отнюдь не являются самыми лучшими и даже что ряд 1 + 2 + 3 + 4+ + 5 + 6 не обязательно лучше ряда 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11.

Не следует забывать следующий тривиальный факт: неупорядоченные ряды с переставленными членами вызывают особые затруднения и при применении метода, и при его открытии. Правильный порядок делает ряд умопостигаемым, указывает на необходимую согласованность членов ряда. Однако некоторые изменения порядка не являются, по-видимому, неблагоприятными. Важна, вероятно, не величина отдельного отклонения от первоначального ряда; помогать или мешать ясному видению целого может скорее определенный тип упорядоченности. В случае

1+10+2+9+3+8+4+7+5+6

испытуемый иногда останавливается и восклицает: «Тут есть последовательность: эти числа возрастают, а эти -- убывают», показывая

Рис. 78

или образует пары:

Рис. 79

Последний прием приближается к хорошо известным приемам «быстрого счета», которыми пользуются бухгалтеры, складывая большие числа. Вместо того чтобы считать, последовательно складывая числа, они считают парами или тройками, образуя легко запоминаемые круглые числа. Этим приемам, конечно, недостает понимания связи с «принципом» построения ряда.

Столкнувшись с задачей определения суммы ряда и не получив никакой помощи, многие не могут найти гауссова решения. Почему? Что делает эту задачу для многих столь трудной? Что кроется за словами: «Чтобы решить эту задачу, нужно обладать гением юного Гаусса»? Но почему тогда это сделал маленький мальчик из упоминавшихся примеров, причем сделал это последовательно и с легкостью? Что с психологической точки зрения лежит в основе таких творческих достижений?

Задачи Гаусса связаны со структурными трудностями. И чтобы преодолеть эти трудности и, несмотря на них, увидеть путь к решению, требуются некоторые условия. На основании своего опыта могу сказать, что существенными чертами подлинного решения является то, что продуктивно мыслящий человек не скован, не ослеплен привычками; не просто рабски повторяет то, что выучено; не действует механически;

обращает внимание не на отдельные части задачи, а на задачу в целом;

его действия не являются произвольными, случайными, он открыто, свободно подходит к проблемной ситуации, рассматривает ее в целом, старается понять, как связаны условия задачи и то, что требуется определить;

пытается понять и проследить внутреннюю связь между формой задачи и поставленной целью, постичь суть проблемы, понять и сделать прозрачными основные структурные особенности упорядоченных рядов, несмотря на существующие трудности.

Задача Гаусса действительно является структурно сложной, и главная трудность заключается, видимо, в следующем: увидеть внутреннюю связь между формой и заданием (суммой) трудно, 1) потому что скрыты компенсирующиеся разности, 2) потому что

Психологически

сильный порядок прогрессии должен быть разбит на требуемые симметричные части: > и < .

А что если бы мы упростили структуру данной ситуации, не просто предлагая ряды с меньшим числом членов, но используя задачи, в которых структурные особенности не так скрыты?

Некоторые формы задач, сходные с предыдущими примерами, явно упрощают дело, например:

99,8+99,9+100+100,1+100,2=?

2733/5+2734/5+274+2741/5+2742/5=?

или

271+272+273+274+275=?

Но давайте действовать радикально. Будем использовать задания, в которых компенсирующиеся разности не маскируются структурой. Решение становится естественным, если, например, спросить, какова сумма -- 3--2--1 + 1 + + 2 + 3 1.

Конечно, некоторые в этом случае будут действовать заученным образом, слепо, постепенно. Но большинство испытуемых, рассматривая ряд целостно, смеются или удивляются столь внушительно выглядящей, но тривиальной задаче. Это происходит практически со всеми испытуемыми. В таких случаях иногда получаешь ответ, даже не задавая вопроса, не спрашивая, какова сумма. Если ряд длинный, решение часто достигается не в результате формирования отдельных пар, а в результате осознания структуры целого, элементы которого образуют прогрессию. Если добавляется член, который явно не вписывается в ряд, как, например, в

9-5-4-3-2-1+1+2+3+4+5 или в

-5-4-3-2-1 + 1 + 9 + 2 + 3 + 4 + 5,

то он часто выделяется, сам себя изолирует.

Наш случай приближается к заданиям типа т+а--а пли m+а--а+b--b+с--с. Операция 1 требует прибавления а к т, операция 2 -- вычитания а, но операция 2 внутренне связана с операцией 1, являясь ее противоположностью. Операция 2 появляется в этом контексте в ответ на требование уничтожить результат операции 1, н наоборот. В этом заключается их структурное значение. Обе операции рассматриваются и функционируют не как простая сумма двух операций, а в их внутренней связи, которая делает ненужной, совершенно бессмысленной каждую из них в отдельности.

1 См. также пример f на с. 150. Решит ли читатель его быстрее, чем задачи е, bе или даже с и bd ?.

156

Осознание этой связи, отказ производить действия, которые компенсируют друг друга, связаны с естественным, осмысленным пониманием. Образованный психолог может даже вспомнить в этой связи о закономерностях поведения крыс. По-видимому, очень трудно, а часто просто невозможно научить крыс двигаться по лабиринту так, чтобы они проходили один и тот же путь в противоположных направлениях (см. рис. 81).

Не следует забывать, однако, что в некоторых случаях определенный тип противоположных действий становится вполне разумным -- например, в ритмической игре, в ритмическом танце, подобных ряду --1 + 1, --1 + 1 и т. д. или ряду --1 + 1, --2 + 2, --1 + 1, --2 + 2 и т. д. Здесь симметрия противоположных движений играет важную позитивную роль.

В 1931 г. во Франкфуртском институте я поручил Мисс Симссен изучить психологические различия между осмысленной и бессмысленной работой. В отличие от осмысленной расстановки книг на полках мы использовали внешне сходные с ней сизифовы задания: ставить книги на полки в ряд, затем снимать их, ставить на прежние места, затем опять расставлять на полках и т. д. ... В обоих случаях действия наблюдались в течение примерно получаса. Испытуемые выполняли бессмысленное задание довольно вежливо, хотя и неохотно и с явным затруднением. Со временем сопротивление нарастало и дело доходило до открытого протеста. Но иногда в ходе выполнения задания происходило нечто поразительное: у некоторых испытуемых характер задания менялся и становился чем-то более привлекательным -- действия становились похожими на ритмический танец, книги снимались и ставились на прежнее место размеренными танцевальными движениями, продолжать действия уже было нестоль обременительно, задание превратилось в шутливую игру. Однако даже такие действия не могли продолжаться длительное время.

Вернемся к обсуждаемой нами проблеме: роль осмысленного упорядочения, особенности разумной группировки становятся технически ясными, когда мы даем детям следующие задачи и сравниваем их подходы и реакции:

m + а--а + b--b + с--с

т+а+b--с--а+с--b

m + a + b + c--а--b--с

или 4. т+а + b+с--с--b--а

и т. д. с m или без него 1.

В первом случае мы от большинства испытуемых получаем быстрые ответы: «Конечно, сумма равна т», иногда с замечаниями типа: «Какой смысл делать что-нибудь, чтобы тут же уничтожить результат действия?» - и они разумным образом группируют следующие пары

m |+а--а|+b--b| +с--с

и никогда

т+а| --а+b| --b+с| --с2

Сходным образом, но более решительно в случае, когда имеется ряд

т--а + а--b + b--с + с...

1 Другие конкретные случаи:

96+77-77+134-134,

или 96+77-134-77+134,

или 48+79-124-79+124,

или 48+79-79+124-124.

В последнем случае слепая процедура:

48+79=127

127-79=48

48 + 124 и т. д.

2 Чтобы проиллюстрировать теоретические представления о проблеме переноса, рассмотрим А-- B-случаи в элементарной форме:

1) Сначала показываем, заучиваем a+b--а. Например 35 + 14--35

2) A-форма c + d--c 87+69--87

B-форма а + b--с 35+14--87

A-форма а + b--b 35+14--14

В 1) процедура группировки первого члена с последним «показывается, заучивается». Во 2) все члены изменены, но сохраняется структура оригинала. В 3) изменений меньше; этот пример более сходен с заученным образцом с точки зрения поэлементного анализа, с позиций представлений о простой сумме, стимуле -- реакции. Но если имеется какое-нибудь понимание, то ребенок совершит перенос на задания 2) и 4), но не на задание 3).

мы получаем

т |-- а + а| -- b + b|-- c + c...

но не т--а| +а--b| + b--с | +c...

Большинство испытуемых даже не пытаются искать сумму т+а или разность т--а. Или, если пытаются, скоро досадуют на это, восклицая: «Как глупо, что я не увидел!»

Во второй задаче мы обнаруживаем больше не связанных между собой слепых действий. Часто наблюдаются колебания, беспокойство, замечания вроде: «Это нужно упорядочить», «Здесь нет порядка», и дети переписывают ряды, образуя осмысленные пары.

Третий тип задач кажется проще второго и приводит к быстрому нахождению соответствующих половин: задачи решаются легче, если числа не являются произвольными, а используется определенный принцип, как в т--1--2--3 + 3 + 2 + 1 и других подобных примерах.

Простым экспериментальным приемом изучения таких разумных способов группировки является так называемый «квадратный набор». Требуется сложить четыре числа, два из которых при сложении дают круглое число или взаимно уничтожаются

Набор 1) обычно понимается и решается как состоящий из горизонтальных пар, набор 2 -- в виде вертикальных. Так же обстоит дело и в случаях, когда два или более числа не компенсируют друг друга, а составляют круглое число:



предпочтительным способом группировки в наборах типа 1 будет ab/cd, а в наборах типа 2 -- ac/bd. Психолог знает, что эти закономерности были установлены в результате исследований роли организации в восприятии, которые привели к открытию так называемых «гештальттенденций» в группировке 1.

В этих экспериментальных исследованиях (в них использовались в основном наборы точек или простые фигуры) была обнаружена сильная тенденция к восприятию согласованных друг с другом целостных свойств, «разумные способы группировки», признаки которых определялись внутренней структурой ситуации -- так называемым фактором «хорошего гештальта».

Эти исследования показали, что тенденция к «разум-лому» восприятию коррелирует с осмысленными закономерными математическими свойствами ситуаций -- хотя и с некоторыми ограничениями, вследствие того, что в восприятии важны не столько «законы образования классов», сколько свойства целого (см. с. 284 и сл.).

Проблемы, которыми мы здесь занимаемся, не связаны лишь с арифметикой или с обучением арифметике. Примером фигур, похожих на арифметический квадратный набор, является следующая оптическая констелляция, в особенности констелляция сплошных фигур -- например, черных фигур на белом фоне. Набор 1 обычно рассматривается в виде вертикальных пар, а набор 2 -- в виде горизонтальных 2.

Рис. 82

2 Ср. экспериментальные исследования движения с помощью специально подобранных квадратных наборов.

Рис. 84

Рис. 85

Или рассмотрим такую ситуацию:

Рис. 86

При работе с такими наборами -- скажем, кубиков -- даже у маленьких детей обнаруживается сильная тенденция к действиям в разумном направлении. Они часто находят это направление спонтанно, «улучшая», «исправляя» ситуацию. При этом нет необходимости в языке -- они просто разумно соединяют объекты, пригоняя их друг к другу. Нередко для осмысленного действия нет необходимости даже давать задание: оно определяется внутренней динамикой ситуации. Мы опять сталкиваемся здесь с ролью «нарушения», «пробела», «именно того, что требуется» как частей единого целого. Эти особенности, по-видимому, являются наиболее важными при эффективном обучении арифметике 1.

Простой иллюстрацией нашей проблемы является следующая фигура, вызывающая сильное желание уб-

1 Благодаря многолетнему опыту изучения детей д-р Катрин Штерн разработала приемы и методы обучения арифметике, в которых важную роль играет подлинное открытие в структурных по рать квадрат, или остаток, оттуда, где квадратов «слишком много», и поместить туда, где его не хватает.

Рис. 87

Сходные соображения, по-видимому, имеют первостепенное значение при обучении геометрии. Так, например, для осмысленного определения величины угла важно рассматривать его в качестве части единого целого, равного 360°. Если с углами в 182° и 180°, 355°, 360°, 363° обращаться просто как с любыми углами, как с углами одного ранга, то можно не заметить их структурного положения, их функционального значения. Здесь я напомню эксперименты с детьми, которых просили повернуть большую стрелку часов несколькими последовательными вращениями 1. Задание было похоже на задачу Гаусса. Например: каким будет конечное положение стрелки, если ее повернули сначала по часовой стрелке на 7°, потом на 90°, затем на 180° и опять на 90°? Или сначала на 8°, потом на 7°, затем на 83°, 6°, 84°, 5°, 85°, 4°, 86°? В экспериментах с детьми, которые ничего не знали об углах, я говорил: «Сейчас 12 часов, предположим, что я несколько раз повернул стрелку. Где остановится стрелка, если я сначала повернул ее на 7 минут, затем на 25, 5, 24, 6?»

Вот данные, полученные при решении следующих задач взрослыми испытуемыми. Я просил определить сумму векторов -- сил, действующих на тело, -- в следующих случаях: «Один вектор (а) с величиной К направлен вертикально вверх (0°), другой (b) с величиной L направлен под углом 90° к первому, третий (с) с величиной К -- под углом 180°, четвертый (d) с величиной L -- под углом 270°. Какова сумма этих сил, действующих на тело?»

Рис. 88

Результат -- особенно если начертить схему -- очевиден и равен нулю; противоположно направленные векторы компенсируют друг друга, противоположно направленные равные векторы объединяются в пары.

Но бывает, что человек, который видит всю фигуру, настаивает на образе действий, который он называет «строгим». Строя параллелограммы (рис. 89), он говорит: «Векторы а и b в параллелограмме сил дают в сумме результирующую силу r1. Сложение первой результирующей и вектора с по правилу параллелограмма сил дает вторую результирующую (рис. 90). Последняя в сумме с d дает третью результирующую, которая равна нулю, а r3 в сумме с а дает в результате +a». Он был явно ошарашен и неуверенно сказал: «Но это чепуха! И все же, если действовать таким образом, получается а... где же ошибка?» Он затратил на напряженное обдумывание больше 14 минут и, ничего не выяснив, оставил задачу. Вернувшись к ней через некоторое время, он неожиданно довольно грустно сказал: «Понял. Я уже использовал



Рис. 89

первый вектор» -- и извиняющимся тоном добавил: «Я действовал глупо. Мне было ясно, что нужно перебрать все векторы. Получив 3-ю результирующую, я считал, что прошел лишь ѕ пути, только 270°... Я думал, что нужно сделать этот угол полным. Я не подумал, что уже использовал вектор а. Как я был глуп. Конечно, а и с в сумме дают нуль, и b и d тоже нуль. Таким образом, результирующая равна нулю».

Конечно, он за исключением последнего шага действовал правильно. Часто нужно строить каждую результирующую -- этот метод является общим. Но не следует забывать, что нередко в продуктивных ситуациях решающую роль играет осмысленное видение всей фигуры в целом: осознание симметрии и равновесия целой фигуры и осмысленная группировка соответствующих отклонений. Испытуемого, очевидно, сбило с толку сильное желание замкнуть, завершить конструкцию.

Это, несомненно, крайний случай. Если нарисовать или показать схему, то почти все ответы будут осмысленными при непременном условии, что ясен смысл «векторов». интуиция проблемный продуктивный мышление

Я уже упоминал, что может оказаться полезным предъявление задания в форме

Некоторые видят решение сразу. «Конечно, 273», -- отвечают они, даже не приступая к громоздким вычислениям, Другие же не видят решения и спрашивают, действительно ли нужно произвести все сложения. Даже если задание дается в качестве проверки после обучения методу Гаусса, испытуемый может начать со слепого сложения:

271 + 275 = 546

Суть этого примера в том, что знаменатель требует деления числителя на пять равных частей и таким образом помогает увидеть выражение, стоящее в числителе, как состоящее из этих пяти частей. Когда эксперименты показали, что реальные затруднения многих испытуемых сходны с затруднениями, возникающими при решении задачи Гаусса, показалось уместным ввести структурные упрощения.

Когда я спрашивал детей, чему равно

я получал от некоторых сообразительных детей четкие ответы. Большинство из них смеялись понравившейся шутке, тогда как другие удивлялись, зачем нужны такие простые задачи, или скучали, но без труда отвечали. Они легко и сразу понимали, что то, чего требует знаменатель, уже сделано в числителе. Деление на пять понималось в своем структурном значении, как требование разбиения величины числителя на пять равных частей, что уже было сделано. Или иначе, числитель, рассматриваемый как произведение, указывал на компенсацию умножения и деления.

Сложение (или, в сущности, умножение) с последующим делением соответствует здесь ситуации, когда мы что-то делаем, а затем уничтожаем сделанное, это означает тщательную работу над тем, что уже сделано, попытку получить решение, которое уже дано. Конечно, что-то необходимо проделать, а именно осознать, что решение уже есть, увидеть, что одно из чисел является не просто числом, которое нужно прибавить к остальным, а уже готовым решением. Это и есть достижение: разумный переход в контексте задачи от функционального значения объекта к решению. Это довольно просто: решение лежит почти «на поверхности» 1. Хотя иногда и наблюдаются небольшие колебания ввиду того, что испытуемые не ожидают столь легкой задачи, на лицах испытуемых скоро появляется улыбка, сопровождаемая такими замечаниями, как: «Это очевидно. Сначала казалось, что задача будет трудной, но это не так», и дается решение.

Размышляя о некоторых школьных установках, с которыми я так часто встречался, я продолжал задавать подобные вопросы. Меня поразило -- я не представлял себе -- насколько экстремальной часто может быть ситуация. Ряд детей, которым в школе особенно хорошо давалась арифметика, действовали на ощупь, сразу же начинали с утомительных вычислений или просили освободить их от сложных задач -- они не рассматривали ситуацию в целом. Конечно, когда я помогал им разобраться, они со стыдом восклицали: «Как я был слеп, как глуп!»

Эти наблюдения напомнили мне о некоторых более серьезных результатах экспериментов в школе, которые весьма тревожили меня. Я более тщательно и внимательно изучил обычные методы и способы преподавания арифметики, учебники и специальную психологическую литературу, на которой основаны методы обучения, изложенные в этих учебниках. Все яснее и яснее становилась одна из причин затруднений: упор на механические упражнения, на «немедленные ответы», на формирование привычки действовать вслепую, по частям. Повторение полезно, но продолжительное механическое повторение может оказаться вредным. Оно опасно потому, что легко порождает привычку к чисто механическим действиям, действиям вслепую, тенденцию к школярскому отношению к учебе, к подражанию, а не к свободному размышлению.

Исследование отупляющего действия механического

1 Экспериментируя с задачами, решение которых фактически содержится в самом тексте задачи, но функционально скрыто, то есть представлено в контексте задачи в совершенно другой функции и роли, сталкиваешься с типичными ответами. Испытуемые часто не замечают даже точной буквальной формулировки решения в тексте. И характерно, что лишь спустя некоторое время они открывают для себя это. Последнее является еще одним экспериментальным доказательством важности осознания места, роли и функции элемента в структуре. (См. эксперименты Н. Майера с включением технических заданий в контекст других задач: Reasoning in humans. I. On direction.--"Journal of comparative Psychology", 1930, Vol. 10, p. 115-143). повторения в последовательности предлагаемых задач было начато в Берлинском институте в 1924 г. Дункер и Зенер получили поразительные результаты 1. В последние годы мой ученик А. Лачинс 2 провел всестороннее исследование этого эффекта в школах и разработал экспериментальные методы его изучения. Поразительно, как легко механические действия, излюбленные методы повторения отупляют даже самых сообразительных, хорошо подготовленных учащихся. Лачинс применял также методы «излечения» от таким образом вызванной слепоты, что обычно позволяло легко восстановить осмысленные реакции, но это не оказало значительного влияния на многих детей в некоторых школах. Конечно, существует несколько возможных объяснений как эффекта отупления, так и возвращения к нормальному состоянию: Лачинс и Аш 3 провели экспериментальное исследование этих теоретических проблем. Выяснилось, что важными факторами являются: привычки, приобретаемые в результате упражнений, установки при решении задач, определенная атмосфера в школе, оказывающая влияние на обучение, деятельность и мышление 4.

Сейчас я расскажу о трех реакциях на полученные результаты.

Однажды я рассказал об этих результатах знаменитому психологу. Я сказал, что они могут объясняться плохим преподаванием, быть следствием упора на формирование бессмысленных ассоциаций и заучивание, что ослабляет установку на соображение. «О нет, -- возразил он, -- вовсе нет. Если вы задаете такие «гештальтвопросы», то отрицательный результат совсем не кажется удивительным, детей не учат решению таких задач. В школе их учат арифметике. Если вы будете учить их на таких гештальтзадачах, они научатся их решать. Дело только в том, чему вы их учите».

Эти замечания содержат четкую формулировку теоретической проблемы. Этот психолог сам является тонким мыслителем. Его замечания станут понятными, если учесть, что для него, как и для многих других, мышление 1еоретически есть не что иное, как функционирование механических ассоциативных связей, привычек, приобретенных в результате повторения. Чем же еще может быть мышление?!

Математик, которому я рассказал об этих экспериментах, заметил: «Вы ошибаетесь. Неважно, найдете ли вы такой короткий способ решения; метод точного вычисления является правильным, общим методом. Вы можете пользоваться кратчайшим путем только в исключительных случаях».

Это важный вопрос. Отвечая ему, я сначала ссылался на некоторые вещи, о которых говорил в предыдущих главах. Затем я спросил, считает ли он открытие Гаусса также просто экономной процедурой, не имеющей особого значения. И наконец, я сказал: «Я, напротив, считаю метод Гаусса не просто конкретным приемом короткого способа решения. Речь идет об основной установке в отношении к задаче, к способам решения. Для многих школьников деление действительно означает технику, приобретаемую тренировкой, как, например, в случае „8 делим на три, получаем 2; сносим 2; 21, деленное на 3, равно 7; 6, деленное на 3, равно 2... 272". Вот что такое для них деление. Но хотя механический навык обладает практической ценностью, особенно в смысле освобождения ума для более важных задач, возникающих в проблемных ситуациях, он не должен отуплять человека. Следует различать случаи, когда техника деления рассматривается и применяется просто как техника, и случаи, когда человек не понимает, что суть деления заключается в подразделении данной конкретной структуры на части. И то же относится к умножению.

Если в таких случаях человек не может понять структурного смысла деления, то он упускает главное. Я действительно считаю, что при обучении арифметике следует делать основной упор не на механическую тренировку, а дать возможность ребенку самому открыть структурные особенности и требования данных ситуаций и научиться осмысленно действовать в них. Конечно, это требует совершенно иного способа обучения, отличного от используемой в большинстве школ тренировки». Затем я рассказал математику о некоторых достижениях в области структурных методов, особенно о методах д-ра Катрин Штерн 1 которые он, конечно, оценил по достоинству.

Совсем иной была реакция другого хорошо известного психолога. После того как я рассказал ему кратко о своих экспериментах в школе, он заявил: «Конечно, я вас понимаю. Это напоминает мне мои собственные наблюдения, которые могут оказаться типичными. Мой сын, сообразительный мальчик, пришел ко мне и сказал: „Понимаешь, папа, я очень хорошо успеваю по арифметике в школе. Я умею складывать, вычитать, умножать, делить -- все, что угодно, -- очень быстро и без ошибок. Трудность в том, что я часто не знаю, какое из действий нужно применить..."»

В этом повинны не учителя. Многие из них в той или иной степени не удовлетворены упором на механические ассоциации, на слепые упражнения. Многие прибегают к ним, потому что им кажется, что эти методы согласуются с научной психологией, под которой они понимают психологию механического запоминания бессмысленных слогов и обусловливания. Многие прибегают к ним, так как не видят других, более осмысленных, конкретных, научных способов обучения. Разработка лучших методов действительно является задачей более адекватной психологии мышления и обучения.

Возможно, теперь у читателя сложилось ясное представление о психологической структуре задачи Гаусса. Однако в изложенных вариантах не получил достаточного освещения следующий интересный вопрос. Именно он и делает открытие Гаусса столь замечательным: это вопрос о внутренней связи решения и принципа, по которому построен ряд. В ходе экспериментов я демонстрировал ряды чисел, не давая задания. Вот один из них:

-63, -26, -7, 0, +1, +2, +9, +28, +65

Взглянув на этот ряд, читатель, возможно, уже что-то заметил. Может быть, он заметил сходство некоторых чисел (-63, +65; --26, +28; -7, +9), установил, что сумма каждой пары равна двум, что 3X2 = 6, что сумма 0+1 + 2 равна 3, так что сумма ряда равна 9. Эта процедура в какой-то мере является гауссовой, но не вполне. Встречается другой тип реакции. Приведу типичный протокол. «Слева направо ряд последовательно возрастает, сходным образом он убывает справа налево. Эти числа как-то соответствуют друг другу: --63 и 65, --26 и 28, --7 и 9. Что можно сказать о средней части?

Рис. 91

А, ряд неверно центрирован! Действительным центром является +1! Эта 1 должна быть нулем... И если мы из каждого числа вычтем 1, то получим xn = n 3» 1.

Таким же образом действовал испытуемый, когда его с самого начала просили найти сумму. Заинтересовавшись исследованием ряда, он, однако, сначала игнорировал задание пли временно забыл о нем. После того как испытуемый таким образом получил хп = п3, ему напомнили, что нужно было найти сумму. «Сумму? -- сказал он. -- Сумма этого ряда, естественно, равна нулю... Ой, извините, здесь же еще этот дурацкий сдвиг. Весь ряд сдвинут на + 1. К каждому числу добавляется +1. Значит, +1, умноженное на число членов... чему это будет равно? Девяти», -- сказал он не слишком довольным тоном.

В этом месте экспериментатор заметил: «Как странно вы действуете! Вас просили определить сумму, зачем вообще беспокоиться о таких вещах?» И он показал упомянутый выше короткий способ, добавив: «Никто не спрашивал о принципе построения ряда. Почему же не выполнить задание прямо?» На что испытуемый, явно поглощенный своими мыслями, несколько раздраженно ответил: «Да-да, вы правы, но, пожалуйста, не мешайте мне. Разве вы не видите, что отсюда следует?..» Он погрузился в раздумья. Для него начался долгий процесс, состоящий из цепи открытий.

Концентрация на поставленном вопросе, попытки ре-

шить задачу кратчайшим путем не всегда являются самым разумным подходом. Существует такая вещь, как стремление добраться до сути дела. Несколько дней спустя тот же испытуемый сказал: «Это дурацкий сдвиг -- я должен в нем разобраться». Как прекрасно открыть «истинную» структуру 1, проникнуть за обманчивую видимость, добраться до самой сути, понять, в чем здесь дело. Через некоторое время испытуемый сказал: «Здесь хn = п3... Сумма равна нулю независимо от того, продолжается ли ряд симметрично или обрывается в любой заданной точке. Этого не происходит при хп = п2. Обе половины равны друг другу, но они друг друга не компенсируют: ( -- 2)2 = 4, как и ( + 2)2. Вообще при нечетном показателе степени сумма должна быть равна нулю». Далее он продолжал: «То же справедливо для непрерывных кривых, например для синусоиды, которая должным образом оборвана, для площади под кривой или для суммы вертикальных отрезков, расположенных между синусоидой и осью абсцисс:

Рис. 92

И то же справедливо для площади в

Площадь превращается в прямоугольник.

Рис. 93

Даже если кривая смещена!

1 Для того, чтобы действительно убедиться в том, что такой структурный взгляд (здесь xn=n3 со сдвигом) является верным, некоторые продолжают выяснять, будут ли другие значения слева и справа соответствовать установленному принципу. Другие исследуют также, что произойдет со значениями при изменении ряда. Но в данном опыте главным было не это. Наш испытуемый сосредоточился на определенных целостных свойствах рядов, о чем свидетельствовали его дальнейшие действия.

Дело в симметрии и равновесии всей фигуры. А как же для других кривых? Конечно, это справедливо и для у = х (см. рис. 95А) или для у = ах (см. рис. 95Б).

Рис. 95

При любом изменении угла это справедливо для любой симметрично оборванной прямой. Для у = ах + b линия только сдвигается. И площадь всех фигур вроде следующей равна произведению высоты центра и основания.



Рис. 96

Это справедливо для соответствующего ряда хп = xn-1 + k. Сумма членов равна среднему значению, умноженному на число членов, с умноженному на n».

Таким образом, он пришел к теореме Гаусса, отправляясь не от ряда, начинающегося с 1, а увидев равновесие в распределении чисел, которое является свойством структуры в целом.

Теперь я вернусь к процессу мышления этого испытуемого. Главное, что здесь нужно понять, -- это то, что дело не в нахождении разностей между соседними членами, не в констатации равенства этих разностей и т. д., или в открытии законов построения таких рядов. Важнейшим оказывается вопрос о равновесии целого, осознание связи равновесия с особенностями целого. И это равновесие является весьма динамичным, чувствительным к любым отклонениям -- или нарушениям в любой из частей.

Рис. 97

Если построить схему точек таких гауссовых рядов, то мы увидим, что эта линия является прямой или что существует отклонение от прямолинейности (структурное нарушение), задолго до того, как сможем установить или узнать величину разностей, их равенство и т. д. Например:

Мы замечаем подобные нарушения, которые противоречат явному свойству целого -- прямолинейности. Такие ряды, например первый из приведенных выше (без числа 5), могут быть описаны как ряды, подчиняющиеся закону, выраженному в общей формуле xn = f(xn-1). Он так же закономерен, как ряд, соответствующий прямой, только обладает более сложной структурой. Но ряд хп = = xn-1 + k отличается своей структурной простотой, структурной ясностью свойства целого. Воспринимая ряд

1+2+3+4+5+6+7+8

непосредственно, или особенно в виде схемы, никто не станет считать его отклонением от более сложной структуры, в которой 5 предстает как нарушение. Хотя, конечно, с математической точки зрения один закон как закон ничем не отличается от другого 1.

То же справедливо для синусоиды, или для точек, образующих синусоиду. Гораздо раньше, чем мы устанавливаем или узнаем расстояния между отдельными точками, гораздо раньше, чем мы находим «закон образования класса», управляющий ими, мы замечаем -- рассматривая целое -- регулярность кривой.

Рис. 100

Мы видим, что правильные части целого ритмически чередуются,

Рис. 101

Мы «схватываем» симметрию частей целого, только рассматривая их как части. Самым важным психологически здесь являются выделяющиеся черты целого 1 и его частей. На фоне этих центральных черт становятся особенно заметными отклонения, рассматриваемые именно как отклонения.

Многие скажут: «Очень хорошо, но это только нестрогая, глобальная, психологическая точка зрения, которая несравнима с точной математической формулировкой в терминах y = f(x) и т. д.» Это возражение неубедительно. Является ли математический путь обязательно движением снизу вверх? От элементов к целому? Следует ли, чтобы быть точным, выводить качества целого, например симметрию, как нечто вторичное? Разве нет не менее точного математического способа рассмотрения сверху вниз? Математических способов, которые исходят от свойств целого и только потом ведут к элементам?

Восприятие свойств целого психологически не изменится, если вместо точной во всех деталях синусоиды рассматривать извилистую «синусоиду» или кривую в виде набора точек, с некоторым разбросом и даже со случайным их распределением 2. В данном случае мы сверху воспринимаем свойства целого, его форму, хотя отдельные детали, мельчайшие части, элементы не управляются больше простым законом. Математики могут стро-

Это же справедливо для всего процесса мышления и для наших действий, если мы, несмотря на всякие усложнения, малейшие отклонения, не теряем из виду общего направления.

Рис. 103

го описывать такие случаи, устанавливая свойства целого, которые не будут меняться, несмотря на изменение частей.



Рис. 104

В современной физике такая ситуация является довольно типичной. В таких случаях нам известны свойства целого, поведение системы в целом, но мы не знаем точно, как ведут себя мельчайшие частицы, или знаем, что они ведут себя случайным образом. Должны ли мы, пытаясь найти математическую формулировку, начинать с установления законов для этих мельчайших частиц? Возможно, существуют способы начинать с определения свойств целого, которые допускают изменения в поведении мельчайших частиц.

Более того, нельзя ли разработать таким образом методы изучения проблем динамики? Рассматривать тенденции к некоторым трансформациям не на основе простого суммирования отдельных элементарных сил, а как функции свойств целого и их нарушений?

Как бы ни обстояло дело в дальнейшем, конечно, неверно, что целостный подход является лишь «глобальным», «нестрогим», справедливо лишь то, что с технической точки зрения противоположный способ действий является более разработанным.

Вернемся теперь к процессу, описанному на с. 170 и сл. Хотя, рассматривая задачу Гаусса, испытуемый и совершал действия, похожие на действия других испытуемых (см. II), существует все же некоторое различие. Этот испытуемый подошел к задаче шире и глубже. Для него эта задача была не просто отличной возможностью реорганизации конкретной задачи; он сосредоточил свое внимание на возможностях, открывавшихся благодаря установлению внутренней связи между формой ряда и его суммой.

Потом он сравнил свою формулу с · п с формулой Гаусса (n + 1) n/2 и заметил, что последняя переходит в с · п и заметил, что последняя переходит в с · п при небольшом ее изменении на · п. Затем он сказал:

То, что ряд начинается с 1, не существенно. Это лишь частный случай. Более того, формула Гаусса является частным случаем, потому что она ограничена разностью членов, равной 1. Важно основное, закономерность; в некоторых рядах, некоторых кривых, некоторых распределениях обнаруживается явная внутренняя связь между свойствами целого, принципом построения и их суммой. Об этом хотелось бы знать побольше. Каковы общие требования? По-видимому, основным является вопрос равновесия целого, компенсации различных частей на некотором уровне». Размышляя над вопросом компенсации, он понял, что этот же принцип справедлив и для произведений. Хотя эти проблемы и захватили его, я не буду здесь рассказывать о его последующих шагах. Они привели его к вопросу, только ли компенсация делает возможной внутреннюю связь между возрастающим рядом и его суммой, и в конечном счете к факту существования конечных пределов у бесконечных рядов.

В таких мыслительных процессах решением конкретного задания -- «задача решена, задание выполнено» -- дело не кончается. Способ решения, его основные особенности, трудности решения выступают как части большой расширяющейся области. Здесь функции мышления не ограничиваются только решением конкретной задачи, мыслящий человек совершает открытия, обнаруживает более глубокие вопросы. Часто в великих открытиях наиболее важным является правильная постановка вопроса. Прозрение, постановка продуктивного вопроса порой являются большим достижением, чем решение поставленной задачи, подобно тому как в нашем примере важнейшим был процесс постановки, кристаллизации основной структурной проблемы -- более широкий, более глубокий, чем описанные ранее процессы.

Подобно тому как задача -- проблемная ситуация -- в ходе продуктивного мышления не является чем-то замкнутым в себе, но ведет нас к решению, к структурному завершению, даже задача с полученным решением часто не является завершенной вещью в себе. Она снова может функционировать как часть, которая заставляет нас выйти за ее пределы, побуждает рассматривать, осмысливать более широкое поле. Часто это длительный процесс, характеризующийся драматическим преодолением препятствий. Встречаются чистые случаи, когда такой процесс протекает неуклонно на протяжении многих месяцев и даже лет 1, при этом никогда не теряются из виду более глубокие проблемы, и человек не погрязает в мелких деталях, не идет окольным путем, по боковым тропам.

...