Особенность продуктивного мышления

2. Затем я клал перед ребенком набор кубиков, в котором не было кубиков, использовавшихся на первом этапе. Это оказывалось эффективным: дети начинали строить мост. В других случаях я клал на стол только три кубика. Bсe дети действовали с ними вполне осмысленно. Ни один ребенок, строя мост из кубиков группы с, не использовал в качестве опоры кубик, который был опорой в исходном наборе.

Рис. 46

Ясно было, что их поведение направлялось не первоначальным стимулом, а отношениями. Два равных и маленьких кубика выбирались в качестве опор и помещались на расстоянии, которое допускало использование третьего кубика как перекладины.

3. В других экспериментах (с детьми, которых врачи считали самыми тупыми) я создавал критическую ситуацию. В наборе из трех кубиков, с помощью которых они должны были строить мост, был один кубик такой же величины, как исходные опоры, и два кубика, равных по величине с исходной перекладиной. Будут ли в этом случае дети придерживаться усвоенной простой суммы стимулов и их связей и расставлять кубики, как прежде?

Рис. 47

Некоторые дети именно так и поступали. Они ставили короткий кубик вертикально, длинный -- горизонтально, удерживая его в таком положении и явно стараясь найти другой короткий кубик. Я ничего не предпринимал. Тогда они пытались поставить третий кубик вертикально; он падал. (Некоторые дети сразу пытались это сделать.) После того как кубик падал, дети повторяли свою попытку, но после двух попыток почти все дети неожиданно улыбались и меняли кубики местами. Многие дети после небольшой паузы делали так сразу без всяких предварительных проб (см. рис. 49).



Рис. 48 Рис. 49

Для многих детей эти попытки явно не были просто негативным опытом. Видно было, что из этих неудачных попыток они вынесли нечто позитивное, они обратили внимание на важное обстоятельство, связанное с падением кубиков: на связь между устойчивостью и равенством размеров опор.

4. В экспериментах с остальными детьми я использовал разноцветные кубики: опоры были одного размера а цвета, а третий кубик отличался и величиной и цветом. Затем для проверки предлагался набор, в котором пара кубиков, совпадающих по цвету, отличалась от пары совпадающих по размеру (рис. 50). Это никого не сбило с толку. Таким образом, решающим является не просто равенство в каком-то отношении, а внутренняя связь между горизонтальной (устойчивой) структурой и одинаковой. величиной двух опор, то есть с-отношение.

Рис. 50

5. Имеет ли в данном случае решающее значение одинаковая величина вертикальных кубиков? Перед проверкой я строил из больших кубиков лестницу, а затем с помощью жестов показывал, что нужно построить мост на ступеньках лестницы. Дети строили его, как показано на рис. 51, то есть выбирали один из равных кубиков для опоры, а другой -- для перекладины. Это свидетельствует о том, что решающим является не одинаковая величина кубиков сама по себе, а скорее внутренняя связь между горизонтальностью и устойчивостью, и уже исходя из этого определяется то, какую роль будет выполнять та или иная часть.

У неспециалиста может возникнуть вопрос, почему я считаю необходимым предлагать такие проверочные испытания (как в пунктах 2, 3, 4, 5). «Разве результат не очевиден?» -- может спросить он. Нет, не очевиден. Во-первых, встречаются -- хотя и редко -- дети, которые привыкли действовать подобно маленьким рабам, точно следуя тому, чему их научили, строго придерживаясь с трудом усвоенной суммы отдельных действий и их связей, к которые терпят неудачу при всяком изменении ситуации. Встречаются также -- хотя опять-таки редко, в этой труппе я не обнаружил ни одного такого ребенка -- дети, которые снова и снова повторяют безуспешные попытки, так и не осознав необходимости осмысленного изменения

Рис. 51

Во-вторых, положение дел в нашей психологической науке таково, что она очень нуждается в таких критических экспериментах. Чтобы по-настоящему разобраться в существе дела, наука нуждается в таких критических вопросах. (Вопреки представлениям здравого смысла. Иногда именно в очевидном таятся фундаментальные, волнующие ученого проблемы, а здравый смысл лишь вводит в заблуждение 1.)

6. Некоторые теоретики, возможно, все же подумают: «Отношения или не отношения -- в конце концов, все это, в сущности, не что иное, как сумма связей». Можно ли поставить такой критический эксперимент, чтобы проверить это утверждение? Можно ли с помощью эксперимента решить, имеем ли мы дело лишь со случайно усвоенными связями?

Да, можно. Необходимо только ввести элемент случайности. Как это сделать? Мы можем придумать такой чудесный набор кубиков, что мост будет устойчивым в том случае, когда цвет кубиков в вертикальной паре одинаков, и разрушится, когда кубики будут разного цвета, независимо от относительной величины опор. Или, в согласии с экспериментами другого типа, мы можем не беспокоиться об устройстве такого волшебного мира. Вместо этого, после того, как строительство закопчено, учитель говорит: «Правильно» -- и дает ребенку кусочек шоколада; а в другом случае он говорит: «Неправильно» -- и избави боже! -- наказывает ребенка, не ожидая, когда рухнет конструкция.

Будет ли эффект от такого обучения равносилен эффекту обучения в ситуации, о которой мы рассказали в начале этой главы и которая, к счастью, оказалась в какой-то степени осмысленной и естественной?

Но мы пока оставим этот вопрос без ответа и продолжим простые эксперименты.

7. Как и в (1), я начинал строить мост, но для последующей проверки ставил две опоры несколько дальше друг от друга. Ребенок смотрел на третий кубик, затем сближал опоры 2. Я возвращал их в прежнее положение.

1 Тех, кто захочет повторить подобные эксперименты с детьми, я должен предупредить, что следует соблюдать большую осторожность при выборе кубиков. Использование кубиков, которые из-за трения делают устойчивыми даже плохие конструкции, будет служить помехой вашим исследованиям. (Так, для того, чтобы уменьшить трение, лучше использовать полированные кубики). Ср. с поведением шимпанзе, которым, для того чтобы достать банан, нет необходимости устойчиво нагромождать ящики, поскольку они могут достаточно быстро прыгнуть с верхнего ящика, прежде чем развалится вся конструкция. (Kцhler W. The mentality of apes. New York, Harcourt Brace, 1925.) Иногда у нас с ребенком начиналась увлекательная игра: мы передвигали кубики взад и вперед. Спустя какое-то время (а некоторые дети и без этой игры с передвижением кубиков) ребенок поворачивался к груде кубиков, в которой он явно искал более длинный «подходящий» третий кубик. Не найдя его -- поскольку в расположенной на столе куче кубиков не было кубика нужного размера, -- он брал два кубика поменьше и строил конструкцию, показанную на рис. 52.

Рис. 52

Таким образом, мы видим, что решающим здесь является отношение между расстоянием и длиной третьего кубика. (Один ребенок взял первоначальный третий кубик, который по сравнению с расстоянием между опорами был недостаточно длинным, и поместил его между опорами. Кубик упал, но ребенок снова и снова повторял это действие.)

8. Когда задача была решена, я разрушил мост, взял опоры и поставил их еще дальше друг от друга, так что предыдущее решение стало невозможным. Тогда ребенок построил конструкцию, показанную на рис. 53 1.

Рис. 53

И наблюдая за детьми, можно было видеть, что их поведение определялось пониманием того, что короткие кубики не «сомкнутся», не обеспечат стабильности и т. д. Не повторение исходных конкретных элементов, а структурные требования ситуации определяют поведение.

Если же эта структура случайно оказывалась устойчивой, я увеличивал расстояние. Ребенок опять сделал эту конструкцию; на этот раз она рухнула. Ребенок повторил свои действия с тем же результатом.

Я следил за тем, как ребенок изучал свои конструкции и создавал новые, если рушились прежние. Он осторожно ставил третий кубик на две перекладины, продолжая его удерживать. Но в тот самый момент, когда конструкция готова была обрушиться, когда возникала опасность, что горизонтальные блоки наклонятся и полностью потеряют равновесие, он неожиданно опять поднимал средний кубик и с некоторым затруднением, но последовательно строил конструкцию, показанную на рис. 54, помещая для равновесия на краях дополнительные маленькие кубики.

Рис. 54

Некоторые дети делали это без большого количества проб, и их поведение в ходе проб непосредственно перед получением решения явно свидетельствовало о том, что ребенок начинал интересоваться тем, в какую сторону упадут кубики 1.

Эти действия могут служить примером пусть скромного, но вполне реального открытия или изобретения. Ясно, что в этом случае действия ребенка являются для

Сравни эксперименты с детьми и взрослыми, когда они стараются воспроизвести какой-нибудь фокус: как трудно им бывает в некоторых случаях понять, в чем же в сущности дело! Не поняв этого, они в таких случаях стараются так точно и по-рабски воспроизвести последовательность действий, что упускают самое важное.

Ребенок сам был удивлен. Другие дети не могли этого сделать. Не могли решить задачу и многие взрослые, с которыми я повторял этот эксперимент, и среди них очень умные, образованные, искушенные люди. Некоторые из них рассказывали мне позднее, что провели бессонную ночь, так и не найдя решения.

Иногда встречались другие изобретения, например дублирование вертикальных опор, введение третьей вертикальной опоры посередине и т. д.

Так, один ребенок, после того как рухнула первая конструкция, лукаво улыбаясь, взял одну опору, попытался уравновесить перекладину, попробовал поставить на перекладину два кубика и с напряженным интересом следил за тем, что произойдет. Убедившись, что эта конструкция устойчива, он возвратился к длинному мосту и решил задачу.

Рис. 55

Следует отметить, что сооружение такой структуры само по себе отнюдь не простое дело. Нужно приложить большие усилия, чтобы она не рухнула прежде, чем будет завершена. Такая конструкция оказывается весьма неустойчивой, поскольку, имея только две руки, нельзя одновременно поставить перекладину и два кубика на ее края. Но, несмотря на эти затруднения, часто дети осуществляли такое построение с пониманием сути дела. Когда же у детей или взрослых наблюдались действия, приводящие к отрицательному результату, это не обязательно свидетельствовало о низком интеллектуальном уровне.

Могли играть роль совершенно иные факторы: трудности в обращении с кубиками, неловкость, неуклюжесть. У некоторых взрослых испытуемых такими факторами могут быть также нежелание подвергаться тестам, выступать в роли испытуемых, находиться перед публикой, пренебрежительное отношение к подобным задачам и т. д.

Многие психологи, услышав об этих экспериментах, говорили: «Это мог бы быть отличный тест на умственное развитие; нельзя ли его стандартизировать?» (Против этого нечего возразить, при условии, конечно, что мы не откажемся от дальнейших попыток выяснить, что же здесь все-таки происходит, каковы реально действующие факторы и реальный психологический смысл таких действий.) Очень часто, прибегая к тестам интеллекта, психолог не знает, что он, в сущности, измеряет. Поэтому ответ на тот или иной вопрос теста еще мало что говорит, если остается неясным, с помощью каких действий он выполнен, были ли они слепым повторением заученной суммы действий (выбор данного кубика и установка его в данное место) или определялись скорее действительным пониманием того, что следовало сделать.

Если теперь читатель спросит: «Раньше вы говорили, что одни дети решили задачу, а другие -- нет. Сколько же человек решило задачу? Скольким это не удалось? Каков их возраст?» -- то, значит, он упустил главное. Мы стремились выяснить, как дети приходят к решению, какие факторы связаны с этими продуктивными действиями. Не удовлетворяясь общими ответами, вроде ссылок на прошлый опыт, усвоенные связи, стремление достичь дели и т. д., мы вынуждены были использовать указанные вариации. Теперь мы постараемся описать, как выглядели эти действия.

9. В ходе решения последней задачи (которое у многих детей сопровождалось чувством радости от приобретения нового опыта, новых достижений) решающей фазой была установка дополнительных блоков на левом и правом краях горизонтального кубика. Каким образом возникает эта операция? Как дети приходят к этому?

В результате слепых проб и ошибок? Конечно, нет, потому что, прежде чем прийти к решению, они не совершают бессмысленных проб. И конечно, они приходят к решению не с помощью ряда произвольных операций.

Случайным образом? Маловероятно.

В результате использования прошлого опыта, припоминания успешных сходных операций? Весьма вероятно, что какой-то прошлый опыт сыграл свою роль, но разве такая общая ссылка на прошлый опыт достаточна? Давайте сразу же введем то, что необходимо. Я показывал детям конструкцию, представленную на рис. 55, не только в законченном виде, но и в процессе ее сооружения; я также давал ребенку возможность самостоятельно построить и уравновесить ее. Это не помогало при решении задачи с длинным мостом, даже если я еще добавлял: «Теперь ты, конечно, сможешь построить длинный мост». Вполне возможно, что некоторым детям такая процедура могла бы помочь; однако в данном случае этого не произошло. Какие же условия необходимы для того, чтобы эта процедура оказала помощь? Почему она не помогала в данных случаях? (Как я уже упоминал, некоторые дети спонтанно прерывали сооружение длинного моста, пытались построить именно эту структуру и, когда добивались успеха, возвращались к исходной задаче и решали ее 1.)

Что же здесь является действительно решающим? Как это можно установить?

Когда наблюдаешь за поведением детей -- за тем, что они делают, куда смотрят, что им кажется интересным, как они добиваются реальных успехов, -- процесс представляется в следующем виде:

Ребенок ставит средний кубик сверху; сооружение рушится. (Отрицательный опыт; отсутствие успеха; некоторые дети разочаровываются; другие несколько раз повторяют эту операцию.)

Это не является для ребенка просто отрицательным опытом. Он явно старается локализовать нарушение, понять причину неудачи, как и почему она произошла.

Падение среднего кубика теперь уже не является главной проблемой. Что-то происходит также на левом и правом краях! И то, что там происходит, связано с затруднением или имеет к нему отношение. (Это не равносильно выяснению всех деталей в ходе поэлементного анализа; действия направлены на область, играющую важную роль во взаимосвязи явлений.)

Именно здесь возникает вопрос об устойчивости сооружения. Каким образом? Наблюдаемое направление падения опор рассматривается как результат неустойчивости, возникающей из-за перегрузки на одной из сторон. (Ребенок, конечно, не формулирует это в таких абстрактных терминах, но он чувствует, что для того, чтобы обеспечить устойчивость, необходимо симметрично компенсировать перегрузку. Ситуация взывает о помощи.) Откуда же она приходит? Случайно? Из памяти? Как я уже упоминал, один ребенок прервал свою работу над мостом и построил структуру, показанную на рис. 55; поняв, что маленький кубик слева может компенсировать дополнительный вес кубика справа, он, сияя, вернулся к задаче с длинным мостом и решил ее 1. Другой ребенок, не проделывая этого, явно сконцентрировал свое внимание на критических событиях с длинным мостом, потрогал угрожающие равновесию края и, почувствовав, что происходит, решил задачу.

Гравитационные условия должны быть включены в структуру. Но слова вроде «следует принять во внимание гравитационные ощущения» не помогут решить проблему. Гравитационный аспект проблемы выступает здесь структурно как часть ситуации, предполагающей устойчивость, симметрию -- причем не просто геометрическую симметрию, пространственную симметрию, но гравитационную симметрию, смысл которой задается ее местом в общей структуре.

1 Теперь мы видим, что предлагаемая в качестве помощи операция является эффективной только в том случае, если она связана функциональными требованиями с ее функцией в целостной структуре. Тем детям, которым в качестве «помощи» показывали конструкцию, изображенную на рис. 55, эта моя операция казалась чрезвычайно странной. Они не улавливали связи этого шага с задачей построения длинного моста и не смогли воспользоваться им именно потому, что он не имел для них функционального значения. Здесь кроется проблема для будущих экспериментальных исследований: возможно, что эффективной может оказаться только та помощь, которая предлагается в нужный момент, когда ребенок уже обнаружил область нарушения.

В этом месте мы можем добавить, что для детей даже исходная ситуация является не столь простой, как здесь утверждается. Они должны понять с-отношение, несмотря на технические сложности: иногда сооружение рушится, даже если оно симметрично уравновешено, часто это происходит из-за некоторой неуклюжести, неловкости детей, из-за того, что они ставят кубики с чрезмерной силой.

Во всяком случае, в ходе подобных экспериментов у меня сложилось впечатление, что дети способны в отсутствие специального прошлого опыта, в результате действительно осмысленной работы над проблемой, понять именно то, что следует. Они сами осмысленно находят необходимый опыт.

Участие в таких процессах может казаться детям просто игрой или решением головоломки. Но, наблюдая за их поведением и анализируя его позднее, приходишь к выводу, что они достигли глубокого понимания некоторых черт нашего физического мира. «Любопытство», которое часто наблюдаешь в таких случаях, является не просто любопытством, проявляемым ко всему новому, к разгадке фокуса и т. д., но работой, направленной на более глубокое понимание окружающего нас мира.

Вознаграждение, например шоколад или деньги, иногда могут усилить потребность в успешном решении задачи. Но во многих случаях оно, в сущности, препятствует подлинному решению. Когда все помыслы сосредоточены на желании получить шоколад, требуемые векторы не возникают. Их направление должно определяться самой структурой ситуации, ее требованиями. Похоже, что вознаграждение играет положительную роль только в том случае, когда о нем забывают в ходе работы или, иными словами, когда желание получить шоколад заменяется желанием удовлетворить требованиям ситуации.

И снова, рассматривая проблему в целом, видим, что здесь мы имеем дело не просто с совокупностью каких-то отдельных элементов или связей, а с процессом, который управляется свойствами целого и предполагает иерархию элементов логически более высокого и более низкого уровней. Мы видим также, что каждый из этих элементов (или отношений, или связей) не случайно занимает то или иное место, а адекватно завершает, дополняет структуру целого «соответственно» той роли и функции, которую он выполняет в данной структуре.

При исследовании реакций детей и взрослых испытуемых в различных вариациях задачи мы обнаруживаем, что мыслительные процессы развивались не снизу вверх, от «логически» более элементарных отношений к отношениям более высокого уровня, но в прямо противоположном направлении. Поведение в разумных реакциях определяется в первую очередь свойствами целого (устойчивостью, замкнутостью, симметрией) и тем, что требуют эти свойства в отношении выбора кубиков, их места, расстояния между ними. С логической точки зрения свойства целого выступают как связь между отношениями; посредством этой связи вскрываются сами отношения; э свою очередь благодаря последним мы приходим к элементам.

Конечно, в сознании ребенка нет такой абстрактной логической структуры. Она может быть также слишком сложной и для взрослых (особенно для тех из них, кого учили при чтении таких утверждений концентрировать свое внимание на отдельных деталях). Логика, несомненно, расчленяет вещи, формулируя отдельно пункты, отношения и т. д. -- сами по себе. Но она делает это не для того, чтобы потом прибавлять одни элементы к другим (как думают некоторые логики), а для того, чтобы установить их место, роль и функцию в структуре. Многие логики рискуют получить в результате своего анализа одни лишь аддитивные характеристики вместо видения общей картины и осознания с-природы явлений.

К счастью, работа восприятия (и действия) не является такой поэлементной, поэтому обсуждаемый вопрос психологически не так сложен, как с логической точки зрения 1. Если бы восприятие было по своей сути отражением простой суммы стимулов (возможно, с помощью каких-то дополнительных механизмов), то оно и в самом деле было бы очень сложным.

Две вертикали V1 и V2 являются гомологичными -- они занимают одинаковое место и выполняют одинаковую роль и функцию в целой структуре. Между ними существуют отношения равенства размеров (s), с одной стороны, и расстояния по горизонтали (d) -- с другой. Третий кубик, перекладина (H), находится в гомологических логических отношениях с V1 и V2: левый конец H совпадает с верхним концом V1, а правый конец -- с верхним концом V2. Но H, кроме того, связана с отношением d (длина H больше d) и с s: отношение равенства длин V1 и V2 делает возможным горизонтальное расположение H. И именно эти два последних отношения второго ранга, при условии, что этот термин допустим, тесно связаны с целостными свойствами конструкции -- с ее устойчивостью, с тем фактом, что замыкание конструкции приводит к ее устойчивости 2.

11. Процесс построения моста включает и ряд других операций: выбор кубиков, соответствующее их размещение. В целях экспериментальной проверки различных теоретических подходов с помощью вариаций использовался также следующий метод: предполагалось как можно более объективное и исчерпывающее описание операций, которое формулировалось в терминах определенной теории. Например, какая структура будет «эквивалентна» обсуждавшейся, если мы допустим, что все, что происходит с ребенком в ситуации с мостом, является лишь случайной цепью ассоциаций, не имеющей внутренней с-связи с общей структурой.

Построение моста включает следующие операции:

1 Я надеюсь, что читателя не смутит нарисованная здесь сложная логическая картина. Поведение и реакции детей и взрослых, конечно, не основываются на таких абстрактных логических понятиях. Последние являются лишь логическими средствами, которыми мы пользуемся для описания логической структуры действий. Их достоинство заключается в том, что они позволяют выразить в модели те структурные особенности, которые, видимо, характеризуют психологическую картину, весьма отличную от логической абстракции.

2 Здесь опущены некоторые детали, такие как симметричность положения H относительно V1 и V2, гравитационная природа ситуации и т. д. Они присутствуют в картине; но поскольку это не меняет существа дела, они здесь не рассматриваются, дабы избежать излишнего усложнения.

1a) Берется один кубик (либо тот, который использовал учитель, либо любой другой) и 1б) ставится вертикально на стол.

2а) Берется другой кубик, равный первому (по величине, цвету, форме?), и

2б) ставится тоже вертикально, как и первый, 2в) рядом с первым, на некотором расстоянии от него (либо на таком же расстоянии, как у учителя, либо примерно на таком же расстоянии)

2г) (либо на расстоянии, которое немного меньше длины третьего кубика). За) Берется третий кубик (уже использовавшийся учителем, или просто любой кубик подходящей длины), 3б) выбирается кубик, длина которого несколько больше расстояния по горизонтали между первыми двумя кубиками, и

3в) кладется третий кубик горизонтально на вертикальные кубики (возможно, симметрично). Короче говоря: возьми кубик а, положи его вертикально (v) и слева (l); возьми второй кубик, снова а (равный первому), положи его тоже вертикально (v) и справа (r), на некотором расстоянии (d) от первого а. Теперь возьми b (третий кубик), положи его горизонтально (h) сверху (t), симметрично (s).

Можно предположить, что важно усвоить эти действия в смысле установления правильных связей, ассоциаций между элементами; тогда правильное решение или правильный процесс означает выполнение операций, определяемых этими «связями». Если мы, подобно тому, как это делается в некоторых психологических теориях, будем рассматривать эти действия таким образом, то сможем «воспроизвести» их, например, следующим простым способом: допустим, нет никакого моста, кубиков и т. д., во есть картонные квадраты с написанными на них буквами и несколько ящиков с маленькой щелью в верхней части и каким-то значком на передней стороне. Учитель показывает или заставляет детей заучить следующие операции:

Возьми квадрат с буквой а и положи его в ящик со значками v и l,

Возьми квадрат с буквой а и положи его в ящик со значками v, r, d.

(Вариант: вместо того чтобы взять квадрат с буквой а (1-й шаг), возьми квадрат с любой буквой. Затем (2-й шаг) возьми другой квадрат с той же буквой, что и на квадрате в первом шаге.)

(Другой вариант: на карточках написаны три буквы, соответствующие длине, цвету и форме. Следует научить детей тому, что одна из этих букв в 1 и 2 должна совпадать. Какая буква? Существуют ли какие-нибудь другие ограничения?)

3) Возьми квадрат с буквой b или с буквами b, l, d (означающими большее расстояние) и положи его в ящик со значками h, t, s.

Так вот, если говорить об операциях, которые необходимо заучить, и связях, которые якобы важны, то описанная сейчас процедура в известной степени эквивалентна исходной процедуре построения моста. (При некоторых добавлениях они могут стать логически эквивалентными.)

Вместо ящиков можно использовать также сходную процедуру. Это ничего не изменит с точки зрения воспроизведения простой суммы операций или произвольных связей. Можно также ввести некоторые «отношения», создавая некую констелляцию, содержащую простую сумму отношений. Можно также непосредственно использовать пространственные отношения.

Такая «скопированная» структура дает возможность изучать процессы обучения и выполнения действий и выяснить, не упускаются ли при этом какие-нибудь очень важные осмысленные действия 1.

Можно, конечно, вести обучение, формируя такую установку на подражание. Можно изучать психологические различия в трудностях обучения, запоминания, переноса. Похоже, что копии будут дольше заучиваться, скорее забываться, и при этом соответствующие ошибки окажутся по необходимости случайными и бессмысленными. Возможности уже описанного осмысленного переноса резко уменьшаются, а сам перенос по необходимости будет почти всегда слепым 2.

1 Один психолог -- а он отнюдь не единственный, кто использовал этот подход, -- попытался изучать психологию образования общих понятий и логических операций весьма сходным образом. Затем он пришел ко мне и сказал: «Теперь ты убедился, что я не чужд философии, что я не погряз в слепых экспериментах? Согласись, что я тоже философ, и что с помощью этих методов исследую самую суть логики и природу логических принципов».

2 См. Приложение 5, где рассматривается аналогичная проблема. (См. также: К a t o n a G. Organizing and memorizing. New York, Columbia University Press, 1940). -- Прим. Майкла Вертгеймера.

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА С ВЕРТИКАЛЬНЫМИ УГЛАМИ

Вот элементарный геометрический вопрос. Две прямые линии пересекаются и образуют два угла а и b. Можете ли вы доказать их равенство?



Рис. 56

Вероятно, вы изучали эту теорему в школе. Может быть, вы забыли ее -- тем лучше. Попробуйте доказать ее, прежде чем вы прочтете то, что я описываю в этой главе. Возможно, тогда вы получите большее удовольствие от дальнейшего изложения.

Задавая этот вопрос сообразительным детям и взрослым, часто сталкиваешься со следующими ответами. «О чем вы спрашиваете? Разве это не очевидно? Естественно, что углы равны; разве это не понятно каждому?» И если вы настаиваете, то можете получить ответ: «Это совершенно ясно; две прямые линии сначала сходятся, а потом расходятся в одном и том же направлении». Одно из основных затруднений при решении этой задачи заключается в том, что ученик не понимает -- и не может понять -- смысла вопроса. Он кажется искусственным, бессмысленным. Часто в такой ситуации не могут понять, зачем требуется доказательство; многие не понимают или не способны понять значения доказательства, потребность в котором возникла в ходе развития теоретической математики.

Некоторые говорят: «Конечно, вы можете доказать это, если захотите. Разрежьте лист по вертикали, переверните половину листа и наложите один угол па другой. Посмотрите углы на свет. Вы увидите, что они совпадают». Если я говорю: «Согласен, они совпадут, но можете ли вы показать здесь, на чертеже, что они равны?» -- то большинство испытуемых не знают, что делать. Некоторые по-

Рис. 57

гружаются в глубокие раздумья, которые могут быть малопродуктивными.

Сначала я расскажу, что происходит в школах.

Учитель доказывает теорему. Он проводит линии, обозначает углы и продолжает следующим образом:

a + b =180°

b + c =180°

a = 180° - c

с =180° - b

а = с, что и требовалось доказать.

Рис. 58

Можно описать этот процесс в терминах традиционной логики или ассоциативной теории. Учитель показывает ряд последовательных операций, производит сложения, пишет равенства, преобразует их и наконец получает результат. Он может начать с аксиом или некоторых общих положений и применить их к данному случаю. Ученики заучивают доказательство и после этого могут повторить его.

Конечно, доказательство может быть описано в терминах ряда операций, и для проверки его валидности их необходимо рассмотреть. Но является ли такая совокупность нескольких операций тем, что действительно отражает существо дела?

Через несколько дней учитель вызывает ученика к лоске и просит доказать равенство углов. Если теперь ученик слово в слово повторяет то, чему научил его учитель, то мы не знаем, повторяет ли он услышанное слепо, рабски или же действительно постиг доказательство, понял его.

Бывает, что ученик не вспоминает доказательство точно и пишет:

a + b = 180°

c + d = 180°

затем смело говорит: «Следовательно, а--c». Другие теряются, выглядят туповатыми и сконфуженными. Некоторые могут написать:

a + b = 180°

b + c = 180°

а = 180° - b

b = 180° - c

и оказываются в равной степени беспомощными 1.

Но вы также сталкиваетесь со следующими действиями:

a + d= 180°

с + d= 180°

а =с

Некоторые ученики, видя это, смеются: «Посмотрите! Он сделал две ошибки!» Но действительно хороший ученик говорит или, может быть, говорит себе: «Почему я должен заботиться о словах. Неважно, как я это сделаю». Учитель спрашивает, не может ли он написать доказательство точно в той форме, в которой оно было дано, и он уверенно пишет:

b + c = 180°

c + d = 180°

b = d

1 Ср. гл. 1, с. 42 и сл. Такие нелепые действия, вообще говоря, не характерны для поведения детей; они могут возникнуть главным образом в результате механических упражнений.

Это, конечно, оригинально, но явно отличается от тех изменений, которые внес первый ученик.

Мы видим, что дело не в «количестве ошибок». Одна ошибка может делать ответ совершенно бессмысленным; вместе с тем две «ошибки» могут привести или не привести к успеху, действия могут быть осмысленными или бессмысленными. Две «ошибки» могут иногда указывать на осмысленное понимание. Что же является в данном случае решающим? Вернемся к этому вопросу позже.

Находятся ученики, которые приходят в замешательство, если учитель использует чертеж с непривычными обозначениями. Это не является доказательством того, что «разум целиком управляется привычками» 1. Это доказывает, что отдельные индивиды слепо следуют «тому, чему их учили». Другие могут слегка удивиться изменениям, но то, что они пытаются сделать, отличается от подражательного, бессмысленного повторения.

Вот примеры А- и B-решений.

Рис. 59

1. Дана прямая линия; две другие линии образуют известный угол, например 90°. Если ученик смело использует здесь выученное доказательство, то он показывает, что ничего не понял.

Это -- B-задача.

2. Дан прямой угол. Две пунктирные линии также образуют прямой угол. Одни ученики отказываются от попыток: «Но, учитель, мы этого не проходили». Другие же действуют содержательно, несмотря на сильно измененную ситуацию.

Это -- A-задача.

Рис. 61

3. Чертится угол а, одну из его сторон продолжают, образуя угол b. b делится пополам пунктирной вертикальной линией. Добавляется четвертая линия, образующая с биссектрисой прямой угол. Требуется доказать равенство углов а и с. Читатель может сам установить, является ли этот случай А- или B-задачей.

Теперь я расскажу об экспериментальных результатах, которые я получил, предлагая испытуемым самостоятельно доказать равенство двух углов, а = с. Это трудная задача. Большинство испытуемых не достигло успеха. Я надеюсь, что читатель поймет почему: необходимые структурные операции нелегко себе представить (ср. с. 135 и сл.). В качестве иллюстрации приведу три примера.

1. Расскажу сперва об испытуемом (взрослом), который действовал в значительной степени в соответствии с классическими положениями традиционной логики. Он сказал: «Посмотрим, какими общими положениями я располагаю». Спустя некоторое время он стал выписывать истинные равенства:

Затем он начал производить перестановки, комбинировать равенства парами, складывать их, вычитать, следя за

тем, не выйдет ли из этого чего-нибудь. Наконец он пришел к равенству b = d, но и не подумал остановиться здесь и продолжал свои действия, пока не получил а = с.

Эти действия были похожи на ответ, который один композитор дал любопытному посетителю, пожелавшему знать, как тот сочиняет свои мелодии. Композитор, утомленный посетителем, сказал: «О, это очень просто: я беру несколько нот и по-разному их комбинирую».

2. Вот отличный пример осмысленно развивающегося процесса. Испытуемый, к счастью, мыслил вслух (временами бормотал). Сожалею, что я не могу хорошо описать изменения в выражении его лица и голоса в ходе работы.

Глядя на чертеж, он медленно сказал: «Итак, это не отдельные углы, относительное положение которых произвольно». Когда его спросили, что он имел в виду, он нарисовал:

Рис. 62

«Они не похожи на такие углы. Они являются соответственными частями фигуры. Видно, что прямые линии пересекаются. Эта прямизна линий должна быть как-то связана с равенством углов!.. Прямизна в терминах углов означает 180°…» Тогда он начертил:

Рис. 63

в сказал: «Я вижу, что а выступает как часть для своего угла в 180°, b -- как часть для своего угла в 180°! Остатком в обоих случаях является верхний угол, один и тот же в обоих случаях!» Он обозначил его буквой с и написал два равенства:

Затем он продолжал: «Очевидно, что а в а + с является тем, чем b -- в b+с», -- и написал:

a = 180°--с

b = 180°--с

«Следовательно, -- заключил он, -- а = b».

3. Другая последовательность действий, первые шаги которой были весьма похожими, завершалась иначе. Испытуемый понял, что следует рассматривать а и b как части 180°. Но поначалу он не понимал, что нужно рассматривать эти условия в связи с остатком. Он рассуждал следующим образом: «Я должен использовать а как часть 180°; я должен использовать b как часть 180°». Он нарисовал:

Рис. 65А

Затем он начал колебаться, говоря: «Существует еще одна возможность образования пар». Просияв, он изменил рисунок на:

Рис. 65Б

Осмысленный процесс типа описанного нами в двух последних примерах включает операции группировки, осознания структуры, равенства, симметрии, «совпадения ролей», функций в группе, осознания отношений, а именно с-отношений, в которых реализуются внутренние связи искомой группировки с данной структурой.

Возможно, читатель уже понял, что является существенным в A- и B-случаях и реакциях. В А- и B-реакциях (см. рис. 59--61) имеет значение не повторение пунктов, не копирование заученной совокупности шагов, а структурные вопросы. Для установления равенства а и с один из углов, угол а, рассматривается как часть 180°, как часть угла а+b+ с также рассматривается как часть 180° -- угла c+b. При одинаковом остатке углы а и с должны быть равны. Структурный результат заключается в следующем:

Рис. 66

Таким образом, важно то, как структурно связаны друг с другом эти два равенства; осмысленное действие заключается в поиске этих структурных требований. B-реакции нарушают последние, слепы к ним. A-реакции определяются ими, но внутри A-реакций оперирование фазами весьма свободно; несущественно, «правильно ли повторяются» шаги доказательства.

В общем виде структура такова:

Рис. 67

Решающее значение имеет не природа составных частей, а тип группировки в связи с отношениями:

r1, равенством подцелых,

r2, идентичностью остатка,

Это не простая совокупность отношений или операций: она взаимосвязаны с заданием, являются осмысленными частями замкнутого целого.

Некоторые теоретики признают необходимость целостного взгляда, но тем не менее упускают самое главное. Они описывают некоторые B-реакции следующим образом: «Испытуемый ошибся, потому что не принял во внимание все элементы или отношения». Все элементы?

Рис. 68

Все отношения? Но для осмысленных процессов как раз характерно то, что не принимаются в расчет все элементы. Когда дан этот рисунок и требуется доказать, что а = b, на пятую линию не обращают внимания. Короче говоря, «целое» не значит «все», но относится к структуре тех единиц, которые связаны с заданием; оно относится к «хорошему гештальту».

Читателю станет ясно, если он применит эту структурную схему (рис. 67) к А- и B-реакциям. В некоторых B-случаях -- бессмысленных или безвыходных -- отсутствует одно основное отношение, в других -- присутствуют два основных отношения, как показано на рис. 69.

Рис. 69

Но действия оказываются слепыми потому, что неверно выбрано место единиц, которые они связывают. Это значит, что решающими являются не отношения сами о себе, а отношения в зависимости от их места в рамках хорошей структуры.

На рис. 67 отношение 1 является не отношением между элементами, а отношением между двумя группами, или подцелыми, которые рассматриваются как симметричные. Их равенство (отношение 1) играет в этом процессе решающую роль, каким бы по величине ни был угол (элемент), равным ли 180°, 90° и т. д. Отношение 2 является отношением между «гомологичными» единицами двух подгрупп. Из отношения 1 и 2 следует искомое отношение 3: r1 r2 r3. (Логик не должен заблуждаться относительно формулы: из r1 r2 следует r3. Это не случай логического следования. Формула лишена смысла, если не учитывается место этих отношений в структуре.)

Задание самостоятельно найти доказательство теоремы о равенстве вертикальных углов является, видимо, гораздо более трудным, чем, например, задача на определение площади параллелограмма. Почему?

Помимо ранее упоминавшейся причины, заключающейся в том, что требование доказательства вообще часто остается совершенно непонятным, главная причина, по-видимому, состоит в том, что в этой ситуации следует рассматривать чертеж как две симметричные по смыслу конфигурации ab/bc, которые перекрываются, и поэтому сохраняется возможность совместного рассмотрения нужных углов а и с.

Понимание того, что угол а «играет в ab такую же роль, как с -- в bс», требует значительной ясности мышления 1. Некоторые испытуемые помогают себе, рисуя две фигуры:

Рис. 70

И в процессе обучения это также иногда способствует пониманию.

Решающим в А- и B-реакциях была структурная связь пар равенств. Но этого недостаточно. В реальных случаях сама идея первого равенства, идея группировки данного угла с третьим, часто возникает потому, что для обоих рассматриваемых углов это может быть проделано симметричным образом. Эта операция не является операцией в себе и для себя, но находит свое оправдание как часть плана. Испытуемый чувствует, что эти две операции (позднее -- равенства) будут связаны друг с другом и, таким образом, приведут к решению. Это не два последовательных акта, но, когда осуществляется первый, он уже предстает как один из членов пары. Хотя операция фиксируется отдельной формулой, на самом деле она не является самостоятельным актом.

Процесс мышления не является, как считают многие, простым последовательным переходом от одного пункта к другому путем формулировки последовательных суждений; иногда так и происходит, но в актах подлинного мышления дело обстоит иначе. В них действие начинается с рассмотрения целостных свойств, а отдельные элементы рассматриваются в качестве частей целого.

Рис. 71

Ход мышления, его направление является в этом случае не одной последовательной операцией; существует симметричная двунаправленность: каждый из двух нужных углов рассматривается как часть целого, образованного введением третьего угла, который впоследствии может быть вычтен в силу смысловой симметрии операций.

Аналогично некоторые действия требуют совместной, симметричной кооперации обеих рук, дополняющих движения друг друга. В некоторых случаях было бы бес-мысленно действовать посредством простого перехода от одной отдельной операции к другой. Вы даете ребенку две игральные карты и просите его «сделать домик». Ребенок может взять одну из карт и наклонить ее примерно на 30° от вертикали, то есть произвести действие, которое является осмысленным только в связи с идеей завершенной структуры. Такое действие лишь с одной из карт без понимания того, что будет проделано с другой, является бессмысленным. Существуют испытуемые, которым в ходе обучения привили привычку действовать только последовательно, шаг за шагом, это мешает их мышлению. Не следует считать, что мы всегда должны совершать одно действие за другим, думая: «Я позабочусь о других вещах позже». Постарайтесь сначала понять, что вы делаете в данном контексте, рассматривайте вещи как части этого контекста.

Привычка к последовательности, равно как и широко распространенная теория, согласно которой мышление по своей природе является последовательным 1, возникает вследствие ее адекватности ситуациям последовательного сложения, в которых выполнение одной из операций связано с выполнением других аддитивным образом. Эта привычка возникает, далее, из-за того, что мы не можем произнести одновременно два предложения, потому что мы не можем одновременно написать два утверждения, потому что в описании должны переходить от одной вещи к другой. В этом одна из причин того, почему часто так полезны всякого рода схемы.

Далее, привычка к простой последовательности нередко вызывается требованием точности, правильности каждого шага, что, конечно, является весьма серьезным и необходимым, но оказывается недостаточным. И наконец, она возникает потому, что правильные выражения, или логические, формальные выражения, оказываются возможными лишь по отношению к суммам единиц. Повторяем: они связаны с аксиоматическим допущением, согласно которому мышление является и должно быть вербальным по своей природе, и логика обязательно связана с языком. Оба эти предположения являются неверными обобщениями. По-видимому, понятие целого не поддается формальному описанию.

1 См. формулировку Канта, согласно которому мышление по необходимости является только дискурсивным.

ГЛАВА 4. ЗНАМЕНИТАЯ ИСТОРИЯ О МАЛЕНЬКОМ ГАУССЕ

Начнем с вопроса к читателю.

В новом доме вдоль стены холла строится лестница. В ней 19 ступенек. Со стороны холла лестница будет облицована квадратными резными панелями с размерами, равными размерам ступенек. Плотник поручает своему помощнику принести панели из магазина. Помощник спрашивает: «Сколько панелей я должен принести?» «Определи сам», -- отвечает плотник. Помощник начинает считать: 1 + 2 = 3; +3 = 6; +4=10; +5 = ...

Рис. 72

Плотник смеется: «Подумай. Разве ты должен сосчитывать их одну за другой?»

Дорогой читатель, что бы вы сделали, если бы оказались на месте помощника?

Если вам не удалось найти лучший способ, я спрошу: «А если бы лестница не примыкала к стене и потребовались бы квадратные плиты для обеих сторон? Помогло бы вам, если бы я посоветовал решить этот вопрос, сделав образцы этих двух сторон из бумаги?»

Дальнейший материал представляет собой различные экспериментальные вопросы, с помощью которых я изучал особенности проблем, связанных с задачей Гаусса.

Теперь я расскажу историю о маленьком Гауссе, будущем знаменитом математике. Она заключается в следующем: шестилетним мальчиком он учился в средней школе небольшого городка. Учитель предложил контрольное задание по арифметике и объявил классу: «Кто из вас первым найдет сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10?» Очень скоро, в то время как остальные все еще были заняты вычислениями, юный Гаусс поднял руку. «Liggetse», -- сказал он, что означало: «Вот!»

«Каким образом, черт побери, тебе это так быстро удалось?» -- воскликнул пораженный учитель. Юный Гаусс ответил -- конечно, мы не знаем точно, что он ответил, но на основании экспериментального опыта я считаю, что он ответил приблизительно так: «Если бы я искал сумму, складывая 1 и 2, затем прибавляя к сумме 3, затем к новому результату -- 4 и т. д., то это заняло бы очень много времени; и, пытаясь сделать это быстро, я, пожалуй, наделал бы ошибок. Но посмотрите, 1 и 10 в сумме дают 11, 2 и 9 снова в сумме составляют Н. И так далее! Существует 5 таких пар; 5, умноженное на 11, даст 55». Мальчик понял суть важной теоремы 1. Запишем это в виде схемы:

Рис. 73



Подобно учителю, предложившему классу эту задачу, я задавал ее многим испытуемым, включая детей разного возраста, желая узнать, будет ли найдено правильное решение и какие средства, какие условия могут помочь найти его. Для того чтобы изучить связанные с этим решением шаги и его характерные черты, я применял систематические вариации; некоторые из них опишу в дальнейшем. Иногда я предлагал очень длинные ряды. Я прямо говорил: «Решите задачу, не прибегая к громоздким сложениям» -- или просто ждал реакции испытуемых.

Вот лучшие из типичных процессов, которые я обнаружил.

1. Сначала не было заметно, что человек решает задачу. Затем: «При заданной последовательности чисел, которые нужно сложить, конечно, правильно складывать их в порядке следования -- но это так утомительно». Вдруг: «Это не просто любая последовательность; числа последовательно возрастают, шаг за шагом, -- этот факт может... он должен иметь какое-то отношение к сумме. Но как эти две вещи связаны друг с другом -- форма последовательности и ее сумма, -- какова внутренняя связь между ними, остается неясным; я каким-то образом чувствую это, но не могу это понять».

Через некоторое время: «У ряда есть направление возрастания. У суммы нет направления. Так вот: возрастание слева направо связано с соответствующим убыванием справа налево! Этот факт должен иметь отношение к сумме. > все больше и больше; < все меньше и меньше -- в той же пропорции. Если двигаться слева направо, от первого числа ко второму, то увеличение будет равно единице; если двигаться справа налево, от последнего числа к предпоследнему, то уменьшение будет равно единице. Следовательно, сумма первого и последнего числа должна быть той же, что и сумма следующей внутренней пары. И это должно быть так всюду!»

«Остается только ответить на вопрос: сколько таких пар? Очевидно, что число пар равно половине всех чисел, следовательно, равно половине последнего числа».

В сущности, здесь происходит перегруппировка, реорганизация ряда в свете данной задачи. Это не слепая перегруппировка, она естественно возникает по мере того, как испытуемый старается постичь внутреннюю связь между суммой ряда и его структурой. В этом процессе различные элементы явно приобретают новый смысл, новое функциональное значение. 9 теперь рассматривается не как 8+ 1, а как 10--1, и т. д.

Если подобным образом приходят к общей формуле то рассматривают ее члены в свете такой структуры: (n+1) представляет величину пары, число пар. Но многие знающие только формулу, подходят к ней совершенно слепо. Для них все формулы

попросту эквивалентны 1. Для них, по-видимому, оба n означают одно и то же. Они не осознают, что в случае первой формулы n в выражении n+1 является одним из членов пары, тогда как n в означает число членов ряда, определяющее число пар. Конечно, эти четыре формулы приводят к одному и тому же конечному результату и являются в некотором смысле эквивалентными, но психологически они не эквивалентны 2. В действительности они различны и с логической точки зрения, если рассматривать их в отношении их формы и функции, а не только в терминах внешней эквивалентности. Конечно, это логический вопрос, но только при условии, что из логики не исключается функциональное значение членов, генетический вопрос, вопрос подхода к формуле -- вопрос осмысленного нахождения или понимания формулы.

Формула оказывается в равной степени применимой, когда ряд оканчивается нечетным числом, например:

1 Например, даже формула Или сравните со слепым обобщением формулы в виде формулы

2 Психологическое различие объективно выражается в реакциях на измененные задания. См. с. 148--149.

Здесь описанная группировка иногда вызывает колебания: что делать с числом, которое нельзя объединить в пару? В этом случае необходим следующий шаг. Это отдельное число может привести к неожиданной догадке: «Это число, должно быть, является половиной пары,

И после некоторого обдумывания выясняется, что это не меняет формулы: есть 3 пары и остаток в середине, который теперь рассматривается как половина пары 1.

Существуют другие способы продуктивных и осмысленных действий. Следующая последовательность действий одиннадцатилетнего мальчика подобна только что описанной. После того как я просто спросил его: «Чему равно 1+2+3+4+5+6+7+8+9?» -- он недовольно сказал: «Должен ли я их сосчитать?» «Нет», -- ответил я. Неожиданно улыбнувшись, он сказал: «На конце находится число 9. 8 плюс 1 в начале ряда тоже равно 9, и то же должно быть для других пар...» -- и назвал ответ.

...