Особенность продуктивного мышления

Но что в структуре самой игры является источником затруднения? В хорошей игре существует тонкое функциональное равновесие: с одной стороны, приятное времяпрепровождение, дружеские отношения, с другой -- стремление выиграть. Более глубокие установки, чем простые внешние правила честной игры, делают возможным это тонкое равновесие, определяют различия между хорошей игрой и жестокой борьбой или соревнованием, короче, делают игру игрой. Это равновесие является психологически очень хрупким, оно легко может исчезнуть -- как это и произошло в данной ситуации.

Моменты «против», «стремление выиграть», которые имеют место в хорошей игре, приобретают уродливые черты, не соответствующие больше игровой ситуации. Поэтому возник вектор: «Что можно сделать? И сделать немедленно?» Вот причина затруднений. «Можно ли добраться до сути ситуации?» Это приводит к рассмотрению структуры 11.

Структура Iа >< или, точнее, в случае с мальчиками

Структура Iб --> < трансформируется в

Структуру II от соперничества к сотрудничеству;

от «я» против «ты» к «мы». А и В как части общей структуры здесь уже не те, что в структуре I, они являются не противниками, каждый из которых играет только за себя, а двумя людьми, сотрудничающими ради общей цели.

Все элементы ситуации коренным образом меняют свой смысл. Например, подача не означает больше средство выиграть у В, сделать невозможной ответную передачу. В ситуации I игрок доволен, если он выигрывает, а другой проигрывает; но сейчас (II) игроки радуются каждому хорошему удару.

Последующие шаги свидетельствуют о переходе к рассмотрению проблемной ситуации с точки зрения ее достоинств, а не с точки зрения той или иной стороны или простой суммы обеих сторон. Решение возникает, когда осознается структурное нарушение; тогда оно приобретает более глубокий смысл. Напряжение не преодолевается чисто внешними средствами, скорее новое направление векторов обусловлено основными структурными требованиями, ведущими к действительно хорошей ситуации. Возможно, вы считаете, что я прочел в умах мальчиков слишком многое. Я так не думаю. Возможно, вы слишком мало знаете о том, что может происходить в головах мальчиков.

Кратко подчеркнем следующее:

операции перецентрирования: переход от одностороннего видения к центрированию, диктуемому объективной структурой ситуации;

изменение смысла частой -- и векторов -- в соответствии с их местом, ролью и функцией в данной структуре;

рассмотрение ситуации в терминах «хорошей структуры», в которой все соответствует структурным требованиям;

стремление сразу перейти к сути, честно рассмотреть проблему и сделать соответствующие выводы.

Я хочу заметить, что черты прямолинейности, честности, искренности, видимо, не являются второстепенными в таком процессе. Вообще говоря, точка зрения, согласно которой мышление рассматривают только как интеллектуальную операцию и полностью отделяют ее от человеческих установок, чувств и эмоций -- «потому что эти темы принадлежат к другим главам психологии», -- является весьма искусственной и узкой. Это становится особенно ясным в нашем примере, в переходе от слепого эгоцентрического видения с присущими ему эмоциями к последующим шагам. Но даже те процессы, которые, по-видимому, являются чисто интеллектуальными, предполагают определенную установку человека -- некую готовность рассматривать проблему, делать это открыто, честно и искренне. Хотя я только кратко упоминал этот факт в предыдущих главах, он, видимо, играет важную роль во многих случаях продуктивного мышления, и даже в наших элементарных геометрических задачах.

Возможно, конечно, что определенное решение находится тогда, когда субъект занимает как раз противоположную позицию, когда он пытается действовать в данной ситуации обманным путем или грубо нарушить ее требования. Но здесь такие факторы не просто сопровождают «интеллектуальные операции», скорее сама природа операций, их генезис и развитие глубоко связаны с отношением человека к проблеме и ее решению. Хитрость и дух деспотизма, видимо, не лучшая установка в продуктивном мышлении, хотя иногда они и могут привести к практическому успеху и тем самым оказаться на короткое время и в ограниченных масштабах эффективными.

С этими вопросами связан еще один момент, который, по всей видимости, имеет чрезвычайно важное значение для правильного понимания продуктивного мышления как в теоретическом, так и в практическом плане. Это переход от первой стадии, когда субъект просто хочет достичь определенной цели -- когда его мысли полностью сосредоточены на этой цели, -- к следующей, когда векторы, операции, действия концентрируются вокруг более фундаментальных требований ситуации. Когда субъект видит только эту цель и полностью руководствуется желанием достичь ее, он в каком-то смысле может стать практически слепым. Часто он должен сначала забыть то, чего он хотел раньше, чтобы почувствовать требования самой ситуации. И тогда, в лучшем случае, его установка будет больше похожа на установку врача или мудрого наставника, чем на установку умного и властолюбивого победителя или агрессора.

Этот переход является одним из самых значительных моментов многих подлинных процессов мышления. Роль чисто субъективных интересов личности в действиях человека, на мой взгляд, сильно переоценивается. Настоящие мыслители забывают о себе в процессе мышления. Главные векторы в подлинном мышлении часто не связаны с «я» и личными интересами, скорее они представляют структурные требования данной ситуации 1. Когда же такие векторы все-таки относятся к «я», то это «я» не является центром субъективных устремлений.

Конечно, этот переход может осуществляться в направлении более глубоких требований самого «я». Иногда наблюдается счастливое совпадение требований проблемной ситуации с реальными глубокими потребностями «я», как в случае с нашими мальчиками.

Это был только скромный небольшой рассказ. Однако некоторые его моменты, как, например, существенный прогресс, который произошел в связи с изменением центрирования, свидетельствуют о чрезвычайно важных возможностях 2 людей, человеческого общества.

Удивительные изменения происходят иногда с людьми; например, очень пристрастный человек становится членом жюри, или арбитром, или судьей, и его действия свидетельствуют о переходе от предубеждения к честному стремлению решать обсуждаемые проблемы справедливо и объективно. Именно в этом может состоять идея усовершенствования правосудия.

Центрирование -- то, как мы рассматриваем части, отдельные элементы ситуации, их значение и роль по отношению к центру, сути или корню, -- является наиболее важным фактором в мышлении. Традиционная логика и психология пренебрегали проблемами центрирования. Мощные силы действуют в ходе центрирования, в ходе -- или в попытке -- рассмотрения действительного центра той или иной ситуации; но они в равной степени сильны и в случаях слепого, принудительного или волевого децентрирования, столь эффективно используемого в некоторых видах политической пропаганды. Хотя многие мощные силы препятствуют правильному центрированию, люди совсем не хотят быть слепыми, они стремятся к правильному, справедливому центрированию ситуаций в соответствии с природой объекта и объективными структурными требованиями.

Что же касается понятия центрирования, то тут, видимо, молчаливо признается, что адекватное центрирование и его последствия для объективности и справедливости являются чрезвычайно важными. Иначе почему же неверное центрирование тем сильнее маскируется и выдается за истинное и справедливое, чем меньше оно является таковым?

Как это выяснилось в примере с бадминтоном, в процессе перецентрирования происходит довольно много интересного. Некоторые основные моменты станут яснее, если мы рассмотрим сейчас более простую историю.

Я навещал одну семью. Дочь пришла домой, и меня познакомили с ней. Отец спросил ее, как она провела день. Она ответила, что было много работы, но что у нее все прекрасно. Я спросил: «Вы работаете?» «Да, -- ответила она. -- Я работаю в одной фирме». «Это крупная фирма?» «Пожалуй, -- сказала она, -- в конторе много народу. Я имею дело непосредственно с м-ром A, м-ром В и м-ром С, которые часто подходят к моему столу, задают вопросы, приносят письма и т. д. В конторе работают и другие люди, с которыми я непосредственно не общаюсь. М-р А имеет дело с м-ром D, м-р В -- с м-ром E, а м-р С -- с м-ром F. D и Е так же связаны друг с другом, как и E -- с F. Таким образом, кроме меня, в конторе шесть человек».

Я спросил: «Вы начальник?» «Нет», -- ответила она. «Вы отдаете кому-нибудь распоряжения?» -- «Да. Иногда я отдаю распоряжения м-ру А и м-ру С. Я получаю указания от м-ра В, м-р D получает их от м-ра Е, м-р E -- от м-ра, В, а м-р F -- от м-ра Е». (У нее, видимо, был логический склад ума, и она пыталась рассказать мне все, что знала.)

Чего-то мне недоставало -- полагаю, что и читателю тоже, -- и я сказал: «Я все еще ничего не знаю о людях в вашей конторе». «Но я ведь рассказала вам все», -- ответила она. Я, однако, оставался в неведении. Вдруг я сказал -- это было догадкой: «Таким образом, м-р В -- ваш начальник, и вы непосредственно подчиняетесь ему, так же, как и м-р Е?» «Да», -- подтвердила она. В ее представлении о своей конторе присутствовали все отношения, и тем не менее она не смогла создать ясной картины. Большинство людей, если бы им задали такой вопрос, начали бы примерно со следующего: «Я работаю непосредственно под руководством В, как и м-р Е». И возможно, добавили бы: «У меня и у м-ра Е находятся в подчинении по два человека, которым мы отдаем распоряжения». И может быть, продолжили бы: «Двое из них иногда имеют дело друг с другом». Это было бы разумным описанием; оно дало бы ясное представление о структуре данной конторы. Но эта девушка перечислила людей и отношения между ними в путаной последовательности, которая фактически игнорировала структуру данной ситуации; все, за исключением последнего туманного заявления во втором описании, она сконцентрировала вокруг себя.

Это -- невинный пример глупой установки в жизни и мышлении, которая часто оказывает сильное влияние на формирование взглядов и поступков человека.

Конечно, это могло быть просто неудачным описанием, но из последующих замечаний и поведения девушки я понял, что такова была ее реальная установка. Некоторое время спустя я встретил одного из ее сотрудников испросил, как у нее идут дела. «Очень хорошо, -- сказал он, -- она прекрасный человек. Но мы не уверены, что она проработает у нас долго. Она странно относится к другим людям и даже к своей работе. Кажется, что она относит все происходящее к себе, как будто она всегда является центром ситуации, даже в деловых вопросах, когда никто о ней лично не думает. Это нехорошо для дела».

Чрезмерное самоцентрирование является известным симптомом психопатологического состояния, которое часто ведет к опасным последствиям как в личной, так и в общественной жизни 1. Самоцентрирование отнюдь не является общей, естественной установкой, как предлагают нам считать некоторые влиятельные умы нашего времени.

Посмотрим внимательнее, что сделала девушка в своем описании. Схематично это можно представить так:

Первое описание

Рис. 109

Эта схема очень похожа на то, как логик представил бы список связей в сети отношений. Он выразил бы отношения Ego r X и т. д. следующим образом:

Если попросить кого-нибудь начертить схему, которая соответствовала бы данному девушкой описанию, то она выглядела бы следующим образом:

Рис. 111

Ego («я») выступает в ней как центр. Ничто не меняется, если прибавить две линии от D к E и от E к F. Некоторые также могут спросить: «А разве нет еще соединительной линии от F к D?»

Рис. 112

Второе описание

В этом описании девушка определяла отношения, указывая их направления. Но теперь список представляет собой настоящий клубок таких направлений:

Рис. 113

Если мы представим это в виде графа, то получим:

Рис. 114

В этот момент обычно что-то происходит с теми, кто смотрит на эту схему. Им начинает казаться, что она «неправильно начерчена», «искажена». И тогда они придают ей форму, которую мы сейчас покажем.

Третье описание

Как схема, так и граф адекватного описания выглядят совершенно иначе:

Граф имеет следующий вид:

Четвертое описание

При определении направлений схема приобретает следующий вид:



Рис. 118

Теперь все структурно ясно; нет путаницы, как в предыдущих описаниях, схемах и графах. Девушка действительно отметила все существующие отношения, но сделала это в виде весьма беспорядочной нецентрированной совокупности. Первое и второе описания и соответствующие графы противоречат объективной структуре ситуации: они игнорируют, разрушают, неправильно ее центрируют. Нечего возразить против того, что описание начиналось с Еgп, но в разумном описании нельзя все, что отсюда следует, концентрировать вокруг Еgп. Напротив, следует рассматривать и описывать Еgп, учитывая его (второстепенное) место в структуре.

Если читатель сравнит первый и второй графы с третьим и четвертым, то он поймет, что я имею в виду, когда говорю, что на первом и втором графах последовательность, группировка и центрирование не адекватны структуре. Но посмотрим более внимательно: если мы хотим охарактеризовать место, роль и функцию различных частей картины, то можем в первом приближении поступить так, как логики характеризуют элементы и линии связей в сети отношений. Имплицитное определение точек по их относительным местам в сети, в терминах числа отношений (г) к ближайшим (P1), к более далеким (PII) точкам и т. д., в нашем примере дает следующую схему:

Рис. 121

тогда как первое описание дает:

Рис. 122

Если мы обозначим индивидов трех классов буквами б, в, г, то получим:

Рис. 123

Что касается отношений, то мы получим:

Рис. 125

Мы придем к аналогичному результату, если примем во внимание направленный характер отношений во втором и четвертом описаниях.

Мы обнаружили, что в этом примере есть три вида людей: можно назвать их начальником, секретарями и клерками. Концентрируясь в группировках первого и второго описаний вокруг Еgо, они оказываются смешанными» В соответствующих схемах в качестве членов одной группы выступают два клерка и один начальник, а в качестве членов другой -- два клерка и один секретарь; один секретарь -- наша девушка -- отдельная единица слева, тогда как другой секретарь является членом тройки справа. Аналогично обстоит дело с отношениями: с левой стороны схемы отношений (с. 213--214) у нас есть два отношения между секретарем и клерками, одно -- между секретарем и начальником; правее -- два отношения между клерками, одно между начальником и секретарем; справа -- два отношения между секретарем и клерками.

Напротив, все находится в полном, обозримом, безупречном порядке, когда мы обращаемся к третьому и четвертому описаниям и соответствующим схемам (с. 215--216). Отправной пункт -- начальник, затем идут два секретаря и, наконец, четыре клерка. Первые два отношения -- это отношения между начальником и секретарями, затем отношения между секретарями и клерками и, наконец, отношения между клерками.

Короче говоря, первое и второе описания с точки зрения отдельных элементов являются в общем-то корректными и во всех отношениях полными, но они вводят центрирование и группировку, не соответствующие структуре и искажающие логическую иерархию ситуации. Они объединяют людей с различными ролями и функциями и позволяют считать различными по месту в структуре людей, которые таковыми не являются. Принадлежащее девушке субъективное описание, то есть описание, не учитывающее ее второстепенного положения, искажает структуру; в нем девушке не удалось отразить структурное значение частей.

То, что мы сейчас сказали относительно различия между неправильно центрированным и структурно адекватными описаниями, имеет силу даже тогда, когда ситуация характеризуется в терминах неявных определений, числа отношений и т. д. (И все же суть дела заключается не в определенности классов, выраженных в этих терминах. Читатель должен сознавать, что, применяя этот логистический метод, мы должны соблюдать осторожность.)

Предположим, что в описании следует учесть владельца предприятия. Сеть отношений будет выглядеть следующим образом:



Рис. 127

В терминах числа отношений к другим точкам В легко может оказаться гомологом Еgп и Е, поскольку все они имеют одни и те же имплицитные характеристики.

Эти числа не создают полной картины. Например, в II число 4 имеет различное значение в разных случаях: для В оно означает 2 + 2, для Еgо и Е -- 1 + 2 + 1.

В таких случаях решающее значение имеет распределение направленных отношений. Что можно сказать о ситуации, в которой присутствуют начальник, два секретаря и один клерк?

Рис. 129

Если не принимать во внимание направленность отношений, то Еgп и В будут подлинными гомологами.

Рис. 130

Здесь мы сталкиваемся с обстоятельством, которое имеет решающее значение: стрелки исходят от B, идут по левой стороне через Еgо и заканчиваются в А. В, а не Еgо является источником стрелок и в этом смысле их центром. Еgп нужно рассматривать на его месте в ориентированном графе. Никакая характеристика в терминах числа ненаправленных отношений к ближайшим точкам (СI), к вторичным точкам (РII), даже ко всем точкам не является достаточной.

Более глубокое значение центра не определяется тем, что единичное всегда выделено; более важно, что центр -- это источник направленных отношений, что он суть дела. Могут, например, быть два начальника-партнера и один секретарь, и все же этот секретарь, Еgо, не будет центром данной структуры. (Конечно, секретарь могла бы при пределенных условиях стать центром, например в том случае, если бы поведение ее начальников определялось желанием жениться на ней.)

Рис. 131

Центрирование, таким образом, -- это не просто вопрос распределения числа отношений; это вопрос внутренней структуры ситуации, которая возникает только тогда, когда задается направление отношений внутри целостной картины и тем самым -- функциональное значение каждого элемента. Как реагируют люди на неадекватные описания? Первое описание девушки создавало впечатление, что она была центром. «Вы начальник?» -- спросил я. Этот вопрос предполагал, что стрелки соответствовали ее описанию. Второе описание вначале приводило в замешательство, так как распределение стрелок не соответствовало данной структуре (с. 215). С точки зрения распределения направленных отношений Еgо более не находится в равновесии, что характерно для центра. В то же время начинает выясняться, что В является источником векторов.



Рис. 132

Если испытуемый смотрит на эту схему, то часто наблюдается следующий процесс: «Это очень странно. Как

сложно в центре (Ego) с этими стрелками! Как странно выглядят линии без стрелок!» Затем некоторые испытуемые внезапно фокусируют свое внимание на В и говорят: «Странно. Относительно линии, которая проходит через B, схема выглядит как два крыла, которые следует привести в порядок...»

Рис. 133

-- и чертят новую схему. Другие же сначала обнаруживают, что «странная усложненная констелляция стрелок в Ego» -- «две стрелки направлены от Ego, одна -- к Ego» -- структурно повторяется в Е, и таким образом приходят к нашей последней схеме.

Предыдущая схема действительно кажется странной, неупорядоченной, нуждающейся в улучшении. Затем следует сильный динамичный процесс, в ходе которого эта схема превращается в структурно ясную (см. рис. 119).

У некоторых испытуемых -- их меньшинство -- подобные реакции наблюдаются уже тогда, когда они сталкиваются с графом первого описания



Рис. 134

и когда они получают отрицательный ответ на свой вопрос, существует ли линия FD. Припомнив, что длина линий в сетях отношений является произвольной, они иногда видят «два крыла» и таким образом реорганизуют картину, как показано на рис. 133.

В экспериментах без схем, когда используется только второе описание девушки или символический список направленных отношений, реакции не являются столь определенными и ясными, но все же иногда оказываются правильными. Пытаясь найти лицо, которое отдает распоряжения и не получает их, испытуемые фокусируют внимание на В и таким образом осознают промежуточное положение девушки.

И в этих случаях переход часто оказывается процессом переструктурирования, хотя и не таким отчетливым, как в случаях с графами: сначала Ego рассматривается как центр, а большинство других элементов оказывается в тени на периферии; затем внимание сосредоточивается на B, a Ego занимает свое второстепенное место, хотя другие элементы все еще не имеют своего определенного места в структуре.

Для только что упомянутых случаев особенно характерно то, что «новая идея» возникает как «догадка» ввиду отсутствия изначальной ясности, чему в значительной мере способствуют очень многие детали. Основания для догадки часто неясны и просто связаны с направлением центрирования. В экспериментах со схемами ситуация сначала также представляется неясной, затем возникает «какая-то смутная идея», которая связана с направлением перецентрирования, и, наконец, картина кристаллизуется и образует новую завершенную структуру.

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ УГЛОВ МНОГОУГОЛЬНИКА

1. Во время беседы об орнаментах, которая происходила за ленчем, зашла речь о замкнутых геометрических фигурах, таких, как треугольники, прямоугольники, шестиугольники и другие многоугольники. В какой-то момент мой друг, художник, заметил: «Сумма углов всех таких

Рис. 135

фигур, конечно, должна быть одной и той же». Все рассмеялись. Я оказался в удивительном положении. Я сказал: «Конечно же, сумма углов не одна и та же. В треугольнике она равна 180°, в прямоугольнике -- 360°, в шестиугольнике -- 720°». Но я чувствовал, что то утверждение в каком-то смысле должно быть верным, оно затрагивает какой-то важный момент. Это чувство не покидало меня. С одной стороны, было ясно, что сумма углов различных многоугольников не является одинаковой; с другой, я чувствовал, что не могу совсем оставить этот вопрос: ведь должен быть какой-то путь его решения. В этом был какой-то глубокий смысл, но я не знал, как его обнаружить. Невозможно было понять или даже почувствовать, в чем же именно заключается проблема. Навязчиво продолжал звучать вопрос: «Должно быть какое-то решение. В чем, черт возьми, дело?»

Другие гости, принимавшие участие в разговоре, не испытывали никакого беспокойства. Вопрос для них был исчерпан, когда они узнали, что утверждение оказалось явно ложным.

На протяжении нескольких последующих часов, в течение которых я должен был заниматься другими вещами, проблема продолжала меня волновать. Затем она приобрела такую форму: «С одной стороны, есть А -- сумма углов фигуры, с другой, В -- связанная с замкнутостью завершенность фигуры. Между А и В есть только «и»,

Рис. 136

простая конъюнкция. Вот одно, вот другое. Что кроется за этим «и»-отношением? Что вызывает беспокойство? А и В должны быть как-то связаны друг с другом». Это не было ощущением противоречивости двух утверждений. Я задал себе вопрос: «Как можно это понять?»

2. На следующий день, когда я был занят другой работой, мне неожиданно пришла в голову следующая смутная, неопределенная и неясная идея: «Возьмем точку. Вокруг точки находится полное «угловое пространство» в 360° (один полный угол). Не должно ли происходить

Рис. 137

нечто подобное в случае замкнутой фигуры?» Но в то время я не мог уловить эту крайне туманную мысль.



Рис. 138

Прошло три дня. Что бы я ни делал, я все время испытывал одно и то же сильное чувство, ощущение чего-то незаконченного, направленность на что-то такое, что я не мог понять. Несколько раз я чувствовал, что почти что могу сказать, в чем заключается причина беспокойства, от чего оно зависит, в каком направлении следует искать решение, но все было весьма неопределенно, так что я не мог это точно сформулировать. Много раз проблема казалась настолько ясной, что «необходимо было только записать ее», но, когда я пытался это сделать, мне это не удавалось, идея не формулировалась.

(Я обнаружил подобный ход развития во многих действительно великих интеллектуальных свершениях -- то же чувство направленного напряжения при туманности, неопределенности реальной ситуации. В каком-то смысле форма, которую примет решение, «вертится на кончике языка», но ее невозможно ухватить. Это состояние может продолжаться в течение многих месяцев, сопровождаясь многодневной депрессией, и, хотя очевидно, что успех незначителен, человек не может оставить проблему.)

Через два дня снова возник вопрос: «Если я возьму точку, то вокруг нее будет полный угол. Если я возьму прямую линию, то и вокруг нее существует угловое пространство. Тогда, имея такую прямую линию, как я должен действовать, чтобы получить замкнутую фигуру?

Рис. 139

Просто продолжая прямую линию? Вовсе нет. Я должен изогнуть линию в какой-то точке, если хочу получить замкнутую фигуру». Это быстро привело к идее: «Давай те сначала рассмотрим сумму внешних углов». И что получится? Изгибаясь, угол в 180° разбивается на два «боковых угла», каждый из которых является прямым, и между ними появляется дельта (д), «угол вращения». Важны именно дельты, вращение.

Рис. 140

Рис. 141

И в целой фигуре по мере ее замыкания сумма дельт должна быть равна... полному обороту, углу в 360°, независимо от того, сколько у фигуры боковых сторон!

Каждая сторона имеет два внешних прямых угла, по одному на каждом конце. Может быть столько сторон и, следовательно, столько углов, сколько мы пожелаем; но в каждой фигуре углы вращения должны в сумме составлять полный угол. Это было «интуицией». В этот момент я чувствовал себя очень счастливым. Я чувствовал: «Теперь я понимаю, в чем дело».

Что же, в сущности, произошло? Я начал с обычного представления об углах и о завершенности или замкнутости. Я пытался понять, как возникает замкнутость; полный внешний угол при вершине превратился в два прямых угла плюс д; я перестал связывать прямые углы с центральной идеей замкнутости, угол д теперь рассматривается вместе с другими д в качестве угла, образующего полный угол вращения. При таком понимании углов важные углы д неожиданно оказались связанными с замкнутостью фигуры. «И»-отношение А (сумма углов) и В (замкнутая завершенность) превратилось в согласованное, понятное, прозрачное единство. А и В больше не были просто рядоположенными отдельными вещами, теперь они стали частями внутреннего единства. Замыкание фигуры потребовало, чтобы д дополнили друг друга до 360°. Этот процесс интеграции стал решением: то, что раньше было просто какой-то туманной и неудовлетворительной суммой, теперь приобрело вполне определенную форму.

Мысль о том, что сумма углов д равна 360°, возникла не как некое допустимое предположение, общее утверждение или вера, а как «интуиция»: структура фигуры позволила увидеть внутреннюю связь между замкнутостью и всеми углами д.

Вслед за этим быстро последовали следующие действия:

1) Было осознано, что должно произойти, если я шаг за шагом обойду фигуру, начиная с первой стороны первой д: для того чтобы замкнуть фигуру, я должен снова прийти к исходной прямой, совершив полный оборот. Сначала появилась общая идея 1; затем она была реализована в виде последовательности действий: одна сторона угла д1 поворачивается на некоторый угол до совпадения с другой стороной, 2 параллельно переносится в положение 3, поворачивается на угол д2 и т. д. Чтобы обойти всю фигуру, осуществляя замыкание, и снова перейти в положение 1, сторона должна совершить полный оборот в 360°.

1 Позднее я нашел в одной книге замечание, принадлежащее физику Эрнсту Маху, который применил сходный метод. В результате суммирования б Мах тоже получил полный угол. Его



подход несколько отличается от нашего, угол разбивается не на R, д, R, а на 2R, д, что приводит к психологически иному способу образования полного угла.

Рис. 143

2) Сразу после этого возникла следующая мысль: допустим, что стороны фигуры стремятся к нулю. Что произойдет в таком случае? Расстояние между соседними

Рис. 144

параллельными сторонами боковых углов исчезнет, эти линии сольются в одну, совпадут также и вершины углов, и я получу именно ту картину, которая показана ниже: точку, которую окружает угловое пространство в 360°, построенное из углов !



Рис. 146

3) Здесь возник следующий вопрос: а как обстоит дело с вогнутыми фигурами, которые не обладают ясной

структурой боковых углов с углом д между ними? При такой постановке вопроса ответ ясен:

Рис. 147

это не имеет никакого значения; следует учесть, что сторона угла может поворачиваться в противоположную сторону, но все равно углы д должны в сумме дать полный угол.

4) Обычный метод определения формулы для суммы внешних углов многоугольника теперь выглядел действительно странным: «Сумма всех внутренних и полных внешних углов равна n · 4R...УЯ+Уe = n · 4R. Следовательно, сумма внешних углов равна n4R минус сумма внутренних углов. Поскольку из обычного доказательства с помощью треугольников 1 известно, что сумма внутренних углов равна n · 2R--4R, мы получаем формулу Уе = n · 4R-- -- (n ··2R--4R). Произведя вычитание, получаем: п · 4R--

1 Обычно сумму углов треугольника -- 180°, или 2R (два прямых угла), -- получают, не учитывая того, что треугольник является замкнутой фигурой. Обычное доказательство для суммы внутренних углов многоугольника заключается в следующем: постройте внутри многоугольника з треугольников так, чтобы каждая сторона многоугольника была основанием одного треугольника. Сумма углов всех треугольников равна n · 2R. Чтобы получить сумму внутренних углов многоугольника, вычтите из п · 2R смежные углы треугольников, которые располагаются вокруг средней точки. Сумма последних равна 4R. Следовательно: Уi = n ·2R--4R.

Рис. 148

В этой формуле n · 2R есть результат вычитания n · 2R из n · 4R; 4R -- это результат изменения знака члена --4R из формулы для внутренних углов. Величина членов этой формулы не имеет прямого отношения к тому, как углы многоугольника замыкают фигуру 1. Между тем я понял, что в действительности представляет собой n · 2R.+4R: это сумма боковых углов, то есть пар прямых углов, прилегающих к каждой стороне (n · 2R) плюс полный оборот (4R), замыкание, осуществляемое углами д.

5) В этот момент возникла любопытная мысль: почему мы называем треугольник именно треугольником? Почему мы не называем его, например, четырехугольником или шестиугольником? Мы, конечно, можем его так называть, поскольку фактически в каждой точке на его сторонах находится угол. Но мы не считаем эти углы. Почему? Разве количество углов может быть любым? Нет.

Рис. 150

1 Конечно, член 4R в формуле для внутренних углов прямо связан с замкнутостью в том смысле, что вершины прилегающих

Рис. 149

друг к другу треугольников совпадают; но внутренняя связь между суммой углов самих треугольников и их замкнутостью не является столь отчетливой.

Теперь этот вопрос ясен: в этих точках на сторонах нет углов д. Эти точки никак не связаны с изломом линии, ограничивающей фигуру, и с возвращением к ее началу, с замыканием многоугольника посредством вращения углов д.

6) А как обстоит дело с внутренними углами? Столкнувшись теперь с этим вопросом, я снова не представлял себе, как можно на него ответить. И снова сначала возникла смутная идея: вокруг точки и фигуры имеется полный угол 360°. Внутри фигуры находится... «отверстие»! И скоро все стало ясно: должен быть полный отрицательный угол 360°: внутри боковые углы перекрываются. Величина этого перекрытия представляет собой отрицательный угол вращения, минус д. Когда эта фигура замыкается, сумма таких углов должна составить полный отрицательный угол в 360°.

Рис. 151

Здесь читатель вправе задать вопрос, что же из всего этого следует. Та же самая формула, которая была известна раньше, но она предстала теперь в новом свете: члены этой формулы приобрели прямое функциональное значение.

И такое понимание сразу же привело к озарению (инсайту): если боковые стороны и то или иное их число являются внешними, если существенным оказывается только вращение углов д, то это относится к любой замкнутой плоской кривой, к окружности, эллипсу, и т. д. ... (Я опускаю продолжение.)

7) Но проблема все еще не была окончательно решена. По мере того как она становилась ясной, возникало насущное требование: если такой ход рассуждения действительно имеет смысл, то тогда он должен иметь силу для любой замкнутой фигуры. Он должен быть справедливым для трехмерных многогранников, для четырехмерных и n-мерных тел, вообще для всех замкнутых фигур... с необходимыми изменениями для неевклидового пространства.

За шесть недель напряженной работы мне удалось по-настоящему понять трехмерные фигуры. (Годом позже я узнал, что один математик уже очень давно нашел формулу для многогранников, и все же я не хотел пройти мимо этого опыта, который привел меня к подлинному инсайту.) В течение этих недель проблема неизменно волновала меня, вызывала напряжение. Я изучал конкретные многогранники, например кубы, части кубов, некоторые пирамиды и т. д.; способы объединения телесных углов в полный телесный угол. За это время я значительно развил в себе способность визуально представлять телесные углы и соединять их в воображении. Я не искал формулы методом проб и ошибок, не проверял гипотезы; я просто выяснял, что получится, если телесные углы воображаемого конкретного многогранника соединятся в одной точке: например, как углы куба, сведенные в центр сферы, образуют полный телесный угол 1, какие суммы образуют другие углы других многогранников -- частей куба, пирамид, параллелепипедов и т. д.

Бывали очень драматические моменты, как, например, когда один из моих друзей сказал мне: «Перестань принимать это так близко к сердцу. Задача неразрешима, так как сумма углов пирамиды меняется при изменении ее высоты. Точнее, она является функцией высоты».

8) Но процесс мышления продолжал развиваться. После огромных усилий решение для трехмерных тел

1 Так же и в случае двух измерений угол при вершине квадрата является одной четвертью полного угла, причем все четыре угла делают его полным, или угол при вершине правильного шестиугольника составляет одну треть полного угла, три трети делают его полным.

Рис. 152

Вообще говоря, вводя понятие угла, следует рассматривать угол, как часть полного угла, или как часть вращения на полный угол (см. гл. 4. с. 162).

пришло ночью в полусонном состоянии. Хотя я не мог вспомнить, чтобы что-нибудь записывал, я утром обнаружил на листе бумаги следующую формулу:

Уe =У плоских углов +2 углов при вершинах+Уд (= 1), где е обозначает внешний телесный угол. Возьмем плоскость (а), согнем ее вдоль прямой линии (b); восстановим к каждой плоскости нормальную плоскость (с). Между нормальными «плоскими углами» (соответствующими боковым углам Н двумерных фигур) вы обнаружите «углы при вершинах» (с); согните эти углы в одной из точек (d), и вы получите д. Чтобы многогранник был замкнутым, сумма углов д должна составлять полный телесный угол!



Рис. 153

Вскоре я понял, что то, что справедливо в частном случае «изгибания плоскости», имеет силу для всех телесных углов. Если вершины всех углов рассматривать как центр сферы, то углы д, «полярные углы», должны заполнять сферу. С помощью этой идеи я получил формулу для многогранников. Затем было получено решение для суммы внутренних углов, основанное на идее объемного «отверстия».

Последующие дни были посвящены строгим доказательствам формул для сферы и т. д.

Я не буду описывать дальнейший ход моего мышления. Здесь я прерву свой рассказ на том счастливом моменте, когда стала прозрачной внутренняя связь между замкнутостью и суммой углов многогранников и плоских фигур.

В заключение охарактеризуем основные этапы процесса мышления:

Ощущение существенной взаимосвязи структуры замкнутых фигур и суммы их углов и потребность ясно постичь эту связь.

Первичная идея целостной замкнутости и «углового пространства». Здесь произошло изменение цели: вместо того чтобы рассматривать внутренние углы, мы занялись вопросом о сумме внешних углов, смутно ощущая, что этот вопрос является структурно более простым. (Позднее эта мысль получила ясное подтверждение в ходе мышления.)

Сосредоточение внимания на необходимом для замыкания фигуры этапе привело к радикальному изменению понимания значения угла, к интуиции относительно «угла вращения д»; это произошло в результате отделения того, что является структурно релевантным для осуществления замыкания, от того, что таковым не является.

Рассматривая углы д как нечто целое, мы интуитивно поняли, что существует внутренняя связь между углами и замкнутостью. В отличие от простой суммы обычных углов все углы д дают завершенную форму, замкнутость, полный угол в 360°. На этом этапе произошла перегруппировка частей целого.

д-части после отделения от боковых углов рассматривались как единое целое. Но даже если испытуемому начертить углы с уже проведенными дополнительными линиями, делящими каждый угол на три части, он может продолжать хаотически комбинировать углы обычным способом (при котором три части каждого отдельного угла оказываются равноценными, а сумма углов все еще состоит из обычных углов). Здесь производимая группировка (отделение углов д от структурно внешних боковых углов, не принимавших никакого участия в замыкании фигуры) направлялась задачей понять замкнутость фигуры. Концентрация внимания на углах д и объединение их в единое целое позволили найти структурный перенос этого фактора (см. с. 227) на фоне внешних к структуре факторов: число боковых углов, обычных углов, сторон и вершин.

Рис. 154

Было дано подробное доказательство полученной интуитивно формулы. Уменьшая длины сторон до нуля, мы установили прямую связь между внешними углами и первоначальной идеей «углового пространства», окружающего точку.

Возникла проблема, которая была затем решена; был найден принцип, применимый и в частном случае вогнутого многоугольника (см. с. 230).

Благодаря инсайту было осмыслено обычное доказательство, которое само по себе оставалось непонятным. Обычная формула обрела новый и более глубокий смысл: было обнаружено функциональное значение членов формулы.

Затем был рассмотрен вопрос о внутренних углах. И снова вначале возникла глобальная идея целого -- представление о цельном «отверстии», сумме отрицательных углов д, равной 360°.

Расширилась область применимости полученного результата: было обнаружено, что он распространим на все замкнутые плоские фигуры. Благодаря инсайту исчезли ограничения, характерные для обычной точки зрения.

Мы почувствовали необходимость довести дело до конца: если в инсайте было обнаружено нечто фундаментальное, то найденное отношение должно выполняться также и для трехмерных фигур и т. д. Мы начинали с определения суммы телесных углов. Мы изучали сравнительно простые виды многогранников. Несмотря на трудности, мы в воображении объединяли углы и определяли их сумму. Вначале радикальное, общее решение казалось невозможным.

Решение пришло однажды ночью -- это было структурно ясное решение, как в гораздо более простом случае двухмерных фигур.

Самую важную роль в этом процессе играло стремление постичь внутреннюю структуру задания. И снова мы увидели, какую роль в свете структурных требований играют свойства целого, реорганизация, перегруппировка, постижение функционального значения частей в целом и т. д.

Каждый этап был частью единого последовательного хода мышления; полностью отсутствовали какие бы то ни было случайные действия, слепые пробы и ошибки.

Решение было найдено не сразу, процесс мышления протекал нелегко; это, очевидно, было вызвано тем, что в ходе мышления необходимо было преодолеть обычные, сами по себе ясные, сильные структурные факторы; а позднее, в случае многогранников, необходимо было научиться эффективно действовать в сложных проблемных ситуациях.

ГЛАВА 9. ОТКРЫТИЕ ГАЛИЛЕЯ

Как Галилей открыл закон инерции и, таким образом, положил начало современной физике?

Вопрос о том, как в действительности мыслил Галилей, многократно обсуждался. Даже теперь это до конца не ясно. Очень трудно дать подробное описание его мышления. Задача, стоявшая перед Галилеем, усугублялась тем, что существовали очень сложные понятия и теории о природе движения 1. Исторические интерпретации некоторых моментов отличаются друг от друга, это касается и вопроса о том, в какой степени старые концепции играли роль в процессе мышления Галилея 2.

Споры велись вокруг следующих вопросов: направлялось ли мышление Галилея индукцией? Или дедукцией? Эмпирическими наблюдениями и экспериментом или же априорными предпосылками? Можно ли считать главной заслугой Галилея то, что он сделал качественные наблюдения количественными?

Когда изучаешь литературу, -- древние трактаты по физике и труды современников Галилея, -- понимаешь, что одной из самых замечательных черт его мышления была способность достигать ясного структурного понимания на чрезвычайно сложном и запутанном фоне.

Я не буду пытаться здесь произвести историческую реконструкцию. Это потребовало бы тщательного обсуждения большого числа источников -- а я не историк. К тому же опубликованного исторического материала недостаточно для психолога, которого интересуют особенности развития процесса мышления, обычно не получающие отражения в трудах ученых. К сожалению, мы не можем расспросить самого Галилея о том, как в действительности развивался процесс его мышления. Мне бы, в частности, очень хотелось задать ему несколько вопросов по ряду пунктов.

Я постараюсь коротко изложить историю этого открытия и показать некоторые факторы и направления этого удивительного процесса, которые представляются мне наиболее существенными. Нижеследующая история является в некоторых отношениях психологической гипотезой, не претендующей на историческую точность, но я думаю, что она будет для нас весьма поучительной.

Я предлагаю читателю не только прочесть то, что я собираюсь рассказать, но и постараться поразмышлять вместе со мной.

Вот описание ситуации:

Если вы держите камень в руке, а потом отпустите его, то он упадет вниз. Старая физика утверждала: «Тяжелые тела ищут свое место, тяготеют к земле».

Если толкнуть какое-нибудь тело, например тележку, или покатить по горизонтальной плоскости шар, то они придут в движение, некоторое время будут двигаться, а затем остановятся -- вскоре, если я толкну их слабо, несколько позднее при сильном толчке.

Таков простейший смысл старого понятия «vis impressa». «Движущееся тело рано или поздно остановится,

если перестанет действовать приводящая его в движение сила». Разве это не так? Это очевидно.

3. Конечно, существуют некоторые дополнительные факторы, которые следует рассматривать в связи с вопросами движения, а именно величина объекта, его форма, поверхность, по которой он движется, наличие или отсутствие препятствий и т. д.

Итак, нам известно очень много фактов о движении. Они нам знакомы. Но понимаем ли мы их? Нам кажется, что понимаем. Понимаем ли мы, чем вызывается движение? Видим ли мы здесь действие определенного принципа?

Галилея не удовлетворяли эти знания. Он спросил себя: «Знаем ли мы, как действительно происходят такие движения?» Побуждаемый желанием понять главное, понять внутренние законы движения, Галилей сказал себе: «Мы знаем, что тяжелые тела падают, но как они падают? Падая, тело приобретает скорость. Скорость тем больше, чем большее расстояние проходит тело. Как изменяется скорость по мере движения тела?»

Обыденный опыт дает нам только смутную картину процесса. Галилей начал производить наблюдения и экспериментировать, надеясь установить, что происходит со скоростью и управляется ли ее изменение законами, которые можно понять. Его экспериментальные установки по сравнению с установками, которые позже разработали физики, были очень грубыми, по, проводя свои наблюдения и эксперименты, он пытался сформулировать и проверить определенную гипотезу. Сначала он выдвинул ошибочную догадку, затем нашел формулу для ускорения падающего тела. Поскольку скорость падения столь велика, что трудно установить ее точное значение, Галилей, желая более тщательно изучить вопрос, спросил себя: «Не могу ли я исследовать это более удобным способом? Шары скатываются по наклонной плоскости. Стану-ка я изучать шары. Разве свободное падение не является лишь частным случаем движения по наклонной плоскости, только под углом 90°, а не под меньшим углом?»

Изучая ускорение в различных случаях, он понял, что оно равномерно уменьшается с уменьшением угла наклона: порядок угла соответствует порядку убывающего ускорения.

Рис. 155

Ускорение стало самым главным и центральным фактором, как только Галилей понял принцип, связывающий уменьшение ускорения с величиной угла.

Затем он внезапно спросил себя: «Но ведь это только половина картины? Разве то, что происходит, когда мы подбрасываем тело вверх или толкаем в гору шар, не является второй симметричной частью картины, которая, подобно отражению в зеркале, повторяет то, что у нас уже есть, и делает картину полной?»

Рис. 156

Когда тело подбрасывают вверх, мы имеем не положительное, а отрицательное ускорение. По мере движения тела вверх оно замедляется. Симметрично положительному ускорению падающего тела это отрицательное ускорение уменьшается с уменьшением угла наклона. Такая симметрия делает картину цельной, законченной 1

Но делает ли это картину полной? Нет. В ней есть пробел. Что произойдет в том случае, если плоскость будет горизонтальной, угол равен нулю, а тело будет двигаться? Во всех случаях можно начинать с заданной скорости. Что тогда должно произойти в соответствии с такой структурой?

Ускоренное движение вниз и замедленное вверх переходят с отклонением от вертикали... (положительное и отрицательное ускорения равны нулю)... в движение с достоянной скоростью?! Если тело движется по горизонтали в заданном направлении, то оно будет продолжать двигаться с постоянной скоростью вечно, если только «внешняя сила не изменит его состояние движения.

Это противоречит старому утверждению, приведенному выше в пункте 2. Тело, движущееся с постоянной скоростью, никогда не придет в состояние покоя, если не будут действовать тормозящие силы, независимо от того, была ли сила, которая привела тело в движение, большой или малой. Какой удивительный вывод! Он явно противоречит всему, что мы знаем, и все же без него структурная картина останется неполной.

Конечно, мы не можем осуществить этот эксперимент. Даже если бы нам удалось устранить все внешние препятствия, что невозможно сделать, то все равно наблюдение вечно длящегося движения будет нам недоступно.

Однако уменьшение ускорения ясно указывает на отсутствие изменения скорости в этом случае.

Взгляды Галилея получили подтверждение и заложили основу для развития современной физики.

Современный читатель, конечно, знаком с этими взглядами. Я проиллюстрирую их на простом, всем известном примере. Труднее всего вывести поезд из состояния покоя. Если поезд уже пришел в движение, то при условии, что рельсы и колеса являются гладкими, для сохранения движения требуется меньшая сила, поезд движется почти что сам по себе. Если мы теперь будем делать рельсы и колеса все более гладкими и будем наблюдать, как уменьшается сила, необходимая для движения, то графики, к нашему удивлению, покажут, что в случае идеально гладких колес и рельсов при отсутствии трения потребуется большие противодействующие силы, чтобы остановить поезд, привести его в состояние покоя 1.

Каковы существенные элементы этого процесса?

Во-первых, желание выяснить, понять, что происходит, когда тело падает или катится вниз; желание узнать, не кроется ли за этими явлениями какой-то внутренний принцип; желание рассмотреть эти явления при различных углах наклона.

Это центрирует мысль на ускорении. Экспериментальная установка появляется в результате предположения, что, сосредоточившись на вопросе об ускорении, можно прийти к ясному пониманию структуры.

Различные случаи выступают как части хорошо упорядоченной структуры, которая делает явной зависимость между углами наклона и величиной ускорения. Каждый случай занимает свое место в группе, и мы понимаем, что то, что происходит в каждом случае, определяется этим местом.

Во-вторых, эта структура рассматривается теперь как часть более широкого контекста: существует другая, дополнительная часть, симметричная первой, с которой они образуют одно целое; эти две половины представляют собой две большие, соответствующие друг другу подгруппы, с положительным ускорением в одной и с отрицательным -- в другой. Целостные свойства этих половин дополняют друг друга. Они рассматриваются с одной точки зрения, в их структурной симметрии, в согласованной структуре целого.

В-третьих, оказывается, что в этой структуре существует критическое место -- место горизонтального движения. Это место должно существовать, иначе структура будет неполной. Ввиду этих требований горизонтальное движение выступает как случай, когда не происходит ни ускорения, ни замедления, -- как случай движения с постоянной скоростью.

Таким образом, покой становится частным случаем движения с постоянной скоростью, случаем, когда отсутствует положительное или отрицательное ускорение. Покой и равномерное прямолинейное движение в горизонтальном направлении оказываются структурно эквивалентными.

...