Производные финансовые и товарные инструменты

Биномиальная модель определения цены опциона Call для одного периода1. Примем следующие условия:

цена единицы опциона - С;

цена единицы базисного актива - S;

вероятность движения цены базиса вверх -p и вниз - q; движение цены базиса будет состоять из одного периода (шага); при направлении вверх мультипликативное изменение цены - u; при направлении вниз - d

цена исполнения опциона-Е;

процентный фактор2 - r = (1 +i, или 1 + безрисковая процентная ставка, приведенная к сроку опциона).

Расчет предполагает соблюдение следующих условий3:

Отсутствуют налоги и расходы по проведению сделок.

Процентная ставка по безрисковым вкладам в течение принятого срока неизменна; ставки для вложений и займов равны между собой.

Опционы исполняются в определенную дату, т.е., очевидно, речь идет о европейском опционе.

Отсутствуют выплаты дивидендов.

Ценные бумаги (Security) предлагаются в любом количестве, их фиктивные покупки-продажи возможны без ограничений.

Инвесторы действуют рационально и не стремятся к чрезмерным доходам.

Предположим, что S = 20, вероятность движения цены актива (товара) вверх p = 0,5 и вниз q = 0,5. При направлении вверх мультипликативное движение цены u = 1,2; при направлении вниз d= 0,67; r = 1,1. После одного шага (периода) цена товара станет uS (с вероятностью p) или dS (с вероятностью 1 - p), т.е. вероятность 50 : 50 того, что цена поднимется до 1,2·20 = 24 или опустится до 0,67 · 20 = 13,4.

Рассмотрим показатели опциона Call, в котором цена исполнения принята 21, и попытаемся найти приемлемую рыночную цену опциона Call на одну единицу актива при этой цене исполнения; шаг приравнен к году.

При движении вверх текущей цены внутренняя стоимость опциона Call равна 3, при движении вниз - 0.

Рассмотрим гипотетический безрисковый портфель (у покупателя) из одной единицы актива и m опционов Call, сформированный на рынке, где для расчета премий используются показатели момента исполнения:

После одного шага у покупателя портфель по рыночной оценке равен: либо 24 за минусом премии на один опцион (3) Call, помноженной на количество опционов, либо 13,4 при опционах Call, внутренняя стоимость которых равна 0, и премия (в момент исполнения) также 0 (затрат по ним нет).

Соответственно у продавца при движении текущей цены вверх выручка от продажи единицы актива (товара) составит 24, но если он не продал опционы Call (по 21), то теряет 3, возможные по каждому исполненному опциону; при движении цены вниз выручка от продажи единицы актива (товара) составит только 13,4 и не может помочь продавцу опцион Call (с премией 0).

Для безрискового портфеля у покупателя финансовый результат при движении цены вверх должен быть равен результату при движении цены вниз, так как направление движения цен базиса меняет структуру портфеля, а не его суммарную стоимость.

Таким образом,

uS - mCu = dS - mCd и

uS - dS = mCu - mCd;

S(u-d) = m(Cu - Cd).

Тогда

m = S(u-d) Cu - Cd (10.1)

Подставляя значения из примера, получим:

m = 20(1,2-0,67) = 3,53, 3-0

т.е. гипотетический безрисковый портфель состоит из одной единицы актива и 3,53 опциона Call.

Условившись о двух противоположных вариантах цен базиса в конце некоего периода (одного шага), приняв определенную цену исполнения в опционе,

договорившись о правилах выплаты премии и ограничившись только внутренней стоимостью, можно вычислить количество опционов, необходимых для защиты стоимости актива (покупателем Call) в конце этого шага.

Однако неизвестна цена реального опциона, который следует приобрести в количестве, определенном по формуле (10.1), и который будет применен в предполагаемых (гипотетических) будущих вариантах цен (если окончательные выплаты премии предусмотрены при исполнении, то стоимость опциона следует знать с самого начала, при его приобретении).

Для решения этой задачи используют иное алгебраическое выражение конечной стоимости портфеля с опционом Call:

uS - mCu=(S - mC)r,

тогда

S-mC = uS-mCu r и

mC = S - uS - mCu r

C = S - uS - mCu m r

или



(10.2)

Подставим числа примера в формулу (10.2):

В данном примере безрисковый портфель (на одном шаге движения цены) состоит из: 1 единицы актива = 20; опционов Call (предложенных в числе 3,53 единиц на каждую единицу товара), в которых цена исполнения равна 21 и сами они продаются по цене 2,21; начальная стоимость портфеля 20 - (3,53 · 2,2147) = 12,1821; стоимость портфеля к моменту исполнения 12,1821 · 1,1 = 13,40 (при r = 1,1).

Вариантом может служить также следующая формула:

C = pCu + (1-p)Cd r (10.3) где

p = r - d u - d

Биномиальная модель определения цены опциона Put для одного периода1. Согласимся, что

uS + P1 = dS + (mP2), (10.4)

где P1 - последняя (окончательная) стоимость Put при uS;

m- число приобретаемых опционов Put;

P2 - последняя (окончательная) стоимость Put при dS.

Примем, что портфель состоит из акций при текущем курсе S= 100; для защиты портфеля используется опцион Put с ценой исполнения E = 100; к моменту исполнения возможны лишь два альтернативных курса uS = 120, dS = 80; вероятность наступления каждого из событий одинакова. Опцион Put защищает эту разницу возможных цен (120-80).

При uS последняя стоимость Put = 0; при dS последняя стоимость

Put =	120-80	= 20.
	2

Решаем формулу (10.4) относительно т и получаем 2, т.е. если колебания цен ограничены (два значения), то два опциона Put формируют безрисковый портфель и (при равной вероятности появления одной из двух цен базиса) безрисковый портфель получает доход, равный рыночному проценту.

Обозначим: текущая цена базиса S0, цена опциона P0, uS = S1, dS = S2 и схематично представим перечисленные выше действия (рис. 10.1, см. также главу 5, рис. 5.1).

Для определения цены опциона Put (P0) используется гипотеза безрискового портфеля (см. формулу (10.1)) и вытекающие из этого предположения формулы:

St =	St+1
	1+i

Рис. 10.1. Расчет цен опциона Put при гипотезе альтернативных цен базиса

St = S0 + тР0 (10.5)

и

P0 =	St - S0
	m

где St - стоимость портфеля в начале периода (начальная стоимость портфеля без риска).

Примем момент t за начало периода; сохраним S1 = 120, Ы2 + 2Р2 = 120, допустим St+1 = 120, т.е. сформируем портфели без риска; срок (длительность) опциона 90 дней; безрисковая процентная ставка - 8% в год. Следует определить цену опциона с применением формул (10.5):

St =	120	= 117,647;
	1,02

117,647 = 100+2P0;

P0 =	117,647 - 100
	2

= 8,82 - теоретическая (справедливая) цена опциона Put.

Биномиальная модель для расчета стоимости опциона, обобщающая ранее приведенные рассуждения, выражается авторами в виде формулы

где S - стоимостное (ценовое) выражение базиса - валютного курса;

- биномиальная функция, или функция распределения в дискретном периоде;

а - наименьшее из неотрицательных целых чисел, превышающее

(здесь d - вероятное понижательное движение цен; и - вероятное повышательное движение цен);

n - число дискретных периодов до истечения срока опциона;

E - цена исполнения (валютный курс);

е - экспонента;

r - краткосрочная процентная ставка по кредитам до окончания срока опциона (процентный фактор, см. ранее);

T - время до окончания срока опциона;

(здесь r' - краткосрочная процентная ставка одного периода).

Для Call и Put при биномиальной модели возможны в любом (сколько-нибудь малом) отрезке времени только две (альтернативные) цены. Биномиальная модель для оценки опционов на активы более чем с одним периодом предполагает, что срок до исполнения может быть разделен на ряд периодов, в каждом из которых по-прежнему возможны только два изменения цен.

Цена (премия) опционов, полученная в этой модели, имеет ту же единицу измерения, что и цена базиса. Проценты соответственно пересчитываются в денежный эквивалент премии опциона.

Расчеты по биномиальной модели давно компьютеризированы.

Триномиальная модель предполагает при выделении и учете двух возможных периодов изменений цен базиса (до окончания срока опциона) появление во втором периоде не двух, а трех значений цен базиса и опциона.

Сохраняем условия и обозначения однопериодной биномиальной модели и покажем складывающиеся ситуации (табл. 10.1).

Таблица 10.1

Развитие цен при учете двух периодов до исполнения опциона

Период	Стоимость для каждого из периодов
	базиса	опциона Call
t = 0	S	С
t=1	uS или dS	Cuили Cd
t=2	uuS(u2S)	Cuu = max(0,u2S-E)
	или udS=duS, или ddS(d2S)	или Cud = max(0,udS-E), или Cdd = max(0,d2S-E)

Согласно табл. 10.1 может быть предложена

C = 1 [p2 max(0,u2S-E)+2p(1-p)max(0,udS-E)+(1-p)2max(0,d2S-E)]. r2 (10.6)

Формула (10.6) пригодна для расчета цен как Call, так и Put (при соответствующей трактовке цены Put: E-S).

1 См.: Математика и кибернетика в экономике. - С. 43.

2 Сох, John C. / Ross, Stephen A. / Rubinstein, Mark. Option Pricing: A Simplified.Approach, in: Journal of Financial Economics. - 1979. - Vol. 7. - P. 229-263.

3 Rendleman, Richard J. /Bartter, Brit J. Tho-State Option Pricing, in: Journal of Finance. -1979. - Vol. 34. - P. 1093-1110.

4 Cox, John C. /Rubinstein, Mark. Options Markets. - P. 166-185; 196-208.

1 См.: Dr. Schдfer Klaus. Finaztermingeschдfte und Optionspreistheorie. - S. 137-154, де Ковни Шерри, Такки Кристиан. Стратегия хеджирования. - M.: Инфра-М,1996. - С. 34-36.

2 По-нем. - der Aufzinsungsfaktor.

3 Эти же условия приняты и в модели Black - Scholes (см. приложение 5).

1 См: Willnow Joachim.Derivative Finanzin Instrumente. - S. 72-76.

7. Цена опциона с выбором (Choosier-Option) определяется по формуле

при

(11.1)

Здесь и в последующих формулах этого приложения большинство символов, включая r, соответствуют символам модели Блэк - Шолза (Black - Sholes); T1 - определенный момент времени, когда покупатель данного опциона решает вопрос о выборе между опционами Call и Put.

Нормальный опцион (Choosier-Option) предполагает выбор среди стандартных (классических) опционов.

Стоимость барьерного опциона кот (Barrier-Option Call) в ситуации выше (In) или ниже (Down) определяется следующей зависимостью:

(11.2)

где Cid - стоимость опциона колл с барьером;

t - момент достижения барьера;

В - текущая стоимость базиса в момент t.

Возможны следующие "сюжеты" для разновидности Call:

барьер В находится ниже цены исполнения E, или E > В. Тогда для достижения положительного результата в этом опционе текущая цена базиса должна не только подняться (для ситуации In) или снизиться (для ситуации Down) до значения В, но и превысить цену исполнения. Несоблюдение любого из этих условий ведет к отрицательному результату. Если текущий курс останется ниже цены исполнения или не достигнет барьера, то для ситуаций In и Down опцион окажется без стоимости;

барьер В находится выше цены исполнения, или Е<В. Тогда для достижения положительного результата текущая цена базиса должна находиться выше цены исполнения и по меньшей мере один раз достигнуть величины барьера. Если в момент исполнения текущий курс базиса будет ниже цены исполнения или ни одного раза не достигнет барьер, покупатель барьера не получит согласованных платежей.

Соответственно стоимость опциона Call в ситуациях In и Down в начале срока может быть рассчитана для первого сюжета1:

(11.3)

При

и

л =	ln r	+	1
	у2		2

Может использоваться и преобразованная формула Блэк - Шолза (Black - Sholes).

Для второго сюжета расчет ведется по следующей формуле2:

(11.4.)

При

Первая часть последней формулы соответствует обычной модели Black - Sholes, вторая и третья части показывают снижение стоимости опциона в связи с возможным его досрочным завершением.

В обратном опционе (Look-back-Option) цена исполнения при начале опциона не определяется и ею становится минимальная (для Call) или максимальная (для Put) текущая цена базиса за весь его срок.

Цена этого опциона может быть:

CLB = max[0, S(T) - min(S0, S1,..., Sn)] для Call

И

CLB = mах[0,mах(S0,S1,...,Sn) - S(Т)] для Put,

где S0 - курс при начале опциона;

Sn - курс при исполнении опциона, т.е. Sn = S(T).

Соответственно формулы расчета стоимости обратного опциона таковы1:

для колла (Call)

(11.5)

При

где Smin - минимальный курс базиса за все время до исполнения опциона;

для пута (Put)

При

где Smax - максимальный курс базиса за все время до исполнения опциона.

1 Экзотические опционы могут быть по другим признакам как простыми, так и обращающимися.

1 См.: Hull John. Options, Futures and Other Derivative Securities, Englewood Cliffs. -New Jersey, 1993. - P. 419.

2 См.: Там же.

1 См.: Wilmott, P. / Dewynne, J.N. / Howison, S.D. Financial Derivative Securities - Mathematical Modeling and Computation. Cambridge, 1995. P. 206; Dr. Schдfer Klaus. Finaztermingeschдfte und Optionspreistheorie. - S. 235.



Приложение

Дополнительные сведения для оценки фьючерсов

Во фьючерсах с базисом в виде финансовых ценностей затраты состоят лишь из процентных платежей. Сообразно с этим справедливая цена по фьючерсам:

F = S · rTf. (12.1)

Здесь и далее в приложении под символом rf понимается (1 + i), где i - соответственно безрисковая процентная ставка.

Фьючерс на индекс курсов акций. Условимся, что в течение срока действия фьючерса выплаты дивидендов по акциям, учтенным в данном индексе, будут надежными, предсказуемыми. Участник рынка может выбирать между покупкой портфеля акций и соответствующих фьючерсов. Реализация арбитража при периодически выплачиваемых дивидендах применительно к фьючерсам на индексы демонстрируется в табл. 12.1.

Таблица 12.1. Арбитраж при надежных выплатах дивидендов

Действие	Платежные потоки
	в момент t0	в момент T
Покупка портфеля акций, составляющих индекс	-S	S(T) + n У Dj rT-tj j=1
Продажа фьючерса	0	F-S(T)
Денежный вклад (займ)	+S	-SrfT
Результат	0	F - SrfT + n У Dj rT-tj j=1

Примечание. В таблице принято: tj - момент выплаты дивидендов по каждой i-й акции.

При нарушении равновесия (равенства) у инвестора появляются арбитражные (спекулятивные) возможности. Если рыночная цена фьючерса на индекс акций превысит теоретическую цену (цену равновесия), то участник рынка займет позицию длинного арбитража, в соответствии с которой в текущий момент он продает подорожавший фьючерс, покупает индексный портфель акций, принимая денежный займ по безрисковой процентной ставке. Станет цена фьючерса ниже теоретической цены, тогда участник рынка может занять позицию короткого арбитража и провести сделки, прямо противоположные предыдущей ситуации.

На рынке наряду с обычными индексами курсов акций применяется индекс исполнения (Performance Index). Стоимость фьючерса на такой индекс предполагает обнуление дивиденда, и формула справедливой цены при годовой процентной ставке: F = S(1 + i)T = SrfT [см. формулу (12.1)].

В 1992 г. была предложена запись этого выражения (для индекса DAX)1:

F = S(1+i)

Число дней до исполнения
360

Фьючерсы с базисом в виде обменного курса валют. В основе определения стоимости этого фьючерса (как показано и в главе 8) лежит суждение, что цена фьючерса должна отвечать такому соотношению между вкладом в национальной валюте при действующей процентной ставке и соразмерным (с обменным курсом) прямым вкладом в иностранной валюте с процентной ставкой на внутреннем рынке чужой валюты, при котором достигалось бы равенство доходов партнеров в данных валютах (или ситуация паритета процентных ставок - Interest Rate Parity). Тогда2:

F = S	(1+ia)T
	(1+ii)T

Фьючерсы, основанные на облигациях. Для их оценки признанной стала модель Но - Lee3.

Модель Но - Lee выявляет, основываясь на текущей ситуации с процентами, их будущее развитие. Для этого текущая структура процентов (совокупность их величин) рассматривается либо как функция процентных ставок в их связи со временем, либо как функция курса облигаций с нулевым купоном (Zero-Coupon). В последующем рассматривается только вторая версия.

В модели Но - Lee предполагается, что рынок капиталов свободен от внутренних распрей, отсутствуют выплаты налогов и платежи посредникам, облигации могут продаваться и покупаться в любом делимом количестве, а для каждого наблюдаемого момента времени существует необходимый облигационный займ с нулевым купоном. При этом также предполагается, что число рыночных ситуаций ограничено, а рыночные ожидания связаны с дискретными периодами времени.

В модели для выхода на достоверные решения по фьючерсам, основанным на процентах, принят также ряд требований: расчеты должны быть свободными от арбитража и основываться на описании динамики курсов многих купонных облигаций; модель движения структуры процентов должна соответствовать текущим показателям структуры процентов; должна быть обеспечена легкость при определении параметров модели.

Решение основано на использовании биномиальной модели (см. опционы). Предложен вывод: цена фьючерса в момент t0 равна ожидаемому кассовому курсу базиса в момент исполнения фьючерса при вероятности q, нейтральной к риску. Это суждение выражается формулами

F0 = К0

и



К0 = NWPT1(T2),

где F0 - цена фьючерса в момент t0;

К0 - ожидаемая стоимость базиса в момент t0 при вероятности q, нейтральной к риску;

NW - принятая процентная ставка, по номиналу;

T1- момент исполнения фьючерса;

T2 - момент исполнения базиса;

PT1(T2)- цена облигации с нулевым купоном со сроком исполнения T2 в момент Т1.

Показатель P используется в этой модели как дисконтный множитель для определения в данный момент времени текущего значения будущих процентов.

В общем виде Pit (T) - цена облигации с нулевым купоном со сроком исполнения T в момент t и при i рыночной ситуации. Для придания образа дисконтного множителя при данных процентных ставках, в свою очередь, используется формула

В этой модели стоимость процентного фьючерса принимается не в виде разности (см. главу 8), а в размере собственно процентной ставки.

О "базисе" в технологиях фьючерсов. При разнице курсов, используемых во фьючерсах с относительно более длинными и короткими сроками исполнения, разрыв в курсах обозначается как спрэд (Spread). Теоретически размер Spread равен расходам (Cost-of-Carry), требуемым для осуществления более длительных контрактов. Арбитраж (спекуляция) в этом варианте предполагает продажу более дорогого фьючерса и одновременную покупку более дешевого фьючерса.

Кассовый и срочный рынки находятся (применительно) к фьючерсам в равновесии, если "базис" (срочный курс - кассовый курс) точно соответствует Cost-of-Carry (CoC, см. главу 8), и тогда цена фьючерса является справедливой (равновесной).

На неравновесном рынке цена фьючерса, предлагаемая каждым участником торгов, сложилась под воздействием ожиданий, текущих событий, ликвидности, соотношения спроса и предложения и т.д. Соответственно появляется второй элемент "базиса" (см. главу 9) - оценка "базиса" (Value-Basis). Тогда

Basis ("базис") = (Carry - Basis) + (Value - Basis), равновесный "базис" + оценка "базиса".

Соответственно может быть и "базисный" риск.

1 См.: Janfien, Birgit / Rudolph, Bernd. Deutsche Aktienindex DAX. Konstruktion und Anwendungsmoglichkeiten. - Frankfurt am Main, 1992. - S. 59.

2 См.: Stoll, Hans / Whaley, Robert E. Futures and Options. Theory Applications. Cincinnati, - Ohio, 1993. - P. 160.

3 Но Т./Lee S. Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims // Journal of Finance. - 1986. - Vol. 41 - P. 1011-1029. Рассматриваются облигации, поставленные (полученные) при исполнении фьючерса с фиктивным базисом (Cheapest-to-Deliver- или CTD-облигации).

13/ Практика решения задач шаржирования1

Опционы

Классические опционы с начислением и выплатой премии при покупке опциона. Они распространены при базисах в виде акций и индексов курсов акций.

Длинная позиция для покупателя опциона. Приобретая опцион, его покупатель перечисляет премию в установленном размере, чем и ограничивается его риск. Права, предоставленные опционом, его держатель реализует сообразно с развитием цен базиса: благоприятном для приобретателя - тогда опцион исполняется; неблагоприятном - его держатель отказывается от исполнения опциона.

Короткая позиция для продавил опциона. Различают покрытую и непокрытую короткие позиции. При покрытой позиции при передаче в залог расчетной палате базисной ценности в полном объеме поставки никакая маржа биржей не взыскивается. При непокрытой позиции при любой базе начисляется маржа. Распространенной непокрытой позицией является опцион на индекс курсов акций (что очевидно).

Продавец обязан провести платеж (Premium-Margin) в размере, совпадающем с суммой премии покупателя (ценой опциона). Считается разумным ежедневно пересчитывать размер взноса сообразно с изменением текущей цены базиса. Дополнительно продавец опциона должен возместить риски возможного изменения цен базиса на следующий торговый день. Для этого им выплачивается начальная маржа. Данный взнос проводится постоянно, до момента поставки базиса. Оба этих платежа составляют общую маржу продавца (надписателя).

Откорректированная короткая позиция (Short Option Adjustment). Для опциона в короткой позиции и в ситуации без денег существует риск, что теоретическая цена опциона, определенная по биномиальной модели (см. соответствующие главы учебника), при предположении резких колебаний цен базиса, окажется чрезмерно низкой. В стремлении избежать нежелательной реакции опциона на возможное усиление колебаний цен базиса расчетные палаты используют конструкцию откорректированной короткой позиции, позволяющую рассчитать опционную цену в сумме, значительно превышающей результат биномиальной модели. Для этого вводится дополнительный параметр - минимум для

ситуации без денег (Out-of-the Money Minimum), и с его помощью проводят следующий расчет:

Результат обозначают как премию, или как Premium Margin для данного опциона (см. главу 8).

Опционы, торгуемые в режиме отметки по рынку. Отличия в правилах платежей по сравнению с классическим опционом сводятся к следующим особенностям:

покупатель, который должен выплатить премию в будущем, тем самым получает дополнительный доход, который уравновешивается взносом начальной маржи (Initial Margin); покупатель участвует в расчетах вариационной маржи;

продавец выплачивает начальную маржу, но не платит взносы по Premium Margin; продавец участвует в расчетах по вариационной марже.

Соответственно рассчитываются и выплачиваются обоими контрагентами начальная (дополнительная маржа), а расчетной палатой проводятся вычисления вариационной маржи, учитываемой на счетах участников.

Расчет платежей (взносов) для опционов, торгуемых в

режиме отметки по рынку (по материалам биржи Еиrех)

Опцион на фьючерс

Контракт	1 COGBL июнь 2001
Исходные данные:	Величина одного тика	0,01 пункта	Стоимость одного тика	10 EUR (евро)
	Позиция:	10 контрактов	Цена опциона при покупке/продаже	1,16 пункта

Вариационная маржа по опциону



Показатель	По последующим дням торговли
	1-й	2-й	3-й
Расчетная стоимость базиса (пунктов)	114,30	114,64	114,59
Расчетная стоимость данного опциона	1,13	1,30	1,25
Платежи (взносы)

1-й день	Покупателя	Продавца
	Изменение значений базиса:	Показатели по дням
		1-го дня	предшествующего дня, дня покупки	разница в тиках (1-й день - 1-й день покупки)
		1,13	1,16	3
	Расчет стоимостного показателя по позиции: -3 · 10 EUR · 10 = -300 EUR (дебетовая запись)	Расчет стоимостного показателя по позиции: 3 · 10 EUR · 10 = 300 EUR (кредитовая запись)
2-й день	Изменение значений базиса:	Показатели по дням:
		1-го дня	2-го дня	разница
		1,13	1,30	17
	Расчет стоимостного показателя по позиции: 17 · 10 · 10 = 1700 EUR (кредитовая запись)	Расчет стоимостного показателя по позиции: -17 · 10 · 10 = 1700 EUR (дебетовая запись)
3-й день	Изменение значений базиса:	Показатели по дням
		2-й день	3-й день	разница
		1,30	1,25	5
	Расчет стоимостного показателя по позиции: -5 · 10 · 10 = -500 EUR (дебетовая запись)	Расчет стоимостного показателя по позиции: 5 · 10 · 10 = 500 EUR (дебетовая запись)

Дополнительный платеж (взнос) по опциону (Addition Margin)

Покупатель	Продавец
1-й день	Параметр изменения цен базиса = ± 1,6 пункта
	Для следующего торгового дня предполагается неблагоприятная перемена цен: цена опциона снижается на 50 тиков (по сравнению с расчетной ценой 1-го дня) до 0,63 пункта	Для следующего торгового дня предполагается неблагоприятная перемена цен: цена опциона поднимается на 93 тика до 2,06 пункта
	Тогда изменения значений базиса составят:
	Показатель	Показатели по дням	Показатели по дням
		1-й день	проект 2-го дня	разница (2-й день - 1-й день)	1-й день	проект 2-го дня	разница (2-й день - 1-й день)
	Цена базиса	114,30	112,70	-1,6	114,30	115,90	1,6
	Цена опциона	1,13	0,63	50	1,13	2,06	93

	Расчет стоимостного показателя	Расчет стоимостного показателя
	по позиции: 50 · 10 · 10 = 5000 EUR (взнос дополнительной маржи на счет участника)	по позиции: 93 · 10 · 10 = 9300 EUR (взнос дополнительной маржи на счет участника)
Покупатель	Продавец
2-й день	Для следующего торгового дня предполагается неблагоприятная перемена цен: цена опциона снижается на 59 тиков (по сравнению с расчетной ценой 2-го дня) до 71 пункта	Для следующего торгового дня предполагается неблагоприятная перемена цен: цена опциона поднимается на 98 тиков до 2,28 пункта
	Тогда изменения значений базиса составят:
	Показатель	Показатели по дням	Показатели по дням
		2-й день	проект 3-го дня	разница	1-й день	проект 3-го дня	разница (2-й день - 1-й день)
	Цена базиса	114,64	113,04	-1,6	114,64	116,24	1,6
	Цена опциона	1,30	0,71	59	1,30	2,28	99
	Расчет стоимостного показателя по позиции: 59 · 10 · 10 = 5900 EUR [в предыдущий день (1-й день)] внесено 5000 EUR, дополнительный взнос равен 5900 - 5000 = 900 EUR	Расчет стоимостного показателя по позиции: 98 · 10 · 10 = 9800 EUR (в предыдущий день) внесено 9300 EUR, дополнительный взнос равен 9800 - 9300 = 500 EUR
Расчет при исполнении опциона Премия по опциону
Покупатель	Продавец
Расчетная цена 3-го дня = 1,25
3-й день	Расчет стоимостного показателя по позиции: 125 тиков · 10 EUR · 10 контрактов = 12 500 EUR (перечисление премии, дебетовая запись)	Расчет стоимостного показателя по позиции: 125 · 10 · 10 = 12 500 EUR (получение премии, кредитовая запись)

и т. д.

Фьючерсы

Вклады в виде Spread Margin, Additional Margin. B сделках с фьючерсами они увязаны с формированием позиций Netting, Spreading, Spreads (см. главу 8).

Spread Margin. Она используется для возмещения возможных потерь наступающих торговых дней. Для определения этих платежей применяется следующий алгоритм: находится позиция Netting (для одного и того же месяца исполнения

сальдируются длинные и короткие позиции); образовавшийся остаток выступает либо как Netto-Long, либо как Netto-Short; затем проводится Spreading (сопоставляются длинные и короткие позиции разных месяцев исполнения) и выводится платеж (Spread Margin), по размеру существенно меньший по сравнению с начальной маржей (Initial, Additional Margin), поскольку риски длинных и коротких позиций при проведении показанных процедур в значительной мере взаимно уравновешены (компенсированы).

Особенность расчета данной маржи также в использовании вариантов ставок ближних и дальних месяцев исполнения для фьючерсов с возможной реальной (физической) поставкой базиса.

Стандартные обозначения на бирже для: ближайшего месяца исполнения-Spot Month; отдаленного (вслед за ближайшим) месяца исполнения - Back Month; контракта, подлежащего исполнению в ближайший месяц, - Front Contract; контракта, подлежащего исполнению в отдаленный месяц, - Deferent Contract.

До наступления первого рабочего дня месяца исполнения по данной паре фьючерсов взимается обычная маржа - Back Month Spread Margin.

Пары, задействованные для взаимного погашения, включающие Front Contract с физической поставкой, становятся предметом для более высоких платежей - Spot Month Margin. Эти платежи предназначены для возмещения повышенных колебаний (изменений) цен в месяц поставки. Они взимаются, как только наступает месяц такого Front Contract. Bo фьючерсах, базисом которых являются расчетные величины (в частности, индексы курсов акций), поставки нет и, сообразно с этим, нет повышенных рисков месяца поставки, и равными устанавливаются платежи для каждого из вариантов маржи.

Additional Margin. При формировании парных, уравновешенных позиций появляются открытые позиции, остающиеся за рамками Spreads - Non Spread позиции. На эти позиции распространяется требование взноса дополнительной маржи, возмещающей риски следующего (следующих) дня торговли (Additional Margin).

Сумма Spread Margin и Additional Margin составляет суммарный взнос члена расчетной палаты для наступающих биржевых дней.

Приведем расчеты взносов при торговле фьючерсами (по материалам биржи Eurex).

Расчет платежей (взносов) для фьючерса с базисом

в виде процентов и индексов курсов акций

Расчет для февраля

Netting	Spreading
Контракты	Количество	Пары по срокам
по позициям по срокам	длинная	короткая	нетто	март-июнь	март-декабрь	сентябрь-декабрь	остаток Non-Spread
Март	100	150	-50 (короткие)	-30	-20	-	0
Июнь	40	10	30 (длинные)	30	-	-	0
Сентябрь	5	20	-15 (короткие)	-	-	-10	-5
Декабрь	30	0	30 (длинные)	-	20	10	0

На московских срочных площадках для завершения сделок с фьючерсами использовалась процедура эквивалентной маржи. Ниже приводится структура типичного фьючерса, в котором исполнение контракта проводилось с помощью такого рода процедуры.

КОНТРАКТ на курс АДА (Американских депозитарных акций)

РАО "Газпром" Лондонской фондовой биржи

Предмет торгов	Курс АДА, фиксируемый по итогам торгов Лондонской фондовой биржи
Объем контракта	100 АДА (одна АДА - 10 обыкновенных акций РАО "Газпром")
Цена	Цена контракта в ходе торгов и биржевых котировках указывается в пунктах, 1 пункт соответствует 1 долл. США по курсу ММВБ предыдущего дня
Стоимость контракта	Текущая стоимость контракта в руб. определяется как Cm = Ц · P, где Ц - цена контракта в долларах США; P - курс долл. США на ММВБ на соответствующую дату
Шаг цены	Минимальное изменение цены контракта составляет 1 пункт, что соответствует изменению стоимости контракта на 1 долл. США
Предельное отклонение цены от предыдущей котировки	Устанавливается Условиями торговли в Отделении срочных сделок
Гарантийные залоговые средства	Устанавливается Условиями торговли в Отделении срочных сделок
Последний день торговли контрактами	День, на который фиксируется курс АДА на Лондонской фондовой бирже
Исполнение контракта	Исполнение контракта производится в течение следующего рабочего дня после последнего дня торговли контрактом путем взаиморасчетов по эквивалентной марже по позициям, оставшимся открытыми после завершения торговли контрактом Эквивалентная маржа определяется как: Мэ = N(Цз) - Ц N где N - объем контракта, равный 100; Ц - котировочная цена контракта последнего дня торговли контрактом, в долларах CIIIA; Цз - цена закрытия рынка, цена единицы АДА, зафиксированная на Лондонской бирже в последний день торговли контрактом, в долларах США. Положительная эквивалентная маржа перечисляется со счета Продавца на счет Покупателя Отрицательная маржа перечисляется со счета Покупателя на счет Продавца
Закрытие позиции	Зачисление (списание) эквивалентной маржи При расчетах по эквивалентной марже удерживается комиссионный сбор в пользу Биржи в размере 0,5% величины эквивалентной маржи

УСЛОВИЯ ТОРГОВЛИ

на курс 100 АДА (Американских депозитарных акций)

РАО "Газпром" Лондонской фондовой биржи

в Отделении срочных сделок биржи

Параметр	Эмитент
	РАО "Газпром"
1. Условное. обозначение контракта	Газпром - месяц исполнения
2. Объем контракта, шт. акций	100 АДА (одна АДА - 10 обыкновенных акций РАО "Газпром")
3. Начальные залоговые средства на 1 контракт*	75 долл. США
4. Дополнительные залоговые средства на 1 контракт* (вносятся на последние 2 дня торговли контрактом)	20 долл. США
5. Предельное изменение цен заявок от котировочной цены предыдущего дня, пункты	75
6. Предельное изменение котировочной цены за сессию, пункты	50
7. Предельное число открытых позиций с первого дня поставочного месяца для каждой Расчетной фирмы, % от общего числа открытых позиций**	<20
8. Биржевой сбор, руб./контракт 8.1. Биржевой сбор в последний день торговли контрактом, руб. /контракт	400 1000
9. Комиссионный сбор, руб./контракт	0,5% величины эквивалентной маржи

* Залоговые средства в долларах США пересчитываются в рубли по курсу ММВБ предыдущего дня.

** На открытые позиции в пределах 15-20% общего числа открытых позиций гарантийные залоговые средства блокируются в двойном размере.

1 По материалам Франкфуртской биржи, биржи Eurex, московских срочных площадок. Использованы иностранные тексты на немецком языке. Известны различные методики, используемые в процедурах маржирования. Например, Standard Portfolio Analysis of Risk (SPAR), предложенная в 1988 г. CME; применяется модель статистического анализа рядов исторических данных - Value at Risk (VAR), подход кросс-маржирования и др.

14/ Графики, отображающие шансы-риски (прибыли-убытки)

в опционных стратегиях

Элементные технологии

Показатели:

S0 - текущая цена базиса;

E-цена исполнения базиса;

С-премия (цена) опциона в момент покупки.

Фиксируются:

по оси абсцисс-движение цен базиса;

по оси ординат - размер прибылей и убытков, включая выплачиваемую премию;

Ч - точка, в которой решается задача хеджирования.

На графиках (рис. 14.1-14.3) фиксируется возможное распределение рисков покупателя, на графиках (рис. 14.4,14.5) - возможное распределение рисков продавца в зависимости от соотношения цены исполнения и текущей цены базиса.

Рис. 14.1. Покупка базиса (Long Underlyind)

Рис. 14.2. Покупка опциона на покупку (Long Call)

Рис. 14.3. Покупка опциона на продажу (Long Put)

Рис. 14.4. Продажа опциона на покупку (Short Call)

Рис. 14.5. Продажа опциона на продажу (Short Put)

Сложение (дублицирование) различных стратегий демонстрируется на рис. 14.6.

Покупка базиса + покупка пута = покупка колла

(Long Underlying + Long Put = Long Call)

Рис. 14.6. Сложение классических стратегий в опционах

Комбинированные технологии

Соблюдается концепция графиков элементных технологий. Однако точка пересечения координат означает "0".

Рис. 14.7. Стратегия Protective Put (одна позиция в базисе - одна позиция в Put)

Рис. 14.8. Стратегия Protective Put (одна позиция в базисе - две позиции в Put)

Рис. 14.9. Стратегия Covered Call Writing

Рис. 14.10. Стратегия Long (Bottom) Straddle

Рис. 14.11. Стратегия Short (Top) Straddle

Рис. 14.12. Стратегия -Long (Bottom) Straddle-I

Рис. 14.13. Стратегия Long (Bottom) Straddle-II

Рис. 14.14. Стратегия Short (Top) Strangle

Рис. 14.15. Стратегия Bull Call Price Spread

Рис. 14.16. Стратегия Bear Call Price Spread

Рис. 14.17. Стратегия Bear Put Price Spread

Рис. 14.18. Стратегия Butterfly с Call

Рис. 14.19. Комбинация в стратегии Long Condor

15 Типические технологии в сделках со свопами

Процентные свопы

Рис 15.1. Схема процентного фиксированно-плавающего свопа при банке-посреднике

Рис. 15.2. Схема процентного фиксированно-плавающего свопа с участием кредитора и без посредника

Рис. 15.3. Схема процентного фиксированно-плавающего свопа с переменной плавающей ставкой

Валютные свопы

Рис. 15.4. Схема валютного свопа с заменой валюты в платежах

Рис. 15.5. Схема валютного свопа при плавающей процентной ставке против фиксированной ставки

Рис.15.6. Схема свопа с заменой процентного дохода от облигации на процентные платежи банка

16 Примеры свопов для защиты от кредитного риска1

Стандартный своп на неисполнение обязательств по займу. Пусть банк А подвержен суверенному риску некоего государства и желает захеджировать этот риск. Для этого он заключает своп на неисполнение обязательств со своим контрагентом - банком В.

Банк А периодически выплачивает банку В премию в течение всего срока действия свопа. В случае наступления в этот срок некоторого кредитного события банк В произведет оговоренные платежи банку А.

Под кредитным случаем здесь следует понимать любое событие, оговоренное в условиях свопа, например суверенный дефолт или невыплату по облигациям государства. Особенность данного договора в том, что выплата при наступлении кредитного события будет основана на факте дефолта по определенным, заранее оговоренным обязательствам суверенного государства, но банк А фактически может и не владеть этими активами.

Своп на совокупный доход (Total Return Swap). Пусть банк А желает получать доходы по некоторым высоко прибыльным и рисковым активам х. При этом банк А согласен нести соответствующий риск, но по тем или иным причинам не желает или не имеет возможности финансировать покупку актива x или фактически владеть активом х.

В этом случае банк А заключает своп на совокупный доход с банком В, компенсируя банку В затраты по финансированию покупки активов х и, возможно, дополнительно выплачивая ему некоторые оговоренные премии. Как правило, банк В компенсирует свою позицию по свопу приобретением реального актива х или производных инструментов, создающих похожие денежные потоки. Банк В, в свою очередь, переводит в пользу банка А все доходы, приносимые активом х (проценты, дивиденды, прирост стоимости и т.д.).

Следует подчеркнуть, что своп на совокупный доход распределяет между контрагентами как кредитные, так и рыночные риски, расширяя таким образом понятие кредитных производных.

Корзинный своп на неисполнение обязательств (Basket Trade). Инструмент построен на основе стандартного свопа на неисполнение обязательств, как было отмечено ранее, однако его особенность заключается в том, что наступление кредитного события привязано не к одному активу, а к группе (корзине) активов (х, y, z).

При наступлении кредитного события по одному из входящих в корзину активов (например, активу у) продавец кредитной защиты - банк В выплатит приобретателю кредитной защиты - банку А некоторую сумму. Дальнейшее действие свопа прекращается с наступлением первого кредитного события.

Банк А заключает такой своп в отношении активов, в наименьшей степени связанных друг с другом, т.е. таким образом, чтобы при дефолте по активу у вероятность дефолта по двум другим активам была минимальной. Основная причина, по которой банк В заключает такой своп, состоит в том, что корзинный своп стоит дешевле, чем совокупность свопов на активы, входящие в корзину, по отдельности.

1 РЦБ. - 2000. - № 3. - С. 50-51.

17 Примеры расчетов при использовании производных в задачах хеджирования процентных рисков1

Своп на проценты

В операциях немецких банков применяются свопы с использованием так называемых микробазиса и макробазиса. Микробазис - это каждая отдельная операция, связанная с хеджированием; макробазис предполагает, что проводится сделка, способная защитить (компенсировать) рыночную стоимость управляемого портфеля в необходимых размерах с помощью определенных процентных "сценариев". При этом будет оставаться процентный риск из-за неравномерных (непараллельных) ставок для различных рынков, к которым принадлежат производные и их основания (спрэд между этими рынками будет меняться). Устанавливаются объемы и сроки хеджирования. Пример и расчет показаны в табл. 17.1.

Валютно-процентный своп

При управлении валютными рисками с помощью сделок в иностранной валюте приобретается поток платежей в этой валюте, связанный, в свою очередь, с собственным процентным риском, подлежащим учету при хеджировании. Защита проводится с помощью активного валютно-процентного свопа. В примере при начале действия свопа получена денежная сумма в 360 млн немецких марок (DM) взамен выплаты 225 млн американских долларов (USD) (при кассовом курсе DM/USD 1,60)2. В сроки свопа (в примере срок - пять лет) банку поступают твердопроцентные платежи в USD, а банк выплачивает суммы с твердыми процентами в DM. Валютно-процентный своп оформлен по рыночным условиям. Результаты - в табл. 17.2.

Таблица 17.1

Поток платежей процентного свопа

Сумма номинала Банк платит Банк получает Срок действия	705 000 000 пятилетнюю твердую процентную ставку = 8,93% двенадцатимесячный LIBOR пять лет
Сторона свопа с твердым процентом
Дата	Капитал	Проценты	Позиция	Структура процентов	Коэффициент дисконтирования	Текущая стоимость
	Приход (+)	Выплата (-)	Приход (+)	Выплата (-)
31.12.1993		10,05%	1,0000000
31.12.1994		62 956 500	-62 956 500	9,95%	0,9095043	-57 259 209
31.12.1995		62 956 500	-62 956 500	9,59%	0,8329031	-52 436 666
31.12.1996		62 956 500	-62 956 500	9,31%	0,7664275	-48 251 591
31.12.1997		62 956 500	-62 956 500	9,09%	0,7076239	-44 549 524
31.12.1998		705 000 000		62 956 500	-767 956 500	8,93%	0,6543379	-502503011
	-705 000 000
Сторона свопа с переменным процентом
Дата	Капитал	Проценты	Позиция	Структура процентов	Коэффициент дисконтирования	Текущая стоимость
	Приход (+)	Выплата (-)	Приход (+)	Выплата (-)
31.12.1993						10,05%	1,0000000
31.12.1994			70 147 500		70 147 500	9,95%	0,9095043	63 799 454
31.12.1995			64 838 083		64 838 083	9,59%	0,8329031	54 003 842
31.12.1996			61 147 779		61 147 779	9,31%	0,7664275	46 865 338
31.12.1997			58 585 529		58 585 529	9,09%	0,7076239	41 456 520
31.12.1998	705000000		57411711		762411711	8,93%	0,6543379	498 874 845
								705 000 000

Таблица 17.2

Поток платежей валютно-процентного с...