Производные финансовые и товарные инструменты

В свопах на совокупный доход (Total return swaps) стремятся объединить защиту совместно от рыночных и кредитных рисков. По соглашению в этом свопе одна из сторон поручает другой стороне покупку имущества (активов), проводит финансирование приобретения, а второй участник платежами в пользу первого участника отдает ему все доходы от использования приобретенного имущества. Приобретатель имущества получает по свопу определенные премии.

В целом применение своповой техники будет расширяться, а процедуры совершенствуются.

1 См.: например, Кавкин А.В. Кредитные деривативы в структуре мирового рынка производных финансовых инструментов: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук. - M., 2002.

7.4 Производные кэп, флоо

Особая группа производных образована из комбинации отдельных свойств опциона, свопа и финансовых отношений Сар и Floor. Применяются они на внебиржевом рынке. Могут рассматриваться так же, как последующее поколение производных. К ним относятся: кэп (Сар), флоо (Floor) или Caption, Floortion, Floption.

Кэп (Cap - шапка) может быть в любом контракте, фиксирующем максимальную ставку заимствования или минимальную ставку кредитования (потолок). В распространенном варианте Сар - это гарантия по соглашению, что за определенный период процентная ставка не превысит определенного максимума. Такие соглашения обычно заключаются на длительное время (3-5 лет).

Производный инструмент кэп (Сар) - это колл (Сall)-опцион на конкретные процентные ставки. В соглашении указываются номинал для расчетов, договорная (ожидаемая) процентная ставка и срок, когда подводится итог и проводятся расчеты. В договорный день окончания соглашения покупатель автоматически получает положительную разницу между текущей и договорной процентной ставками. Данное право обеспечивается премией, выплачиваемой другой стороне (продавцу). Премия передается сразу с полном объеме или в рассрочку. Рассчитывается сумма премии в процентах от номинала. Иначе - это опцион на покупку соглашения Сар.

Флоо (Floor - пол) предполагает гарантию для кредитора получения некоторой минимальной процентной ставки.

Производный инструмент флоо (Floor) - это пут (Рщ)-опцион на краткосрочные процентные ставки.

Процедура оформления флоо повторяет процедуру оформления кэп. Согласно флоо (Floor) платежи для покупателя в обязательном порядке появляются тогда, когда в договорный день окончания соглашения возникает отрицательная разница между текущей и договорной процентными ставками. Иначе - это опцион на покупку соглашения Floor.

Сар при снижающихся процентных ставках определит верхнюю границу процентной ставки; Floor - при возрастающих процентных ставках - нижнюю границу ставки. Чрезмерный (резкий) рост ставок или чрезмерное (резкое) падение ставок, выгодные продавцу, возмещаются обязательными платежами в пользу покупателя.

Если номинал и обязательный платеж сближают эти инструменты со свопом, то асимметричный профиль доходов уподобляет их опциону.

Своп-опцион (Swaption), или опционы на своп (процентный), - еще один инструмент, соединяющий опцион и своп. Покупатель такого своп-опциона приобретает право вступить в определенный момент (через определенные периоды) и на твердо установленных соглашением условиях в своп. Вопросы в том, вступает ли покупатель опциона в своп как плательщик твердой ставки или как получатель твердой ставки, о размерах ставки и плавающего процента, предоставленные другой стороной, оговариваются между продавцом и покупателем.

Ставка исполнения опциона фиксируется, а покупатель выплачивает продавцу премию (вычисляется в процентах условной суммы-номинала). Данный инструмент применяется в основном с европейскими опционами.

Инвестор может использовать эти опционы, чтобы, в частности, спекулировать на растущих процентах.

7.5 Соглашение о будущей процентной ставке

Такое соглашение (Future Rate Agreement или Forward Rate Agreement, FRA) относится также к инструментам внебиржевого рынка.

Эти соглашения, в которых речь идет о срочных процентных сделках, начали использоваться в 1984 г. лондонскими коммерческими банками. Участники договора определяют величину, сумму, стартовую дату и период действия FRA. Соглашение заключают индивидуально между партнерами1. Участники FRA освобождены от контроля расчетно-клиринговой палаты, а также от депонирования гарантийных ценностей (залога, маржей) и ежедневных пересчетов стоимости. Участники FRA принимают взаимные обязательства произвести в день исполнения сделки соответствующие компенсационные платежи. Сроки исполнения не превышают двух лет. При FRA никогда не обменивается находящаяся в основе сделки номинальная стоимость и не происходит обмена платежами в момент оформления сделки. В установленный участниками-партнерами день исполнения сделки принятая в договоре процентная ставка сопоставляется с расчетной рыночной ставкой и выполняется выравнивающий платеж. Риск потерь во FRA превышает риски, существующие при фьючерсной технологии. Отказ от соглашения проводится офсетной сделкой - покупкой контракта, ликвидирующего эту позицию.

Существенное отличие технологии FRA от фьючерсных технологий состоит в том, что определяется (обусловливается) процентная ставка не вложения (инвестиции), да еще по биржевым правилам, а займа (долгового обязательства). Покупатель FRA, принимая кредит, стремится гарантировать себе невысокий процент за долг, и если реальный рыночный процент за время FRA возрастает, то покупатель выигрывает, а если рыночный процент падает, то покупатель проигрывает. Другими словами, покупка процентного фьючерса соответствует продаже FRA и продажа процентного фьючерса - покупке FRA. Фьючерсы и FRA при совпадении и различиях в содержании и технологии стали использоваться операторами финансового рынка совместно, в частности, в межрыночном арбитраже.

7.6 Неопределенные (промежуточные) производные

К неопределенным производным могут быть отнесены рыночные инструменты, в которых упрощенно и частично реализуются свойства производных, в то же время сами по себе они являются развитыми и значимыми финансовыми продуктами-инструментами.

1. Облигации катастроф

Облигации катастроф (Act-of-Cod Bonds) (иногда их называют "погодными дериватами"1) - это займы, рассматриваемые как развитие действий по перестрахованию. По структуре, становясь похожими на производные, они отличаются от стандартных механизмов перестрахования и в то же время не сливаются со стандартными производными (опционами и т.п.). Они стали предметом биржевой торговли (например, на Чикагской торговой палате - Chicago Board of Trade), используются совместно с другими биржевыми инструментами.

События, ведущие к наступлению срока выполнения обязательств по этим займам, могут состоять либо в общем ущербе от отдельных природных катастроф в определенный период, в определенном месте, либо в масштабах природной катастрофы, измеряемых по установленным правилам (скорость ветра при штормах, значения шкалы Рихтера при землетрясениях), либо в техногенных катастрофах и ущербе от них. Известны три группы займов катастроф: ликвидные путы (Liquidity Puts), купоны рискового займа (Coupon-at-Risk-Bonds), досрочные платежи (Principal-at-Risk-Bonds).

В ликвидных путах (Liquidity Puts) платежи связаны с состоявшимся стихийным бедствием. Владелец облигации по этому займу - страховое общество - при наступлении стихийного бедствия (так или иначе указанного при эмиссии облигаций) с самого начала может потребовать выплаты денежной суммы займа. Выпускает займ эмитент, находящийся в условиях относительно (по сравнению с приобретателем облигации) меньшей вероятности стихийных бедствий и обладающий хорошей платежеспособностью. Сообразно с этим для страховой компании кредитный и платежный риски относительно невелики. Возможный дополнительный риск для инвестора компенсируется купоном с повышенными (по сравнению с обычными рыночными) процентными ставками.

Например, в 1990 г. в Европе был эмитирован займ на срок семь лет и на сумму в 50 млн долл. В условиях этого займа было предусмотрено, что приобретатель облигаций может потребовать досрочной выплаты номинальной суммы займа при землетрясении силой не меньше 7 баллов по шкале Рихтера, произошедшего в радиусе 100 км от определенных четырех японских муниципалитетов. Займ был принят японскими страховыми компаниями. Событие состоялось, но привлекательные выплаты процентов по этому займу побудили японских страхователей для перестрахования использовать другие денежные фонды.

Купон рискового займа (Coupon-at-Risk-Bonds) предполагает возможность для заемщика снизить суммы номинала или процентные ставки так, чтобы общий платеж соответствовал бы текущим рыночным процентам при наступлении оговоренного (в условиях займа) стихийного бедствия (своеобразная премия для эмитента займа).

Досрочные платежи (Principal-at-Risk-Bonds) обычно связаны со значимыми драматическими событиями и их последствиями, но они могут не наступить, если при наличии страхового случая не будут соблюдены некоторые дополнительные условия.

Так, в 1996 г. в США был выпущен займ с номиналом 50,0 млн долл. и на срок пЩ" лет. Но этому займу событие наступало тогда, когда общие потери от всех страховых случаев, произошедших в США в 1996 г., превысили бы 10,0 млрд долл. Срок был ограничен только 1996 г., и факт должен был быть предъявлен страховыми компаниями не позднее 18 мес. после окончания 1996 г.

Специалистами признается, что в займах катастроф профиль "шансы-риски" может быть выгоднее для страховых компаний по сравнению с обычными займами или эмиссией ими акций.

1 См.: Вержбицкая П.В. Место перестрахования в мировом страховом бизнесе: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук. - M., 1999. -С. 15.

2. Депозитарные расписки

Причисление депозитарных расписок к производным финансовым инструментам основано на схожести отдельных признаков (зависимость их от параметров внутреннего рынка данной акции: величины оборота, стоимости и цен). Однако эти признаки второстепенные. По главным характеристикам современные депозитарные расписки не являются производными экономическими инструментами. Это инструменты, для которых производность имеет правовую, формально-юридическую базу, созданную в основном действиями правительственного органа США - SEC1. Первые попытки создать такой инструмент были предприняты в конце 20-х гг. XX в. (группой Моргана), однако они стали внедряться и широко распространяться только с середины 50-х гг. в силу правовых решений, принятых этим органом. В 1998 г. были задействованы 2034 программы американских депозитарных расписок (ADR), оборот ADR на биржах составил 625 млрд долл.2

Структура депозитарных расписок позволяет в теории, анализе и управлении объединить их с акциями, что полнее будет отвечать природе данных инструментов3.

1 Сами по себе депозитарные расписки - развитый институт и инструмент рынка акций, и им посвящено много литературы.

2 Bank of New York. Press Releases-Depositary Receipts, 1998.

3 Такой подход существует в США в рамках Security. Подчас депозитарные расписки обозначаются как субституты акций (заменители акций). См. Положение о порядке выдачи разрешения Федеральной комиссии по рынку ценных бумаг на допуск к обращению эмиссионных ценных бумаг российских эмитентов за пределами РФ в форме ценных бумаг иностранных эмитентов, выпускаемых в соответствии с иностранным правом и удостоверяющих права на эмиссионные ценные бумаги российских эмитентов. Утверждено соответствующим Постановлением ФКЦБ от 13 марта 2001 г. № 3 (Российская газета. - 2001. - 28 апр.).



Глава 8. Стоимости (цены) производных

"Что это за Зурейк и кто он такой будет?" И ему сказали: "Он начальник молодцов земли иракской и может чуть что просверлить гору, схватить звезду и снять сурьму с глаз, и нет ему в таких делах равного".

Тысяча и одна ночь

Понимание и определение стоимостей (цен), задачи их выявления и расчета занимают центральное место в теории и практических сделках с производными. На этих проблемах и задачах сосредоточиваются многочисленная специальная литература и разнообразные биржевые инструкции.

8.1 Общие положения

Обычных, основанных на законе стоимости, цен производные не имеют. В них предельно полно выражаются связь и зависимость меновой стоимости от эффекта их применения. При этом меновая стоимость вторична, производна как от цен основания (по определению), так и от механизмов существования производных (также по определению). Последние включают определенные алгоритмы выявления стоимости для обмена, без которых производные теряют свой "образ" и свою сущность. Использование стоимостей, обеспечивая существование производных, определяет также их место в воспроизводственных хозяйственных процессах. С этими обязательными оговорками полагаем возможным рассматривать цены производных и ценообразование на них.

В теории разработан ряд исходных, взаимосвязанных принципов.

Первый принцип - соблюдение равенства затрат и денежных потоков в сделках с одной и той же ценностью при различных вариантах (маневрах) использования производных и в сопоставимых с ними сделках на реальном рынке, или выявляет содержание методик и моделей ценообразования (приложения). Сообразно с этим в виде показателей-факторов вводятся: сочетание текущих контрактных цен и договорных цен для базиса; повсеместное использование рыночного процента (различных его вариантов), в том числе для задач наращения и дисконтирования (в известных процедурах); те или иные знаки алгебраических действий.

Второй принцип - признание процессов на рынках производных и сферы, в которой они действуют, в качестве совокупности массовых случайных явлений. Отсюда использование методов стохастической аппроксимации, введение в виде факторов показателей вероятности и ее распределение для тех или иных учтенных явлений.

Третий принцип - необходимость прямого учета в методиках и моделях характера операции - хеджирование, арбитраж, спекуляция, - для которой преимущественно используется тот или иной тип производных. Следствием использования этого принципа стало введение показателей коэффициентов хеджирования, разнообразных вариантов депозита и маржи, номинальной денежной суммы, способов оценки по рынку.

Четвертый принцип - сущностные различия в методиках и принятых моделях для расчета и анализа цен каждого из типов производных. Для обозначения меновой стоимости этих инструментов применяются такие показатели как: премия (в опционах), индексы (во фьючерсах), платежи (во FRA, кэп, флоо и др.).

Пятый принцип - обеспечение взаимной совместимости и конкурентоспособности на финансовых рынках для каждого из производных. Этот принцип постулируется и реализуется с помощью и через отмеченные ранее общие установки.

Сами по себе модели (система алгебраических выражений) в принятых методиках составляются при наборе определенных ограничений и условий (либо повторяющихся для моделей цен производных, либо включающих какие-либо частные соображения).

К общим теоретическим ограничениям относятся предположения об отсутствии дополнительных затрат участников за пределами применения собственно данного инструмента; принимается, что нет налогов (или национальное налогообложение оказывает незначительное влияние на участников); признается, что покупки не ограничены внешними запретами, что допустимы необеспеченные продажи, а производные могут продаваться в любом делимом числе.

В логике определения цен по производным находят отражение и представления, связанные с моделями ARCH, GARCH, EGARCH.

8.2 Стоимости, цены и ценообразование опционов

1. Теория опционного ценообразования

Принципы и порядок ценообразования опционов относятся к фундаментальной финансовой теории. Назначение методик и моделей оценки опционов - выявление объективных стоимостей, учитывающих интересы всех участников (покупателей, продавцов) и соответственно признаваемых ими. Состав теоретических моделей значительно различается в зависимости от включения или отказа от введения в набор параметров вероятностного распределения курсов (цен) базисных ценностей. В моделях, учитывающих распределение массы случайных величин, особое значение приобрело распределение доходности (рентабельности) оснований производных (их базисов).

Классифицируя модели, их можно разделить (по входящим характеристикам и преимущественному применению) также на аналитические и вычислительные.

Становление в мире теории опционного ценообразования по персоналиям и годам можно увидеть, еще раз обратившись к приложению 1.

2. Внутренняя и внешняя стоимости опционов

Приняв гипотезу о том, что рынок свободен от арбитрирования капиталов, исследователи вышли на представление о внутренней и внешней стоимостях опционов1.

В простом виде тождество стоимостей опциона и внутренней стоимости (первого компонента цены) таково:

C(T) = max[0, S(T) - E)], P(T) = тах[0, E - S(T)], (8.1)

где C(T), P(T) -стоимости опционов соответственно колл (Call) и пут (Put) в момент времени T,

S(T) - текущая цена базиса в момент T;

E - цена исполнения в опционе.

Вторым компонентом премии (цены) по опциону стала временная (внешняя) стоимость (Time Value, Extrinsic Value) - разница между фактической премией и внутренней стоимостью опциона. Временная стоимость отражает риски по опциону. Наибольшей величины временная стоимость достигает при равенстве текущей и исполнительной цен базиса в момент приобретения контракта, так как в этой точке вероятность отклонения текущей цены базиса в ту или иную сторону наиболее высока и соответственно высок риск продавца. Временная стоимость обращается в нуль на дату истечения срока контракта, когда вероятность колебаний цен базиса, естественно, превращается в нуль.

В свою очередь, связь цен опционов колл (Call) и пут (Put) при соблюдении условия неарбитражности представлена паритетом опционов - Put-Call-paritat (нем.) (приложение 3).

Управляющим принципом в теории опционного ценоообразования (в дополнение к общим принципам) стал принцип дуплицирования (pricing by duplication)2, предложенный в 1973 г. Ф. Блэком, M. Шолзом, P. Мертоном. Помимо общих ограничений,

приведенных ранее (п. 8.1), для моделей цен на опционы, как правило, принимается ряд частных ограничений: поведение участников (инвесторов) рационально и сдержанно (они не отдают предпочтения повышенным доходам, не добиваются арбитражной прибыли, свободной от риска), а также принимается в расчет постоянный процент денежного рынка, свободный от риска.

Определение стоимости опциона (включая внутреннюю и внешнюю стоимости как органичные ее компоненты) вызывает потребность в увязке (логической и математической) этой стоимости с текущей ценой и ценой исполнения базиса. Эти связи различаются (по направлению действия, оценкам) для: разновидностей опционов колл (Call) и пут (Put); вариантов европейского и американского опционов. В табл. 8.1, 8.2 приведены иерархии этих связей (зависимостей) на рынке, свободном от арбитража.

Таблица 8.1

Иерархия зависимостей стоимости опциона колл (Call) и цен базиса

№ п/п	Вербальное отражение зависимостей	Алгебраические записи для колл (Call) в варианте
		европейского опциона	американского опциона
1	Стоимость опциона не может быть больше, чем текущая цена основания	C?S	С ? S (8.2)
2	Опцион не может иметь отрицательную стоимость	С?0	С = ? 0 (8.3)
3	Стоимость опциона не может быть меньше разницы между текущей ценой и ценой исполнения базиса	C?S - Er -T	C?S - Er -T (8.4) при исполнении в принятый срок; C?S - Er (8.5) при раннем, досрочном исполнении
4	Разница между текущей ценой базиса и дисконтированной ценой исполнения во всех случаях не меньше разницы между той же текущей ценой и ценой исполнения, или стоимость опциона в деньгах больше его внутренней стоимости (за исключением момента исполнения)	S-Er -T?S-E	S-Er -T?S-E (8.6)
5	Равенство для зависимости № 4 может быть создано также прибавлением к правой части неравенства внешней стоимости (действительно за исключением момента исполнения)	C= S-Er -T+ б, б>0	C= S-Er -T+ б, б>0 (8.7)
Примечания: С - стоимость опциона колл (Call); S - текущая цена основания опциона; E - цена исполнения базиса для опциона; rT - дисконтный множитель (r - рыночная процентная ставка, T - время до исполнения опциона); б - внешняя стоимость опциона.

Таблица 8.2

Дополнения к иерархии зависимостей стоимости опциона и цен базиса для опциона Put

№ п/п	Вербальное отражение зависимостей	Алгебраические записи для опциона пут (Put) в варианте
		европейского опциона	американского опциона
1	Стоимость опциона не может быть меньше разницы между дисконтированной ценой исполнения и текущей ценой базиса	P?Eк -T -S	P?Eк -T -S (8.8)
2	Равенство для зависимости № 1 может быть создано также прибавлением к правой части неравенства внешней стоимости (действительно за исключением момента исполнения)	C= S-Er -T+ б, б>0	C= S-Er -T+ б, б>0 (8.9)
3	Стоимость опциона при раннем, досрочном исполнении не может быть меньше разницы между ценой исполнения и текущей ценой базиса	-	P?E-S (8.10) Трансформация этого неравенства будет показана в формуле 8.14
Примечание: P - стоимость опциона пут (Put).

Показанные в табл. 8.1 и 8.2 зависимости, во-первых, стали постулатами для теории ценообразования на опционы. Во-вторых, равенство в этих выражениях означает решение задач хеджирования. В-третьих, перемена знака неравенства (неприменима лишь для С ? 0, P ? 0) выводит на решение задач арбитража и спекуляции. В-четвертых, внешняя стоимость, отражая рыночные риски, сообразно с этим трактуется как защита от этих рисков в цене опциона.

Уникальность ценообразования опционов побуждает посмотреть на сопоставления (теоретические) между собой цен самих опционов. Центральной является связь для двух контрактов между принятыми ценами исполнения (Е1 и Е2 и стоимостью опционов. Если Е1 ? E2, то эта связь представлена в следующих функциях:

? для европейского опциона колл (Call)

(E2 - E1)r-T ? C(E1) - C(E2); (8.11)

? для американского опциона колл (Call)

E2 - E1 ? C(E1) - C(E2); (8.12)

? для европейского опциона пут (Put)

(E2 - E1)r-T ? P(E1) - P(E2); (8.13)

? для американского опциона пут (Put)

E2 - E1 ? P(E1) - P(E2); (8.14)

Вопросы раннего досрочного исполнения опционов остаются предметом обсуждения в теории и по-разному решены практически на национальных биржах. Сообразно с этим дополним наши представления о стоимости американского опциона (в предшествующих текстах и в приложении 3 приведены характеристики, объединяющие и разъединяющие европейский и американский опционы, их конвергенции и дивергенции).

Американский опцион содержит возможность одномоментной покупки (продажи) и исполнения данного опциона (Call, Put), т.е. базис опциона будет приобретен (продан) по цене исполнения и может быть продан (куплен) по текущей цене в момент прекращения опциона, или дисконтирование цены исполнения теряет смысл. Согласно этому для понимания исходных неравенств (см. табл. 8.1, 8.2) используются приемы декомпозиции (расчленения на элементы)1.

Примем для первого шага уравнение 8.7:

C = S - Er - T + б,

на втором шаге введем показатели (+E, -E) и распределим эти показатели по элементам формулы, тогда

C = (S - E) + (E - Er - T) + б

и

C - (S - E) = (E - Er - T) + б. (8.15)

Соответственно левая часть равенства отражает снижение (проигрыш) стоимости колл (Call) при раннем, досрочном исполнении; правая часть - стоимость во времени для вложения E (E > 0) для T > 0; б известно из табл. 8.1, значение этого показателя в формулах 8.15 - б ? 0. При досрочном исполнении б превращается в 0.

При начислении и выплате премии в начале сделки держатель любого опциона колл (Call) сохраняет (до установленного срока исполнения) стоимость во времени и появляется (E - Er-T) + б ? 0, это учитывается при продаже, принося большую стоимость опциону.

Поскольку при раннем (досрочном) исполнении в формуле (8.15) стоимость во времени становится бессодержательным элементом, вдобавок значимо увеличивая выплачиваемую премию, то рациональный инвестор сможет реализовать только разницу S-E (см. также формулы (8.5), (8.6)). Очевидна та убывающая часть стоимости колл (Call), которая проявляется при выплате премии в начале сделки для американского опциона.

Соответственно действия с американским опционом колл (Call) в интересах покупателя нуждаются на биржевых торгах в использовании приемов отметки по рынку, когда премия начисляется и выплачивается при исполнении опциона.

Для уяснения особенностей американского пута (Put) используем те же методические шаги, с помощью которых ранее раскрыта стоимость кола (Call).

Воспользуемся для начала формулой (8.9):

P = Er -T - S + б,

введем показатели (+E, -E) и распределим их, тогда

P = (E - S) + (Er-T - E) + б

и

P - (E - S) = (Er-T - E) + б. (8.16)

Левая часть равенства отражает изменение стоимости опциона пут (Put) при раннем, досрочном исполнении; правая часть (в первом элементе) показывает размер процентного дохода от вложения E (этот показатель < 0) для T > 0, а второй элемент правой части тот же, что и для колл (Call). Если для американского опциона (Er-T -E) < 0, то P-(E-S) при досрочном его исполнении может иметь как положительный, так и отрицательный знак; последний, очевидно, свидетельствует о появлении прибыли, что возможно, в свою очередь, при любых способах начисления премии.

Сообразно с этим является рациональным досрочное исполнение держателем американского пута (Put), что вытекает из предшествующих рассуждений, подтверждающих, что вероятность эффективного досрочного исполнения этой разновидности опционов в любой момент времени превышает 0.

Следует отметить, что применительно к американскому опциону (что выводится из рассуждений) нарушается постулат гомоморфизма (подобия, пропорциональности) колла (Call) и пута (Put), вытекающих из их традиционных определений.

Для американского опциона на рынке, свободном от арбитража, при использовании приемов отметки по рынку вместе с тем действует (кроме момента окончания опциона) правило связи со сроком исполнения, ослабляющее следствие показанных зависимостей (8.15) - (8.16). Оно формулируется в таких выражениях: если остаток времени до окончания данного американского опциона (Call, Put) T1 меньше остатка времени до окончания иного американского опциона (Call, Put) T2 (Т1 < T2), то стоимость опциона при Т2 не может быть меньше стоимости опциона с оставшимся временем до окончания опционов Т1. Это правило дополняет приведенные ранее зависимости от цены исполнения (8.11) - (8.14).

Отличия в решениях для опционов в различных разновидностях и вариантах становятся источником потери равновесия, противоречий, с неизбежностью требующих своего разрешения в новых инновациях, что вполне наглядно выражено, в частности, в экзотических опционах.

Частный, но на протяжении десятилетий центральный вопрос в ценообразовании опционов на акции - влияние дивидендов. Если участники рынка полагают необходимым учитывать дивиденд в оценках акции, то этот выплачиваемый доход по акции соответственно

уменьшает внутреннюю стоимость опциона колл (Call) и увеличивает внутреннюю стоимость опциона пут (Put). Различаются также (при базисе - акция) оценки для европейского и американского опционов. Для европейского опциона на акции можно отметить ряд следующих зависимостей.

При надежной выплате известной суммы:

С ? S-(Er-T -Dr -td); (8.17)

P ?Dr -td +(Er -T - S), (8.18)

где D - сумма выплачиваемого дивиденда в период действия опциона по данной акции;

td - момент выплаты дивиденда, td ? T.

При неопределенной сумме дивидендов, которые будут обязательно выплачены:

C?S - (Er -T - Dmaxr-td); (8.19)

P ? Dminr-td + Er-T - S, (8.20)

где Dmax - максимально возможная сумма подлежащих выплате дивидендов;

Dmin - минимально возможная сумма подлежащих выплате дивидендов.

При нескольких последовательных платежах дивидендов во время срока опциона расчет по формулам (8.17) - (8.20) производится для каждого из значений td при соответствующих сроках исполнения либо суммируются частные результаты, если опцион исполняется в срок окончания опциона:

C?S - (Er-T - Dmaxact), (8.21)

P ? Dminact + Er-T - S, (8.22)

где Dmaxactи Dminact - суммы максимальных и минимальных ожидаемых дивидендов к моменту окончания опциона.

Принятое правило расчета цен опционов, ведущее к исключению цены базиса и прибавлению максимальной суммы дивиденда (в колл) и к увеличению на минимальную сумму дивиденда стоимости опциона (в пут) при соблюдении исходных неравенств отвечает стремлению для теоретических построений в европейском опционе сохранить ситуацию, свободную от арбитража.

Американский опцион по акции нуждается в более сложных решениях, вытекающих из права раннего исполнения1.

Если на протяжении срока опциона по акции, находящейся в его основании, не выплачивается дивиденд, то досрочное исполнение американского опциона колл (Call) теоретически не ведет к положительным результатам. Согласно анализу P. Мертона акция без дивиденда приводит теоретическую стоимость опциона на покупку, при его раннем исполнении, к 0.

Если на протяжении времени, оставшегося до исполнения опциона колл (Call), к каждому данному моменту этого срока сумма начисленных и выплачиваемых дивидендов будет меньше, чем сумма процентов, начисленных на цену исполнения за данное время (Er-T - E),то такой опцион не следует исполнять досрочно и нужно его сохранять до момента окончания. Принято, что данное правило не имеет обратного выражения.

Исполнение опциона колл (Call), основанного на акции, не в момент его окончания, а досрочно, как общее правило, приносит доход непосредственно перед экс-дивидендным сроком по данной акции.

Соответственно удачным является американский опцион колл(Call) с относительно низкой ценой исполнения или коротким сроком до исполнения.

Если на протяжении времени, оставшегося до исполнения американского опциона пут (Put), в каждый данный момент этого срока сумма предполагаемых к начислению дивидендов больше суммы процентов, начисленных на цену исполнения, то такой опцион не следует исполнять досрочно и нужно сохранять до момента его окончания. Принято, что это правило не имеет обратного выражения.

Опцион пут (Put) на акции не следует исполнять непосредственно перед наступлением экс-дивидендного срока данной акции (зеркально к опциону Call).

Удачным является и американский опцион пут (Put) с относительно высокой ценой исполнения или длинным сроком до исполнения.

Для Call-опциона и в особенности для Put-опциона по акциям нахождение оптимальных сроков исполнения американского опциона нуждается в использовании численных методов, выявляющих прогнозные значения переменных на основе имитации их поведения (метод Монте-Карло) либо итерационных расчетов.

В ценообразовании с учетом дивидендов получены дополнительные свидетельства асимметрии в различных разновидностях и вариантах опционов, ведущих к расширению возможностей повседневного использования опционов и развития механизмов их функционирования.

Как отмечалось ранее, перемена в уравнениях означает появление неэквивалентности, неравного стоимостного обмена, ведет к арбитражу и спекуляции. Разнообразные ситуации неэквивалентного обмена показаны в приложении 4.

В связи с этим обратим внимание, что в научных дискуссиях появляются рассуждения о мировой квазиренте, в том числе в варианте финансово-кредитной и денежной, являющейся "дополнительным источником сверхдоходов для мировых финансовых и биржевых

центров, экспортеров капитала на наиболее выгодных условиях, игроков на мировых фондовых рынках, стран, валюта которых выполняет функцию мировых денег"1.

1 См.: Сох, John C./Rubinstein, Mark. Options Markets. Englewood Cliffs. - New Jersey, 1985 и др.

2 Может быть истолкован и как парность, и как удваивание (удвоение) вследствие возникающих возможностей арбитража.

1 См.: Dr. Schafer Klaus. Finanztermingeschafte und Optionspreisteorie 3, vollstandig uberarbeitete Auflage. Ludwig-Maximilians-Universitat Munchen. - Munchen, 1996. - S. 137-138.

1 См.: Меrton R. С. Theory of Rational Option Pricing// Bell Journal of Economics and Management Science. - 1976. - Vol. 3. - P. 144; Cox, John C./Rubinstein, Mark. Options Markets. Englewood cliffs. - New Jersey, 1985. - P. 142, 143, 147-150, 250; Dr. Schafer Klaus, Finanztermingeschafhe und Optionspresteoric 3, vollstandig uberarbeitete Auflage. - S. 126-130.

1 Яковец Ю.В. Россия в системе формирования и распределения мировой ренты и квазиренты // Перспективы развития российской экономики и ее место в глобальном экономическом пространстве: Материалы к VIII кондратьевским чтениям. - M., 2000. - С. 13-14.

3. Формальные модели ценообразования и алгоритмы их реализации

Перейдем, основываясь на изложенном ранее, непосредственно к формальным моделям и алгоритмам ценообразования на опционы.

Цена опциона имеет ту же единицу измерения, что и цена (стоимость) базисной ценности. Затраты на приобретение опционов (цена их приобретения) включают премию и трансакционные издержки. На биржевом рынке опционы выторговывают по ценам приобретения. Соответственно при создании моделей требуется ответить на вопрос об учете в теоретических построениях дополнительных расходов по сделке.

В числе центральных факторов, определяющих цену опциона, значатся:

цена базисной ценности (текущая и исполнения);

процентные (краткосрочные) ставки;

колебания (изменчивость) цены базисной ценности;

время (остаток времени) до исполнения;

соотношение спроса-предложения;

тенденции (ситуации), формирующиеся в ходе биржевых торгов.

Признано, что трудно выяснить стоимость опциона, используя стандартные методы дисконтирования. Лучше, если будет найден эквивалент цены опциона при сопоставлении денежных затрат на текущее приобретение базисной ценности с суммарными затратами собственно на опционы и получение денежного займа на недостающие средства. Чистые затраты (текущая цена опциона за вычетом расходов на займ) в общем виде определят цену опциона. Как было показано ранее [равенство (8.1)], внутренняя стоимость опциона (при эквивалентном обмене) не может превышать стоимость базиса. Если в финансировании покупки базиса участвует при опционе займ (правильно - скрытый займ), то, следовательно, стоимость (внутренняя) опциона соответствует разнице между текущей ценой базиса и приведенной стоимостью цены исполнения по опциону. Это еще одно общее соображение относительно моделей цен на опционы.

Изменчивость цен определяется как среднеквадратическое отклонение ежедневных колебаний цен базиса в расчете на год. Как показывает опыт, при незначительном изменении цен базиса (ориентировочно на 1-2%) контракт имеет меньшую ценность, по сравнению с опционами, связанными с переменой цен базиса на многие проценты. Если текущая цена базиса падает ниже цены исполнения, покупатель

не должен исполнять опцион, он потеряет инвестированные деньги вне зависимости от того, как низко упала текущая цена относительно цены исполнения. Если текущая цена базиса оказывается выше цены исполнения, то успех для покупателя опциона будет тем больше, чем выше эта пропорция (текущей цены и цены исполнения). Следовательно, держатель (покупатель) опциона при увеличении изменчивости цены при неудаче дополнительно ничего не теряет, а при удаче, очевидно, выигрывает.

Отсюда вытекает, что польза и стоимость опциона растут с повышением произведения показателя дисперсии цены базиса и длительности периода до истечения срока опциона (или произведения дисперсии на время).

Кроме того, считается, чем выше рыночная ставка процента и продолжительнее оставшийся срок до исполнения, тем дороже скрытый займ.

Отсюда следует, что стоимость опциона должна возрастать с ростом произведения процентной ставки на время, оставшееся до исполнения опциона.

Если допустить, что инвесторы безразличны к риску, то в виде такой ставки будет выступать безрисковая процентная ставка. Сообразно с этим покупатель и продавец теоретически находятся в равном положении по вероятности получения дохода, свободного от риска.

При принятии для расчета стоимости опционов безрисковой процентной ставки биржа должна использовать различные варианты платежей (маржи) для возмещения рисков.

О том, как влияют факторы отдельно на стоимость колла и пута, известно следующее: чем выше цена исполнения, тем ниже биржевая цена (курс) самого контракта колл и тем выше курс контракта пут; чем длиннее остаточный период опциона (время до исполнения), тем выше курс опциона; чем выше колебания кассового курса базиса, тем выше курс опциона; при этом с ростом ссудного процента курс колла повышается, а курс пута снижается.

Нижняя граница премии (цены) по опциону равна внутренней стоимости (Intrinsic Value), или доходу покупателя (держателя) опциона, который может быть получен при немедленной реализации контракта, т.е. разнице между текущей и исполнительной ценами базисного актива.

Внутренняя стоимость позволяет распределить контракты на группы: в деньгах (in-the-money - ITM), при деньгах, по номиналу - без внутренней стоимости (at the money - ATM), без денег, сверх денег (out-of the money - OTM). Представим следующие ситуации для покупателя:

Опцион	Цена исполнения
	ниже текущей цены базиса	равна текущей цене базиса	выше текущей цены базиса
Колл (Call)	в деньгах	при деньгах	без денег
Пут (Put)	без денег	при деньгах	в деньгах

Значительное место в теории и практике занимает модель Блэк- Шолза (Black-Scholes)1, удовлетворяющая общим и частным принципам опционного ценообразования, приведенным ранее. Подробно исходные положения, структура и формулы этой модели представлены в приложении 5.

Распространенным подходом для выявления алгебраических зависимостей стал расчет цен на опционы с основанием акция (особенно для разновидности Call-опционов), в том числе и в данной модели.

Модель Блэк-Шолза (Black-Scholes) понимается сегодня как аналитическая модель, раскрывающая связи и зависимости факторов стоимости опционов, и сохраняет также значение вычислительной модели для цен опционов с основанием в виде акции (индексов курсов акций).

Эта модель неоднократно подвергалась верификации, расширилось пространство ее применения за счет опционов с иными основаниями, появились модификации для разных оснований. Привлекательность модели усиливается специально разработанными на ее базе таблицами стоимости опционов и коэффициентов хеджирования при их применении (представлены соответственно в приложениях 6 и 7).

Зависимости, выявленные моделью Блэк-Шолза (Black-Scholes) в связи с учтенными факторами, показаны (отдельно для каждого фактора) на рис. 8.1-8.8. На них демонстрируются тенденции в переменах стоимости опционов колл (Call) и пут (Put) при последовательных переменах величины каждого из факторов.

Рис. 8.1. Зависимость цены опциона колл (Call) от цены базиса

Рис. 8.2. Зависимость цены опциона колл (Call) от времени до его исполнения

Рис. 8.3. Зависимость цены опциона (Call) от колебания (изменчивости) цен базиса

Рис. 8.4. Зависимость цены опциона колл (Call) от размера процентной ставки

Рис. 8.5. Зависимость цены опциона пут (Put) от цены базиса

Рис. 8.6. Зависимость цены опциона пут (Put) от времени до его исполнения

Рис. 8.7. Зависимость цены опциона пут (Put) от колебания (изменчивости) цен базиса

Рис. 8.8. Зависимость цены опциона пут (Put) от размера процентной ставки

В 1983 г. появилась модель цены европейского валютного опциона, разработанная Гарманом M. (Garman M.) и Колхагеном С. (Kohlhagen S.), основанная на классической модели Блэк-Шолза (Black-Scholes) (приложение 8). В алгебраической формуле и алгоритме расчета теоретической цены валютного опциона найдено удачное решение учета в стоимости опциона различий в доходности денежных вкладов на внутренних рынках сопоставляемых валют, что позволило модели Гармана-Колхагена (Garman-Kohlhagen) стать распространенным биржевым способом определения цен.

Модель Гармана-Колхагена (Garman-Kohlhagen) решает задачу для европейского опциона, для оценки американского опциона используется данная модель вместе с дополнительными расчетами (в электронном режиме), фиксирующими отклонения от нее, связанные с особенностями этого варианта опционов.

Модель Блэк-Шолза (Black-Scholes) также явилась исходной для разработки особенных формулы и алгоритма определения стоимости опциона с базисом в виде фьючерса, исключая фьючерсы, базирующиеся на экспертном суждении (приложение 9). В этом варианте расчета дисконтированию подвергается не только стоимость фьючерса при исполнении опциона, но и текущий курс фьючерса для принятого момента времени. Этот подход оказался полезным, поскольку (об этом упоминалось ранее и будет показано в дальнейшем) цена фьючерса определяется наращением доходов.

Перемены в биржевой торговле, в частности расширение режима отметки по рынку и применения правил предстоящей премии (Futures Style Premium), создали предпосылки для появления и освоения в опционной торговле новой модели и нового алгоритма расчета теоретической цены - биномиальной модели определения цены опционов (приложение 10), предъявленной в 1979 г. в соавторстве Д. Кокса, С. Росса, M. Рубинштейна (J. Сох, S. Ross, M. Rubinstein)1. B приложении также показано развитие этого подхода в образе триномиальной модели.

Если модель Блэк-Шолза (Black-Scholes) основывается на математическом постулате стохастической аппроксимации, то модель Кокса-Росса-Рубинштейна (Сох-Ross-Rubinstein) исходит из постулата биномиального распределения - распределения суммы случайных величин, каждая из которых принимает одно из двух значений с противоположными вероятностями. Биномиальная модель, так же как и классическая модель, выявляет зависимости цен опционов от одних и тех же факторов - цены базиса, процентной ставки, колебаний цен базиса; однако алгоритмы учета влияния этих факторов, содержание расчетов и вычислительные приемы качественно различаются (см. приложения 5 и 10). В биномиальной модели больше объем вычислений, что в современных условиях не является ограничением. Ее применение широко распространено для сложных опционов (в частности, с базисом фьючерс), по которым также используется режим отметки по рынку. В то же время известно, что результаты расчетов по обеим моделям приблизительно совпадают. Последнее замечание не может служить основанием для отказа от биномиальной (триномиальной) модели (или для ограничений в ее применении), поскольку высокодинамичный рынок производных нуждается в возможно точных вычислениях цен (что облегчается современными электронными программами).

Биномиальная модель и ее продолжение в триномиальной модели вместе с моделью Блэк-Шолза (Black-Scholes), включая ее модификации, создали теоретико-вычислительный фундамент для выяснения возможных "справедливых" цен опционов, воздействия на них через осмысленное влияние на факторы цен (как порознь, так и в различных сочетаниях), предвидения тенденций и уровня опционных цен.

1 Предложена для цен биржевых опционов: Black, Fischer / Scholes, Myron. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy. - 1973. - Vol. 81. - P. 637-654; Merton, Robert C. Theory of Ration Option Pricing // Bell Journal of Economices and Management Science. - 1973. - Vol. 4. - P. 141-183.

1 В литературе и на практике для обозначения этой модели в ряде случаев используется словосочетание "модель опционного ценообразования" (Option Pricing Model - OPM).

4. Аналитические показатели (измерители)

Вместе с моделями для расширения инструментария участников рынков введен и освоен ряд аналитических показателей (измерителей), предназначенных для оценки рисков в сделках с опционами, оценки позиции и оказания помощи в принятии решений участниками торговли. Эти измерители группируются под различными названиями: "буквы греческого алфавита", "значимые показатели". Нужда в этих критериях вызвана асимметричным распределением рисков, профилем рисков, обусловленных характером самих опционов. В их ряд включены показатели дельта, ламбда, гамма, тета, вега, ро. Ими измеряется чувствительность (нем. Sensitivitat, Sensitivity), эластичность цен опционов от цены базиса, цены исполнения по базису, изменчивости цен базиса, длительности (срока) опциона, процентных ставок. Среди перечисленных и учитываемых этими измерителями факторов единственным постоянным для данного контракта (в пределах только неэкзотических опционов) является цена исполнения.

Совокупность критериев может служить для корректировки теоретических цен опционов, рассчитанных по тем или иным моделям, не замещая их. Проверка проводится по показателям, рассчитанным по историческим данным, тем самым вносятся поправки, выявленные по информации прошлого реального рынка. В этом просматриваются и ограничения на применение букв греческого алфавита: требуется предположение о приемлемости прошлых зависимостей для настоящего и будущего и соответственно появляется дополнительный (методический) риск.

Однако теоретики и практики рынков производных нашли основное применение этих показателей, отражающих риски, в оценке позиций и принятии в связи с этой оценкой решений. Такова сложившаяся традиция.

Включение букв греческого алфавита в раздел стоимостей опционов также сложилось исторически, хотя главным образом найденные зависимости используются для формирования позиций участников и стратегий их поведения. При использовании показателей дельта и гамма возможно формирование дельта-нейтрального и гамма-нейтрального портфелей.

Данные показатели неоднородны: те же дельта-фактор и гамма-фактор могут быть теоретически обоснованно определены для настоящего и будущего по моделям Black-Scholes, Cox-Ross- Rubinstein; для других критериев подобные решения не разработаны и не предложены.

Напомним, что в модели Black-Scholes элемент N(d1) рассматривается и как дельта-фактор, а в биномиальной модели производится расчет коэффициента хеджирования, по величине обратного значению N(d1).

Дельта (дельта-фактор, дельта опциона, Д) - показывает зависимость изменений цены опциона от изменений курса (цен) основания (базиса) и тем самым выявляет чувствительность (эластичность) цены опциона от курса (цен) базиса1:

Д =	Абсолютная величина изменений (прироста, снижения) цены опциона (Call или Put)
	Абсолютная величина изменений (прироста, снижения) курса (цены) основания

Расчет производится по данным одного и того же прошлого периода (периодов), что справедливо и для других показателей.

Связь между ценой опциона (Call, Put) и ценой базиса является криволинейной (см. главу 5). Для одного и того же базиса у опциона колл (Call) - положительная Д и у опциона пут (Put) - отрицательная Д. Дельта опциона Call принимает значения от 0 до 1 (Д > O); дельта опциона Put находится в границах от -1 до 0 (Д < О), или соответственно

Дс =	dC
	dS

= N(d1)>0;

ДP =	dP
	dS

= N(d1) - 1 = -N(-d1)<0,

где ДC, ДP - значения дельта-фактора соответственно для колла (Call) и пута (Put); dC, dS, dP - приращение значений С, S, P.

Величина показателя тем больше (при прочих равных условиях), чем значительнее ситуация в деньгах. Величина дельта-фактора для многих опционов с одним и тем же базисом аддитивна. Агрегированный показатель Д многих позиций вычисляется как средневзвешенная (арифметическая) величина отдельных значений.

Ламбда (Л), встречается обозначение этого показателя греческой буквой "омега" - Щ1 - показатель процентного изменения цены опциона при изменении цены (курса) базиса на 1%. Соответствует классическому представлению о показателе эластичности по цене товарного рынка и толкуется одинаково.

Показатель для колла (Call) - положительный и для пута (Put) - отрицательный. В случае, если Л ? 1 (опцион эластичен), то этот показатель свидетельствует при изменении цены базиса о повышенном риске для участника опционной торговли по сравнению с риском для участника реального рынка.

Значение Л для опциона Call плавно (по гиперболе) возрастает для ситуаций без денег и снижается в ситуации в деньгах; для Put - плавно (по параболе) возрастает (стремится к нулю) в ситуации в деньгах и снижается в ситуации без денег.

Согласно модели Сох - Rubinstein2:

Л(ЩC) =	SДC
	C

=

SN(d1)
C

и

ЛP = (ЩP) =	SДP
	P

=

S[N(d1) - 1]
P



Гамма (Г) - показывает зависимость изменения Д от изменений курса (цен) основания (базиса) и тем самым выявляет чувствительность (эластичность) величины Д от курса (цен) базиса1:

Г =	Абсолютная величина изменений (прироста, снижения) дельта-фактора
	Абсолютная величина изменений (прироста, снижения) курса (цены) основания

Сообразно с этим (по формуле Dubofsky2)

где N'(d1) - распределение по N(d1).

Значение показателя положительное. При нарастании абсолютной разницы между текущей ценой базиса и ценой исполнения стремится к нулю. Наивысшая величина Г соответствует равенству

Критерий Г - единственный среди критериев, обозначенных буквами греческого алфавита, непосредственно не связанный с ценой опциона.

Тета (И) - показывает, сколько (как много) временной стоимости теряет опцион в каждый день, оставшийся до окончания опциона.

Соответственно модели Сох - Rubinstein3:

Показатель И данного опциона сохраняет близкое к постоянной величине значение приблизительно на протяжении 2/3 всего срока

...