Производные финансовые и товарные инструменты

опциона и повышается к концу этого срока. Значение показателя у опционов с краткими сроками исполнения в ситуации "при деньгах" близко к максимуму.

Вега (V - латинский алфавит)1 - показывает изменение цены опциона в зависимости от изменения колебаний цен основания на 1%:

В знаменателе указывается абсолютное значение изменений цен при перемене колебаний на 1%. По модели Сох - Rubinstein2:

"Вега" всегда положительная, для Put и Call одинакова. Этот показатель особенно значим для длительных опционов (в отличие от критерия И).

Po (с) - показывает зависимость цены опциона от изменений безрисковой процентной ставки.

Соответственно3:

сC =	dC	= TEr-(T+1)N(d2)<0,
	dr



сP =	dP	= TEr-(T+1)[N(d2) - 1]<0,
	dr

Этот показатель особенно ценен для опционов с базисом в виде курса валют (учитываются две процентные ставки).

В табл. 8.3-8.5 показано частное влияние на основные из представленных измерителей ведущих рыночных факторов - уровня цен и колеблемости цен базиса, а также срока до исполнения опциона. Участнику торговли целесообразно при принятии решений дополнительно к известным ему рассчитанным значениям показателей-критериев также представлять себе возможные тенденции их движения в зависимости от определяющих факторов. хеджирование ипцион рынок правовой

Таблица 8.3

Зависимость движения показателей от движения текущей цены базиса

Ситуация и разновидность опциона	Направление изменения показателя
	Д	Г	V	И
В деньгах	Колл (Call)	По мере усиления ситуации стремится к 1	По мере усиления ситуации стремится к 0	То же, что Г	Монотонно сохраняется на уровне ниже максимума
	Пут (Put)	По мере усиления ситуации стремится к 0			Стремится к отрицательному максимуму
При деньгах	Колл (Call)	Обычная точка на кривой Д	Близок к максимуму	То же, что Г	Близок к максимуму
	Пут (Put)
Без денег	Колл (Call)	По мере усиления ситуации стремится к 0	По мере усиления ситуации стремится к 0	То же, что Г	Стремится к 0
	Пут (Put)	По мере усиления ситуации стремится к(-)1			Монотонно снижается от положительного максимума к 0



Таблица 8.4

Зависимость движения показателей от перемен в колеблемости цен базиса

Ситуация и разновидность опциона	Направление изменения показателя
	Д	Г	И	V
В деньгах	Колл (Call)	При минимальных колебаниях стремится к 1, затем снижается и сохраняется приблизительно на одном уровне	При отсутствии колебаний находится на точке 0; затем при нарастании колеблемости показатель значительно повышается, но с усилением колебаний снижается до минимальных значений, которые сохраняются и при последующем росте колеблемости	С нарастанием колебаний, как правило, линейно возрастают значения показателя, в величинах, близких для всех трех ситуаций, при этом показатели "при деньгах" находятся посередине; "в деньгах" - выше (ниже); "без денег" - ниже (выше) линии "при деньгах"	При отсутствии колебаний находится на точке 0; затем при нарастании колебаний показатель значительно повышается, и с усилением колебаний эти максимальные значения сохраняются
	Пут (Put)	При минимальных колебаниях стремится к (-)1, затем снижается и сохраняется приблизительно на одном уровне
При деньгах	Колл (Call)	Ситуация в деньгах, но значение показателя находится ниже, чем при ситуации в деньгах
	Пут (Put)
Без денег	Колл (Call)	При минимальных колебаниях стремится к 0, затем повышается и меняется параллельно значениям ситуации при деньгах, но ниже этих значений
	Пут (Put)	При минимальных колебаниях стремится к 0, затем снижется и меняется параллельно значениям ситуации при деньгах, но выше этих значений



Таблица 8.5

Зависимость движения показателей от движения срока опциона

Ситуация и разновидность опциона	Направление изменения показателя
	Д	Г	И	V
В деньгах	Колл (Call)	В начале срока стремится к 1, затем снижается и сохраняется приблизительно на одном уровне	В начале срока стремится к 0, затем поднимается до уровня при деньгах и следует ему	В начале срока несколько больше 0, затем сближается со значением при деньгах и следует ему до конца срока срока	Влияние однонаправленное и значительное, с максимальным значением в конце срока опциона
	Пут (Put)	В начале срока стремится к (-)1, затем повышается и сохраняется приблизительно на одном уровне
При деньгах	Колл (Call)	В начале срока занимает приблизительно среднее значение, затем несколько повышается и до конца срока монотонно увеличивается, немного превышая начальный уровень	Влияние минимальное	Значение показателя стремится к максимуму в начале срока, затем резко снижается и остается почти равным до окончания срока
	Пут (Put)
Без денег	Колл (Call)	В начале срока стремится к 0, затем сближается с показателем при деньгах и следует ему - параллельно до конца срока	В начале срока стремится к 0, затем поднимается до уровня при деньгах и следует ему	Почти повторяется вариант в деньгах
	Пут (Put)	В начале срока стремится к 0, затем следует вариант Call в ситуации без денег

Показатель альфа (б, альфа-опцион), измеряющий чувствительность стоимости опциона к цене исполнения1:

бC =	dC	= -r-TN(d2),
	dE

бP =	dP	= r-T[T -N(d2)].
	dE

Для случаев, когда цена исполнения в опционе неизменна в течение всего срока, этот показатель малопригоден для выбора позиции. Для экзотических опционов использование б целесообразно.

1 Математически это первая производная в дифференциальном исчислении между ценами опциона и основания.

1 Вместе с тем имеет место и самостоятельное определение показателя Щ - "измеряет степень изменения коэффициента дельта-опциона относительно времени". Производные финансовые инструменты (Словарь. - M.: Инфра-М, 2001).

2 Сох, John C./Rubinstein, Mark. Options Markets. - P. 224.

1 Математически это вторая производная в дифференциальном исчислении между ценами опциона и основания.

2 См.: Dubofsky, David A. Options and Financial Futures. Valuation and Uses. - N. Y.et al. -P.221.

3 См.: Cox, John C. /Rubinstein, Mark. Options Markets. - P. 221.

1 Такова сложившаяся традиция: этот показатель числится среди показателей, обозначенных буквами греческого алфавита, хотя V в нем нет. Основывается традиция на совпадении заглавных согласных в словах Volatilitдt и Vega. Подчас встречаются обозначения этого показателя как Е (эпсилон), У (сигма), З (эта), Л (ламбда), К (каппа) без изменения его содержания.

2 См.: Сох, John C. /Rubinstein, Mark. Options Markets. - P. 221.

3 См.: Hull, John. Options, Futures and other Derivative Securities. Ehglewood Cliffs. -New Jersey, 1993. - P. 317.

4 Опубликовано вместе с моделью: Black, Fischer I Scholes, Myron. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. - P. 644.

1 См.: Dr. Schdfer Klaus. Finanztermingeschufte und Optionspreisrcorie. - S. 198.

5. Стоимости и цены экзотических опционов

Для работы на рынке с экзотическими опционами используются предложенные в п. 8.2.3-8.2.4 модели, формулы, показатели. Вместе с тем эти подходы нуждаются для экзотических опционов в изменениях применительно к переменам в их содержании, механизмах осуществления.

Необходимые классификации для экзотических опционов даны в главе 6. Сообразно с ними покажем трансформации в определении их стоимости.

Начнем с того (см. приложение 2), что значительная часть экзотических опционов относится к опционам, зависимым от дороги (пути), где цены, участвующие в определении опционной стоимости, детерминируются избранным способом их определения во времени. Это видно на различиях в схемах биномиальной модели для стандартных и экзотических опционов (см. главу 5), на которых приведены пути выхода на конечную (учитываемую в расчетах) цену. Конечная стоимость на этом пути выявляется по-разному (разными способами). В зависимости от пути и способов группируются экзотические опционы, в том числе для задач ценообразования.

Учтем также синтетический характер базиса экзотических опционов.

Напомним, что для этих инструментов во многих случаях цены базиса (текущая и исполнения) определяются нестандартно, по особому алгоритму, связанному с усреднением текущих цен и цен исполнения основания.

1. Бермудские опционы (Bermuda-Option)

Эти опционы отличаются тем, что меняют правила европейского и американского опционов, разрешая покупателю выполнить опцион в большее число твердых дат на протяжении срока существования данного опциона. Соответственно расчеты стоимости представляют собой последовательные итерации для последовательных твердых сроков исполнения по стандартным формулам (см. главу 8 п. 8.2.2 и 8.2.3).

2. Азиатские опционы (Average Rate)

В этих опционах внутренняя стоимость определяется по среднему курсу базиса, а не по дискретному значению цены в установленный срок исполнения (европейский опцион) или в любой момент до исполнения (американский опцион). Средний курс (цена) определяется по-разному для различных вариантов азиатских опционов:

к расчету принимаются значения текущих цен базиса за неделю, к определенным датам месяца, за квартал; эти цены фиксируются и по ним рассчитывается средний курс;

средняя цена рассчитывается для всего срока данного опциона или какой-то части этого срока по последовательно зафиксированным текущим кассовым ценам базиса;

для расчета используются формулы арифметической средней или геометрической средней (напомним, что когда все взятые в расчет числа равны, то среднее арифметическое и среднее геометрическое равны между собой).

Азиатский опцион обеспечивает сохранение внутренней стоимости, имевшей место в течение времени до исполнения опциона, в случаях, если к моменту исполнения опцион попадает в ситуацию без денег или при деньгах. Азиатский опцион приводит и к сглаживанию (элиминированию) колебаний цен во время опционного периода. Средняя цена в нем линейно меняется с изменяющимися колебаниями цен. В то же время азиатский опцион проигрывает европейскому при устойчивом тренде опциона от ситуации без денег к ситуации в деньгах.

Перемена цены базиса ведет к переменам в расчете стоимости опциона и его показателей, что определяет и решение участника.

3. Средний опцион для цены исполнения (Average Strike-option)

Подход к ценообразованию этого опциона похож на подход к ценообразованию азиатского опциона, но с существенными изменениями. В этом опционе средний курс текущих цен базиса становится ценой исполнения в опционе. Соответственно внутренняя стоимость в момент исполнения появляется как разница между дискретной текущей ценой базиса и его средней (расчетной) ценой (за принятый промежуток времени).

Схемы выявления цен опционов (Average Rate и Average Strike), по сравнению со схемами выявления цен стандартных опционов, даны в табл. 8.6.

Таблица 8.6

Сопоставление схем расчета цен опционов

Разновидность опциона	Схема расчета цен
Стандартный европейский	max (0,S - E)
Азиатский опцион (Average Rate)	max (0,SA - E)
Средний опцион (Average Strike)	max (0,S - SA)
Примечание. SA - средняя цена базиса за принятый период времени. Временная стоимость исчезает к моменту исполнения опциона.

4. Обратный опцион (Look Back-Option)

В этом опционе перемена связана так же, как в среднем опционе (Average Strike), с ценой исполнения. Расчет же изменен. Цена исполнения определяется для опциона колл (Call) как низшее значение цены базиса за время до исполнения опциона и для опциона пут (Put) как высшее значение цены базиса за время до исполнения опциона.

Вариантом расчета этого опциона является расчет обратного по текущей цене опциона (Price Look Back), в котором используется твердая цена исполнения, но внутренняя стоимость зависит не от текущего курса момента исполнения, а вычисляется в зависимости от низшего (для Call) и высшего (для Put) значений цены базиса за время до исполнения. Другим вариантом выступает расчет обратного по цене исполнения опциона (Strike Look Back), в котором цена исполнения определяется в виде средней и сопоставляется с низшим и высшим значениями цены базиса.

Временная стоимость исчезает к моменту исполнения опциона. Особенностью ценообразования обратного опциона является его повышенная стоимость. Повышение цены, по сравнению с ценой стандартного опциона, появляется (в результате соглашения участников), поскольку усиливается защита сделок при применении состоявшихся низшего и высшего курсов базиса. При одинаковых прочих условиях этот опцион может быть почти в 2 раза дороже стандартного опциона.

Цена Look Back-Option возрастает при усилении колебаний цен базиса.

Характерно также, что во многих случаях опцион исполняется раньше установленного срока.

5. Замкнутый опцион (Cliquet, Ratchet-Option), опцион с условием (Delay-Option)

Особенности этих экзотических опционов (так же, как и в предыдущих вариантах) - в переменах в цене исполнения. Однако это не средняя цена, а текущая цена базиса, выявленная при последней проверке (замере). В замкнутом опционе (Cliquet-Option или Ratchet-Option)- это цена твердо определенного момента времени, обычно выступающего в виде ряда последовательных временных интервалов. Опцион предполагает последовательное установление (расчетной) внутренней стоимости для защиты стоимости опциона от внезапных перемен на рынках. Опцион с условием (Delay-Option) - это опцион, при котором цена исполнения в начале срока фиксируется, подлежит пересмотру в определенные периоды и для каждого из этих периодов фиксируется. Тем не менее с самого начала определяются показатели (параметры) колебаний цен и рыночного процента, соответственно цена исполнения не меняется при сохранении колеблемости цен базиса и рыночного процента на уровне, принятом в начале срока опциона.

Перечисленные в этом разделе опционы в силу предоставляемых ими преимуществ для покупателя дороже стандартных опционов.

6. Барьерный (ограждающий) опцион (Barrier-Option)

Существенная характеристика этого варианта опционов сводится к тому, что сам по себе такой опцион начинает "жизнь" только при достижении определенного уровня (барьера) стоимости базиса (Knock- In), или его "жизнь" прекращается с появлением такого барьера (Knock-Out). Различаются между собой они также в зависимости от того, находится ли данный барьер выше (обозначение Up) или ниже (обозначение Down) текущей цены базиса. Отдельно существуют барьерные опционы (Barrier-Option) для разновидностей колла (Call) и пута (Put). Классификация их приведена в табл. 8.7.

Таблица 8.7

Классификация "барьерных опционов" (Barrier-Option)

Уровень (исходный барьер) стоимости базиса (Knock-In), при котором опцион начинает осуществляться, достигается	Уровень (нокаутирующий барьер) стоимости базиса (Knock-Out), при котором опцион автоматически прекращается, возникает
В колле при движении цены вверх (Up-and-In Call)	В колле при движении цены вверх (Up-and-Out Call)
В путе при движении цены вверх (Up-and-In Put)	В путе при движении цены вверх (Up-and-Out Put)
В колле при движении цены вниз (Down-and-In Call)	В колле при движении цены вниз (Down-and-Out Call)
В путе при движении цены вниз (Down-and-In Put)	В путе при движении цены вниз (Down-and-Out Put)

Во всех этих опционах барьер может быть из перечня состоявшихся текущих цен базиса за время опциона, или из набора некоторого их числа, или из определенного курса для точно обозначенного события.

Возможны различные способы определения цены (премии) в опционе. Распространены скидки, представляющие собой некоторую фиксированную сумму денег, которую покупатель получает в опционе с нокаутом (Knock-Out) при достижении барьера или которая возвращается ему в опционе с исходным уровнем (Knock-In) в случае, если барьер не достигнут.

Этим опционам необходимо выдерживать конкуренцию различных стратегий классических опционов.

Среди барьерных опционов покупатель (обычно при биржевом режиме начальной выплаты премии (Traditional Premium) предпочитает опционы с нокаутом (Knock-Out), поскольку для опциона с исходным уровнем барьера (Knock-In) премия начисляется и перечисляется за опцион, который еще не появился (не достигнут барьер) и, возможно, не будет существовать.

Опцион с нокаутом Knock-Out исполняется при выходе рынка к установленному барьеру (Up-and-Out или Down-and-Out).

Собственно цена (скидка) опциона с нокаутирующим барьером (Knock-Out) зависит от отношения размера принятого барьера к цене исполнения и текущей цене базиса, а также от срока исполнения опциона. Опцион с нокаутом (Knock-Out) тем дороже, чем ближе выбранный барьер к текущей цене базиса (т.е. вероятность его исполнения высока) и чем длиннее срок опциона.

Широко используется для защиты портфелей опцион Knock-Out-Put, позволяющий экономить покупателю на выплачиваемых премиях (за счет скидки). В частности, это замечание касается опциона Up-and-Out Put, обеспечивающего хеджирование с меньшим расходованием денег по сравнению со стандартным опционом. Для иллюстрации данного положения воспользуемся примером, известным в литературе1.

Исходные данные:

Покупка опциона	Срок	Цена исполнения	Цена опциона в % от стоимости (эквивалента) портфеля
Стандартного европейского пута (Put)	9 мес	При деньгах	7,84
Европейского пута (Put) с нокаутирующим барьером при движении цены вверх (Up-and-Out Put)	9 мес	Барьер = (Knock-Out-Up) 10% сверх текущей цены базиса при деньгах	5,72

Оценка. При покупке опциона Put с барьером Knock-Out-Up экономия на премии составит 27%. Защита базиса экзотическим и стандартным опционами будет одинаковой, если текущая цена базиса, не достигнув прироста на 10%, начнет снижаться. Поднимется текущая цена базиса на 10% и более, опцион с нокаутом (Knock-Out) разрушается (теряет смысл, обесценивается). Сообразно с этими рассуждениями опцион Up-and-Out Put эффективен, если: а) текущая цена базиса падает; б) текущая цена поднимается менее чем на 10%. При преодолении ценой базиса барьера в +10% покупателю понадобится выбирать из ряда возможностей: а) получить доход от прироста цен базиса, реализовав эту ценность; б) сформировать защиту на новом уровне цены; в) оставить позицию неизменной, согласившись с перспективой повышения цен.

7. Опцион-лестница (Ladder-Option), фиксирующий опцион (Strike Reset-Option)

В варианте опцион-лестница (Ladder-Option) цена исполнения меняется в зависимости от принятых уровней колеблемости цен базиса. Если в замкнутом опционе (Cliquet-Option) перемены наступают в определенный момент времени, то в этом варианте - при определенных уровнях изменения текущих цен базиса.

Опцион-лестница состоит из серии барьерных опционов (Barrier-Option). В них фиксируются колебания цен (вместе с рыночным процентом), что позволяет фиксировать доход (внутреннюю стоимость) в опционе.

В варианте фиксирующий опцион (Strike Reset-Option) перемена цены исполнения связана с достижением определенного фиксируемого уровня текущих цен. В этом опционе внутренняя стоимость (в отличие от варианта Ladder-Option) не фиксируется, но здесь добиваются того, чтобы не допустить опционов с характеристикой без денег.

8. Опцион "выкрика" (Shout-Option)

В опционе "выкрика" (Shout-Option) покупатель получает право в любой момент времени осуществить фиксирующий опцион (Strike-Reset-Option). Опцион "выкрика" (Shout-Option), неблагоприятен для продавца, что ведет к его относительной дороговизне и ограниченному применению.

9. Цифровой опцион (Digital-, Binary-, Bet-Option)

Три английских термина означают один и тот же вариант экзотического опциона (пари, сдвоенный). По содержанию это на самом деле пари, выплаты в котором могут составить или 0, или 100%. В данном опционе внутренняя стоимость определяется при заданной цене базиса. Внутренняя стоимость в цифровом опционе (Digital-, Binary-, Bet-Option) - твердо установленная сумма, не меняющаяся с движением цен основания. Покупатель "спорит" на то, что цена базиса выйдет на определенный уровень и ему достанется согласованный доход.

Применительно к этим опционам реализуется по выбору одна из следующих ситуаций: в первой ситуации покупатель получает определенный доход в случае, если текущий курс базиса "выйдет" на заранее заданный уровень (One-Touch-Digital-Option1); во второй - этот доход появляется, если при окончании срока опциона цена базиса окажется (по сравнению с ценой пари по опциону) равной ей или выше нее для Call или ниже нее для Put (All-or-Nothing-Digital-Option2). Обычно участники сделок контролируют целесообразность этих опционов показателем гамма (Г), и полезен ли опцион при значительных величинах этого показателя.

10. Опцион с выбором (Chooser-Option)

Этот опцион позволяет покупателю осуществить в более поздний период времени выбор между Call и Put. Покупатель вправе выбирать одну из разновидностей: либо Call, либо Put. Опцион с выбором (Chooser-Option) тем дороже, чем отдаленнее срок, при наступлении которого покупатель должен принять решение (вероятность выбора благоприятного решения возрастает).

11. Опцион, зависящий от обстоятельств (Pay-Later-Option, Contingent-Option)

Для обозначения данного опциона используются два английских термина.

В таком экзотическом опционе покупатель выплачивает согласованную премию только тогда, когда при исполнении опцион оказывается в ситуации в деньгах. Здесь премия перечисляется и тогда, когда в этой ситуации внутренняя стоимость окажется ниже согласованной суммы платежа. В ситуации без денег премия не выплачивается. Опцион рассматривается прежде всего как инструмент спекулятивных сделок, поскольку премия не выплачивается до наступления согласованной ситуации, и соответственно этот опцион также дороже стандартных опционов. Надбавка определяется соглашением.

12. Опцион с платежами по очереди (Installment-Option)

В этом опционе покупатель при покупке перечисляет только часть премии (цены). Перед окончанием каждого такого опциона покупатель решает: перечисляет ли он оставшуюся часть или отказывается от опциона. Соответственно достоинством опциона для покупателя становится возможность распределения во времени расходов на опцион и следствием является более высокая цена такого опциона (надо оплатить процентный доход на невыплаченную вначале, по соглашению сторон, часть премии - цены опциона).

13. Опцион с квадратной степенью (Power-Option)

Известно и иное обозначение опциона: Squared-Option. Он получен в результате математических преобразований в стандартных опционах, позволивших внутреннюю стоимость при окончании срока определить как max [0, (ST - E)2] для колла.

При расчете цены опциона усиливается влияние риска за счет возведения в квадрат внутренней стоимости обычного опциона. При этом у покупателя имеется право выбрать для подобного преобразования числа наиболее благоприятного момента. Опцион привлекает спекулянтов, включая надписателей опционов, начиная с 1994 г.

14. Выпуклый опцион (Convex-Option)

Такой опцион предъявлен в начале 1995 г. В нем внутренняя стоимость при исполнении опциона отражается на графике выпуклой кривой. Опцион приносит больший доход по сравнению с доходом от внутренней стоимости в обычном опционе. В выпуклом опционе стоимость для колла определяется как

Рис. 8.9. Результаты для выпуклого опциона (Convex-Option) и обычного опциона колл (Call) в момент исполнения (заштрихована область дополнительного дохода при выпуклом опционе)

Сопоставление возможных результатов от данного и обычного опционов приведено на рис. 8.9.

15. Интервальный опцион (Range-Option)

Интервальный опцион (Range-Option) называется также Hamster, Bandbreiten Optionsshein (нем.) и др. По соглашению в этом опционе устанавливается определенный интервал (ряд) текущих цен базиса; устанавливается платеж покупателя в расчете на один день срока опциона; если в данный день цена базиса находится в пределах интервала, то покупатель перечисляет установленный платеж, и так до конца срока опциона. Если цена базиса находится вне ряда, то ежедневная плата не перечисляется. Спекулятивные возможности повышаются в случаях, когда цена базиса попеременно выходит за границы интервала и возвращается вновь в этот ряд. Для таких опционов значительны величины показателей дельта Д и гамма Г.

16. Осмотрительный опцион (Look-in-Option)

Такие опционы обозначаются еще Exploding-Option. B этом опционе при достижении определенного барьера перечисляется твердый платеж. Он привлекает покупателя тем, что согласованный размер платежа может оказаться ниже внутренней стоимости. Может использоваться биномиальная модель для определения суммы платежа.

Разработанные участниками рынков производных экзотические опционы, те из них, что классифицируются как зависимые от пути, представляют собой такие решения для этих инструментов, в которых предметом функции производных (см. главу 1), наряду с базисами (основанием), становятся сами опционы, их стоимость и их цены. Эти экзотические опционы сохранили характеристики стандартных опционов, но сместили основной интерес участников к формированию внутренней стоимости опционов так и таким образом, чтобы обеспечить, не преступая пределы, принятые для опционов, более полный учет состояния текущего рынка, его конъюнктуры, его цен.

В особенных расчетах, применяемых в рассмотренных опционах, значительно ослаблена роль стандартных моделей опционного ценообразования (Black-Scholes, Cox-Rubinstein и др.). Дополнили их и частично сменили собственные алгоритмы расчетов, в которых там, где необходимо, участвуют и результаты расчетов по моделям, применяемым в стандартных опционах. Все показатели букв греческого алфавита полноценно используются и в экзотических опционах. Очевидно, что набор экзотических опционов, зависимых от пути, ограничен способностями участников рынка трансформировать сложившиеся и создавать новые варианты инструментов и готовностью рынков к освоению этих вариантов.

17. Сложный опцион (Compound-Option)

Данный опцион не входит в предыдущую квалификационную группу и может характеризоваться как опцион на опцион. Соответственно представлены четыре возможных сложных опциона (Compound-Option): Call на Call, Call на Put, Put на Put, Put на Call. В этом опционе не имеют непосредственного значения прошлые колебания цен основания базиса. Его цена зависит от колеблемости цен опциона-базиса, а эта колеблемость определяется колеблемостью цен основания опциона-базиса, т.е. цена определяется связью между движением цен двух ценностей: опциона-базиса и основания этого базиса. Отсюда повышенная чувствительность сложного опциона к движениям цен.

Содержание сложного опциона (Compound-Option) обеспечивает значимое снижение выплачиваемой премии по сравнению со стандартным опционом по очевидной причине: абсолютная величина стоимости базиса меньше стоимости основания этого базиса-опциона. Цены на него рассчитываются по методам стандартных опционов. Основную заинтересованность в нем проявляют хеджеры и спекулянты.

18. Лучший опцион (Best-of-Option)

Лучший опцион и последующие опционы (разностный, регулирующий количество) относятся к еще одной группе экзотических опционов: опционы в связи с корзиной активов. Вариант Best-of обозначают также Better-of. Он связан с двумя активами-основаниями. Для участников сделки при его исполнении внутренняя стоимость ориентируется на текущую цену того основания, при которой обеспечивается больший доход у покупателя. К учету принимается бомльшая величина внутренних стоимостей из двух опционов с разными основаниями. При этом пара оснований определится соглашениями для данного опциона. Значимое преимущество лучшего опциона (Best-of-Option) по сравнению со стандартными опционами обусловливает их более высокую цену, при этом чем меньше корреляции цен двух выбранных оснований, тем дороже данный опцион.

Лучший опцион (Best-of-Option), связанный более чем с двумя основаниями, обозначается как многоцветный опцион (Rainbow-Option) с тем же механизмом существования.

В свою очередь лучший опцион (Best-of-Option) и многоцветный опцион (Rainbow-Option) подразделяются на опцион-корзину (Basket-Option) и опцион-мену (Exchange-Option).

Первый из них связан с корзиной акций, и возможны два способа расчета цен для него. Если суммарная цена корзины подчинена нормальному логарифмическому распределению, то цена опциона-корзины (Basket-Option) определяется на основе модели Блэк-Шолза (Black-Scholes). Однако колеблемость цен и корреляции цен ценностей, составляющих корзину, могут не совпадать с характеристиками совокупной корзины. Свободен от этого ограничения второй способ расчета цен: подобно Average-Rate-Option в этом расчете используются средние величины, при этом предпочтение отдается расчету средних геометрических значений.

Опцион мена (Exchange-Option) предоставляет участнику торгов возможность заменять одно основание на другое.

19. Разностный опцион (Spread-Option), опцион вне игры (Out-performance-Option)

Разностный опцион (Spread-Option) также связан с двумя основаниями. Внутренняя стоимость определяется соотношением стоимостей этих оснований (чем и отличается от предыдущего опциона). Стоимость базиса равна: курс первого основания минус курс второго основания. Разностный опцион (Spread-Option) представляет собой опцион с базисом в виде разницы цен двух оснований. Или, иначе, основанием является разность будущих стоимостей длинной и короткой позиций.

В опционе вне игры (Out-performance-Option) основанием становится не абсолютная сумма разниц разностного опциона (Spread-Option), а соотношение относительных показателей доходов по двум основаниям.

Выплаты в этом опционе -

max (0, PA - PB),

где PA = доход основания

А =	A1 - A0
	A0

P B = доход основания

В =	B1 - B0
	B0

здесь

A1, B1 - цены основания А и В при исполнении опциона;

A0, B0 - цены основания А и В при приобретении опциона.

Как видно из алгоритма расчета, нет прямой зависимости в опционе вне игры (Out-performance-Option) значений основания от направления перемен в доходности каждого из оснований.

Цены разностного опциона (Spread-Option) и опциона вне игры (Out-performance-Option) зависят от корреляции цен избранных оснований. В том и другом случаях набор оснований и их место в расчетах - по соглашениям сторон.

20. Квантовый опцион (Quanto-Option)

Согласно этому опциону устанавливается твердый обменный курс двух валют при его начале, а премия по опциону исчисляется в какой-то одной из валют. Эти процедуры привязываются к основанию опциона (в частности, при расчете премии принимается иностранная валюта инструмента, лежащего в базисе). Для базиса предусматриваются определенные правила, связанные с динамикой его цены: поднимается она на тот или иной уровень - получает покупатель опциона Call (Put) надбавку (скидку) к обменному курсу.

Создаются опционы для колла (Quanto-Call), для пута (Quanto-Put), а также с барьером (Quanto-Barrier) для колла (Call) и пута (Put). В итоге квантовый опцион (Quanto-Option) сглаживает валютный риск, касающийся чужой валюты, а также пригоден для спекуляции. По своим характеристикам он отчасти "выпадает" из общего ряда экзотических опционов, однако обычно числится среди них.

В приложении 11 даны формулы расчета стоимостей отдельных экзотических опционов.

1 См.: Willnow J. Derivative Finanzinstrumente. - S. 103-106.

1 Термин означает: для цифрового опциона характерно единственное значение цены.

2 Термин означает: в цифровом опционе происходит совпадение цен или незначительное перемещение значения цены вверх-вниз.

8.3 Опционные свидетельства

Для определения стоимости этих производных, основанных на акциях, можно использовать классическую формулу Блэк-Шолза (Black- Scholes). Однако следует помнить, что срок действия опционных свидетельств, как правило, длиннее, чем принято в обычных опционах, соответственно предположение о постоянной величине дисперсии цен

базиса становится ненадежным. Отсюда возникает потребность в дополнительном содержательном анализе.

К результатам, полученным по формуле Black-Scholes, для опционных свидетельств, задействованных с участием акций в силу присутствующего в них эффекта разводнения капитала, рекомендуется применять специальный фактор учета этого разводнения.



8.4 Стоимости опционов на внебиржевом рынке

Участники опционов, выторговываемых на внебиржевом рынке, при определении их стоимости, как правило, используют модели, способы, формулы, применяемые в биржевых сделках, ориентируясь на достижение выгоды. Для инструментов, не имеющих подобия на биржевом рынке, их стоимость и цены создаются в соответствии с выгодой от применения таких инструментов по соглашению участников. При этом по-прежнему критерием остается эквивалентность для обеих сторон; каждый покупатель должен возместить продавцу как его затраты, так и возможные доходы, обеспечиваемые продавцом для покупателя в этой сделке1.

Рассмотрим ценообразование варрантов на акции (Equity Warrant) и на доли (Debt Warrant), принимая их в качестве условных опционов.

В выпуске облигаций с варрантом на акции предполагается, что производится заимствование капитала под фиксированную процентную ставку, по величине ниже рыночной, сопровождаемое размещением в будущем новых акций. При этом покупатели не приобретают права на получение дивидендов до тех пор, пока не конвертируют варранты в соответствующие акции.

Объединяет эти варранты с опционами ряд характеристик: а) варранты предоставляют право покупателю без равновесной обязанности; б) оцениваются по внутренней и внешней стоимости; в) по срокам конверсии они различаются на европейский и американский варианты; г) следствием их применения является эффект рычага (Leverage).

Качественное различие между опционами и варрантами видно при исполнении этих инструментов: опцион колл на акции устанавливает право держателя купить акции, находящиеся в обращении, варрант - право получить акции, как правило, у эмитента, или варранты "размывают" капитал существующих акционеров в отличие от опционов на акции, не приводящих к такому результату. Следствием становятся более низкие цены варрантов по сравнению с опционом колл.

Выделяют также выкупаемые (погашаемые) варранты, имеющие вместе с правом на конверсию фиксированную выкупную стоимость.

В варранте на долги (Debt Warrant) основное их достоинство для покупателя связано с эффектом рычага (Leverage): изменение текущих процентных ставок в предлагаемом направлении способно привести к значительному относительному доходу покупателя. Этим и определяется цена данного варранта.

8.5 Стоимости, цены и ценообразование фьючерсов

1. Общие положения

Содержание и механизм существования фьючерсов определили подход к выявлению их стоимости и формированию цен.

Ценообразование для этих инструментов (сообразно с их относительной простотой) значительно меньше обременено математическими моделями и алгебраическими формулами.

Отметим основные отличия оценок для фьючерсов по сравнению с оценками для биржевых опционов:

цены фьючерсов еще дальше "уходят" от традиционных представлений, трансформируясь в особые оценки, предназначенные для выявления результатов биржевых сделок;

в этих оценках углублено различие в подходах и алгоритмах при отличиях в базисах, находящихся в основе фьючерса;

стоимости и цены фьючерсов не знают дисконтирования и выступают как текущие (временные) оценки;

особенным во фьючерсах стало ценообразование на инструменты, в базисе которых находятся расчетные (абстрактные) величины;

центральное место в исчислениях результатов торговли фьючерсами занимают особые правила расчетов и платежей в биржевых торгах.

Участник торговли фьючерсами может договариваться только о цене и количестве контрактов. Во время конструирования фьючерса биржей (расчетной палатой) устанавливаются исходные правила, регулирующие движение цен на него (по поводу котировки, цены базисного пункта - минимального изменения курса, допустимого шага цены, лимитов колебания цен). Цены торгов определяются согласно этим правилам применительно к теоретическим формулам, а движение цен формируется занятой позицией (длинная, короткая и т.п.), преобладающими мотивами, экспертными суждениями участников. Мотивы связаны с операциями (хеджирования, арбитража, спекуляции), экспертные суждения - с динамикой факторов, определяющих цену.

Представления участников о результатах их действий (расчеты результатов) включают оценку рынков процентов, акций, валюты, товаров, а также содержание правил определения биржевых взносов (депозитов), вариационной, эквивалентной маржи. Последнее

обстоятельство - это процедура определения обязательств, включая задолженности, участников.

Данная процедура представляет собой результат осуществления правила Margining. B соответствии с ним проводятся вычисления: маржи в исходном положении (Initial Margin), первоначальной маржи (Initial Rate); дополнительной маржи (Additional Margin), взносов, депозитов; вариационной маржи (Variation Margin), взносов для сохранения, поддержки (Maintenance), выполняемых каждодневно (либо в какой-то иной периодичности) и связанных с рассчитываемыми в режиме отметки по рынку текущими прибылями и убытками для участника, с их балансированием1.

Каким набором цен можно располагать во фьючерсе? В каждый момент торгов (анализа) известны цены реального рынка на конкретные, материальные товары, являющиеся основанием того фьючерса, по которому гипотетически возможны физическая поставка и переход прав собственности. Также известны уровни нематериальных, числовых финансовых показателей (курс, цена, процент, индекс), торги по которым не связаны с переменой субъекта собственности на эти показатели и по которым исключается их физическая поставка (предполагается проведение непрерывной купли-продажи фьючерсов с таким основанием).

В момент (час, минуту) начала торгов на данной бирже данным фьючерсом известны предположения участников о будущей цене (уровне расчетного показателя) для последнего биржевого операционного дня по ценности, находящейся в основе фьючерса, предусматривающего определенный срок исполнения (закрытия, погашения). Согласно биржевым правилам возможны либо совпадение последнего дня торговли (операционного дня) и дня исполнения, либо их разумная согласованность. В этот же момент известны цены собственно фьючерса, явившиеся результатом совместного (эмерджентного2) выполнения пяти условий: биржевых правил, теоретических формул (включая биржевые ценовые коэффициенты), мотивов участия, занятой позиции в этом участии, экспертных суждений преобладающих участников данных биржевых торгов3.

Например, в публикациях Немецкой биржи приводится систематизированная информация по фьючерсам. Находящиеся в обороте контракты распределяются по их основаниям (индексы курсов акций, процент, облигации, казначейские обязательства, валюта). По конкретному фьючерсу показана цена (мультипликатор одного пункта по индексам); срок погашения, номинал (облигация, казначейское обязательство, валюта). По фьючерсам, основанным на

индексах, приводятся: для Немецкой биржи - базисное значение и текущие котировки значений индекса по срокам их исполнения; по остальным биржам - котировки определенного часа и высшее (низшее) значение в реальных сделках. Для определенного срока исполнения по фьючерсам с другими основаниями показываются текущие котировки либо цены закрытия, высшие (низшие) значения цен в процентах.

2 Эмерджентность (англ. emergence - возникновение, появление нового) - наличие в системе свойств целостности, т.е. таких свойств системы, которые не присущи составляющим ее элементам.

3 Другими словами, возможно осуществление "экономического гомеостаза" системы фьючерсов при изменениях во внешней среде.

2. Исходная модель ценообразования на фьючерсы

В общем виде цена фьючерса понимается как текущая цена базиса, наращенная по ставке чистой доходности этого базиса, принятого как основание данного фьючерса. Чистая доходность для покупателя - это алгебраическая сумма: возможные расходы по займу денег для покупки базиса (от нужды в котором освободился покупатель, приобретая фьючерс) плюс расходы продавца по сохранению базиса до срока исполнения фьючерса и минус доходы, поступающие продавцу от владения базисом до момента исполнения. Используются следующие формулы1:

? для простых процентов

F = P·{1+[C·(T-t)]} (8.26)

? для сложных процентов

F = P·(1+C)T-t (8.27)

где F - цена фьючерса в единицах цен (котировки) базиса;

P - текущая цена базиса;

С - величина чистого дохода, выраженная в виде десятичной дроби к цене базиса;

(T - t)- время до истечения срока фьючерса, в годах (долях года).

Эти формулы выражают эквивалентные отношения между покупателем и продавцом, справедливые цены с равным риском (равной вероятностью удачи-неудачи) для участников сделки.

Справедливые соотношения цен фьючерсов и их оснований, как это видно из формул (8.26), (8.27), обеспечиваются арбитражем (возможностью арбитража) между реальным и срочными рынками. Арбитраж (равно как и для опционов) становится фундаментальным отношением в ценообразовании фьючерсов.

С помощью формул (8.26), (8.27) рассчитываются стоимости фьючерсов по акциям, облигациям, на валюту, товары, а из расчетных базисов - по индексам курсов акций. Расчет стоимостей

фьючерсов, основанных на процентах, качественно отличается от этого общего подхода (покажем различные виды цен на фьючерсы).

Теоретическая цена корректируется на дополнительные затраты, понесенные участниками рынка для осуществления биржевых сделок (сверх установленных биржей взносов).

1 См.: Уотшем T. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. - С. 41. 176

3. Стоимости и цены фьючерсов, основанных на акциях и индексах курсов акций

Расчеты стоимости и цен для фьючерсов, основанных на акциях и индексах курсов акций, опираются на общие и исходные положения (п. 8.5.1, 8.5.2), включают особенности, связанные с определением чистого дохода.

Обычно поведение участников сделок с фьючерсами, основанных на действительных ценностях, обозначается по одному из двух вариантов. В первом варианте подразумевается, что участник приобретает акцию, портфель акций, индекс курсов акций (в виде портфеля акций), для чего идет на займ средств на денежном рынке и продает фьючерс (Cash-and-Carry Arbitrage). Bo втором варианте участник покупает фьючерс, одалживает и продает акции, вырученные средства вкладывает на денежном рынке; в этом варианте допускается, что деньги участником могут быть взяты в долг, или совместно производятся действия, обратные предыдущему варианту (Reverse Cash-and-Carry Arbitrage). Для обоих вариантов рассчитывается одна и та же справедливая цена.

При этом в теоретическом расчете элиминируется (устраняется, исключается) возможное различие в ставках денежного рынка (называемое Bid-Ask Spread) на последовательных шагах в этих действиях, а также опускается, что акции не всегда удается взять в долг. И то, и другое влияет на фактическую стоимость, текущую цену фьючерсов при Cash-and-Carry и Reverse Cash-and-Carry.

Вместе с тем в теории (см. то же и в опционах) учитывается возможный дивиденд по акциям и индексу курсов акций:

? для фьючерсов с базисом акция, с базисом портфель акций:

FV = St·{1 + [(T - t)(rf - d]}, (8.28)

где FV - эквивалентная (честная) цена фьючерса с базисом акция, портфель акций;

St - текущая цена акции в момент t;

T-t - время, оставшееся до истечения срока фьючерса, в годах (долях года);

rf - свободная от риска ставка денежного рынка в десятичных цифрах;

d - дивидендный доход (по отношению к текущей цене акций) в десятичных числах.

Сообразно с этим для действительной эквивалентной цены по фьючерсу показатель по дивиденду должен быть ниже ставки денежного рынка, а ежегодные регулярные выплаты дивидендов становятся условием для расчета:

? для фьючерсов с базисом в виде индекса курсов акций

где FV- эквивалентная цена фьючерса;

m - обозначение каждой акции, учтенной в индексе;

Divm - дивиденд, выплачиваемый по каждой акции в течение срока фьючерса;

tm, D - время, оставшееся до истечения фьючерса после получения дивидендов,

Дивиденды показываются в виде долей от величины индексов.

Расчетная цена индексов во фьючерсах на различных биржах определяется различно, но расчет цены фьючерса отвечает формуле 8.29. При оценке честной стоимости (справедливой цены) во фьючерсе на индекс курсов акций подразумевается, что собственник портфеля акций, которые совместно составляют индекс, продав фьючерс на этот индекс, снимает риск колебаний цен на эти акции.

Единицы измерения цены фьючерса в формулах (8.28) и (8.29) соответствуют единицам цен (котировок) базиса.

Курс фьючерса, рассчитанный по формулам (8.26)-(8.28), в последний день торговли выходит на курс базиса, складывающийся на реальном рынке (эффект конвергенции1, или эффект конвергенции базиса). Курс фьючерса, рассчитанный по уравнению (8.29), как правило, не совпадает с заключительным курсом индекса.

Разница между расчетной ценой и фактической (рыночной) ценой на счетах участников в расчетной палате увеличивает либо дебет, либо кредит (для другого участника - стороны счета противоположны).

Во всех случаях, если теоретическая цена во фьючерсе выше цены базиса на реальном рынке, то разница в этих ценах называется "положительный базис", если ниже, то "отрицательный базис".

1 Конвергенция (лат. convergere - приближаться, сходиться) - схождение, сближение.

4. Стоимости и цены фьючерсов, основанных на облигациях "к поставке"

Выделим группу облигаций, рыночные действия с которыми предполагают их физическую поставку1. В статистических таблицах эти фьючерсы включаются в состав процентных фьючерсов, однако для них используется свой режим ценообразования.

По фьючерсу, основанному на таких облигациях, чистый доход на один год [применительно к формулам (8.26), (8.27)] равен разнице

между текущей доходностью, выраженной в цифрах, соответствующих котировке этой облигации на реальном рынке и безрисковой процентной ставкой внутреннего рынка.

Для долгосрочных фьючерсов чистый доход будет суммой по годам до срока исполнения фьючерса.

Особенностью ценообразования на фьючерсы с основанием в виде долгосрочных облигаций является (ставшая традиционной) привязка стоимости фьючерса к некой стандартной облигации с однозначными купонами, сроками платежей и номиналом (и то, и другое может быть вымышленным при конструировании фьючерса). Для каждого такого фьючерса имеется группа реальных рыночных облигаций, соотносимых с базисом фьючерса (условной облигацией) с помощью ценовых факторов (Conversion factor). Ценовой фактор предназначен для элиминирования (компенсации) разницы в купонах и сроках платежей между базисом фьючерса и облигациями, реально выторговываемыми на рынке, и с его помощью выявляются количество поставляемых облигаций и денежная сумма, которую выплачивает держатель срочной длинной позиции за приобретаемые облигации. Ценовой фактор преобразует характеристики фьючерса на условную облигацию в характеристики реальной облигации. Ценовой фактор показывает в десятичных цифрах отношение цены данной конкретной облигации, определенной по купону условной облигации, к расчетной цене базиса во фьючерсе.

Численно фактор - это цена одной единицы валюты реальной облигации, при которой по этой облигации будет обеспечен процентный доход в размере, принятом для облигации - базиса фьючерса (6%, 8% и т.д.). Соответственно этот фактор показывает количество признанных пригодных к поставке облигаций, являющихся эквивалентом одной условной облигации - базиса фьючерса.

Состав рыночных инструментов (Delivery bond) и ценовой фактор для каждого из них устанавливаются биржей самостоятельно (списки принимаемых к поставке облигаций публикуются). Этот подход пригоден для любых возможных оснований, в которых может появиться твердый процентный доход.

Права в таких фьючерсах реализуются согласно принципу - наиболее дешевая облигация из возможных к поставке (Cheapest-to-Deliver - CTD). По правилу "большого пальца" - это облигация, которая будет (или может) иметь наивысшую доходность в любой момент времени.

Покупатель выбирает облигацию, по которой его платеж будет наименьшим [соответственно формулам (8.26), (8.27)], а платеж, который будет получен поставщиком облигации, выявляется переумножением расчетной цены и ценового фактора выбранной облигации.

При выявлении самой дешевой облигации покупатель нуждается в учете ряда факторов-обстоятельств: даты платежей по купону, форвардных процентных ставок (для реинвестирования доходов), необходимых информационных, трансакционных затрат.

Достаточно давно для выявления прибылей (убытков) при выборе долгосрочных облигаций была предложена формула1:

где GF, PF, GC - цена фьючерсов, ценовой фактор и цена базиса на реальном рынке;

с - величина купона по облигации;

r1 и r2 - ставки реинвестирования и заимствования;

t0 - число дней до поставки, когда нарастают суммы процентов по облигации;

t1 - число дней, в течение которых возможен арбитраж между реальным и фьючерсным рынками (до даты поставки).

Для большинства страновых рынков вместо 365 дней применяют знаменатель 360 дней.

Показатели в формуле (8.30) приводятся в виде, пригодном для вычисления прибыли (убытков) сообразно с единицами исчисления цен.

Продавец каждого фьючерсного контракта, который поддерживается до срока исполнения, может выбрать, какую из опубликованного списка облигаций (Delivery bond) он хочет поставить в свою короткую позицию, и предполагается, что он выберет именно ту, которая сулит ему наиболее высокий доход по сделке.

Ценовой фактор может помочь также при оценке оптимального числа контрактов в сделках с учетом колебаний курсов реальных облигаций для реализации принципа "наиболее дешевая к поставке" (СТД):



Число контрактов =	Нарицательная стоимость реальной облигации · Ценовой фактор
	Номинал облигации - Текущая стоимость базиса во фьючерсе

В данном расчете значение ценового фактора принимается по самой дешевой облигации из возможных к поставке по данному фьючерсу.

1 Например, государственные долговые ценные бумаги, включая казначейские облигации (ноты, бонды и др.).

1 См.: Ларкман Брайан. Финансовые фьючерсы // Арбитраж. - С. 108.

...