Основные вопросы формальной логики

4) «Некоторые трудовые споры рассматриваются городским судом» - (I), (S-нераспределен, Р -нераспределен).

5) «Исполнителем считается лицо, непосредственно совершившее преступление» - (А), (S-распределен, Р -нераспределен).

6) «Некоторые соглашения не являются выгодными для одной из сторон» - (О), (S-нераспределен, Р -распределен).

7) «По некоторым делам предусматривается законом обязательное проведение экспертиз» - (I), (S-нераспределен, Р -нераспределен).

8) «Марс - планета Солнечной системы» - (А), (S-распределен, Р -нераспределен).

9) «На всякого мудреца довольно простоты» - (А), (S-распределен, Р -нераспределен).

10) «Под плохим плащом нередко скрывается хороший пьяница» - (I), (S-нераспределен, Р -нераспределен).

11) «Ничто не проходит бесследно» - (Е), (S-распределен, Р -распределен);

12) «Преступления совершаются и по легкомыслию» - (I), (S-нераспределен, Р -нераспределен).

13) «Среди преступников есть особо опасные рецидивисты» - (I), (S-нераспределен, Р -нераспределен).

14) «Некоторые депутаты ГосДумы - экономисты» - (I), (S-нераспределен, Р -нераспределен).

15) «Ни один честный человек не украдет чужое имущество» - (Е), (S - распределен, Р -распределен).

16) «Все предприниматели платят налоги» - (А), (S - распределен, Р - нераспределен).

17) «Некоторые настольные игры не являются русскими»- (О), (S - нераспределен, Р - распределен).

18) «Всякий политик есть человек»- (А), (S - распределен, Р - нераспределен).

Выделяющие суждения

Выделяющими называются суждения, в которых утверждается или отрицается, что признак (Р) присущ данным предметам объема (S), (всем или некоторым), только им и больше никому.

Рассмотрим распределение терминов в выделяющих суждениях.

Общеутвердительное выделяющее: Все S, и только S есть Р, т.е. признак (Р) присущ всем предметам объема (S), а всем остальным - не присущ.

Схема отношений S и Р есть, рис. 3.5

Размещено на http://www.allbest.ru/

₄₁

Рис. 3.5

S и Р полностью включены один в другой (равнообъемность).

Субъект (S) и предикат (Р) распределены. Например, «Все первоклассники (S), и только они, пришли с цветами (Р)».

Общеотрицательное выделяющее: Ни одно S, и только S, не есть Р, т.е. признак (Р) отсутствует у всех предметов объема (S), а у всех остальных присутствует.

Схема отношений S и Р есть, рис. 3.6

Размещено на http://www.allbest.ru/

₄₁

Рис. 3.6

Объемы S и Р полностью исключают друг друга.

Субъект S и предикат Р распределены. Например, «Ни один студент только нашей группы (S) не является неуспевающим (Р)».

Частноутвердительное выделяющее: Некоторые S, и только S есть Р, т.е. признак (Р) присущ только некоторым предметам объема (S), а всем остальным - не присущ.

Схема отношений S и Р есть, рис. 3.7

Размещено на http://www.allbest.ru/

₄₁

Рис. 3.7

Субъект S - не распределен, предикат Р - распределен. Например, «Некоторые студенты только нашей группы (S) - отличники (Р)».

Частноотрицательное выделяющее: Некоторые S, и только S не есть Р, т.е. признак (Р) отсутствует у некоторых предметов объема (S), а у всех остальных - присутствует.

Схема отношений S и Р есть, рис. 3.8

Размещено на http://www.allbest.ru/

₄₁

Рис. 3.8

Субъект S - не распределен, предикат Р - распределен. Например, «Некоторые студенты только нашей группы (S) - не отличники (Р)».

Приведем окончательную таблицу распределения терминов, обозначив распределенность термина знаком (+), а нерапределенность - знаком (-)

	A	E	I	O
S	+	+	-	-
P	-	+	-	+
P-выделяющие	+	+	+	+



Субъект распределен в общих (A, E) и не распределен в частных суждениях (I, O). Предикат распределен в отрицательных (Е, O), и не распределен в утвердительных (A, I) суждениях. В выделяющих суждениях предикат всегда распределен.

Упражнение 3.6. Изобразите отношения между терминами с помощью круговых схем. Установите распределенность субъекта и предиката.

1) «Некоторые преступники (S), и только преступники, являются рецидивистами (Р)»-(I - выделяющее). Субъектом(S) является понятие «преступники», предикатом (Р) - «рецидивисты». Схема отношений, рис. 3.7. Субъект не распределен, а предикат распределен, т.к. объем предиката полностью входит в объем субъекта.

2) «Каждый рэкетир есть вымогатель» - (А выделяющее). Субъектом (S) является понятие «рэкетир», предикатом (P) - «вымогатель». Схема отношений, рис. 3.5. В данном суждении субъект распределен, и предикат распределен, т.к. их объемы полностью совпадают («рэкетир» и «вымогатель» синонимы).

3) «Города, и только города (S), являются столицами (Р)» -(I - выделяющее). Субъектом(S) является понятие «города», предикатом (Р) - «столицами».

Схема отношений, рис. 3.7. Субъект не распределен, а предикат распределен, т.к. объем предиката полностью входит в объем субъекта.

4) «Ни один честный человек (S), и только такой человек (S), не поступится своими принципами (P)» - (Е- выделяющее). Субъектом(S) является понятие «честный человек», предикатом (Р) - «поступится своими принципами». Схема отношений S и Р есть, рис. 3.6. Объемы S и Р полностью исключают друг друга.Субъект S и предикат Р распределены.

5) «Некоторые дети (S), и только дети, не понимают этого (Р)» - (О- выделяющее). Субъектом(S) является понятие «дети», предикатом (Р) - «понимают это». Схема отношений S и Р есть, рис. 3.8.Субъект S - не распределен, предикат Р - распределен.

Исключающие суждения

Исключающим называется суждение, в которомотражаетсяпринадлежность или непринадлежность признака (Р) всем предметам (S) за исключением некоторой их части.

Общеутвердительное исключающее: Все S, кроме S₁ есть Р.

Например, «Все студенты нашей группы, кроме двоих сдали экзамен».

Общеотрицательное исключающее: Ни одно S, кроме S₁, не есть Р.

Например, «Ни один первокурсник, кроме троих, не сдали экзамен».

Упражнение3.7. Укажите выделяющие и исключающие суждения.

1) «Лишь сильное государство обеспечивает свободу своим гражданам» - (А-выделяющее).

2) «Никто, кроме органов и должностных лиц, прямо уполномоченных на то законом, не вправе вмешиваться в деятельность полиции» - (Е-исключающее).

3) «Все жанры хороши, кроме скучного» - (А-исключающее).

4) «Одни поддельные цветы дождя боятся» - (А-выделяющее).

5) «Ни один честный человек, и только такой человек, не поступится своими принципами» - (Е-выделяющее).

6) «Некоторые преступники, и только преступники, являются рецидивистами» - (I-выделяющее).

7) «Некоторые свидетели, и только они, не дали показаний» - (О-выделяющее);

8) «Только великие люди могут иметь великие недостатки» - (А-выделяющее).

9) «Иванов, и только он, не является свидетелем преступления» - (Е-выделяющее).

10) «Все спортсмены, кроме боксеров, вызывают у меня симпатию» - (А-исключающее).

11) «Ни один металл, кроме висмута, не сжимается при нагревании» - (Е-исключающее).

12) «Только металлы образуют соли» - (А-выделяющее).

13) «Все водные животные, кроме китов и дельфинов, являются холоднокровными» - (А-исключающее).

14) «Только тот достоин чести и свободы, кто каждый день за них идет на бой» - (А-выделяющее).

15)Конфискация имущества может быть назначена только в случаях, предусмотренных законом за данное преступление - (А - выделяющее).

16)Кооперативы вправе заниматься любыми видами деятельности, за исключением запрещенных законодательством - (А - исключающее).

17)Только не помнящие прошлого осуждены на его повторение - (А - выделяющее).

18)Ни один народ ни в коем случае не может быть лишен принадлежащих ему средств существования- (Е - выделяющее).

19)Заочное разбирательство уголовных дел в судах не допускается, кроме случаев, предусмотренных федеральнымизаконами- (А - исключающее).

3.3 Сложные суждения

В математической логике не рассматривается конкретное содержание суждения, важно только, истинно оно или ложно.

Будем обозначать простые суждения малыми буквами латинскими алфавита a, b, c,…, которые называютлогическими переменными. Значением логической переменной могут быть только истина и ложь.

Например, суждение a = «Луна является спутником Земли» истинно, а суждение b = «Москва - столица Германии» ложно.

Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью логических связок (союзов): конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания.Например, сложное суждение «Иванов (a) и Петров (b) совершили преступление», образуется из простых суждений: a = «Иванов совершил преступление»,b = «Петров совершил преступление» с помощью логического союза «и».

Сложное суждение можно рассматривать как логическую функциюF(a, b, c…)аргументами которой являются логические переменные a, b, c… (простые суждения). Значением логической функции (сложного суждения) могут быть только истина и ложь.

Каждое из простых суждений, входящих в сложное, может быть либо истинно (и), либо ложно (л). Значение истинности сложных суждений зависит от истинности входящих в них простых суждений и типа объединяющих их связок.

Устанавливают истинностные значения сложных суждений при помощи таблицы истинности.Таблицы истинности устанавливают истинностные значения сложного суждения при различных наборах входящих в него простых суждений.

Приведем таблицу истинности логических связок (конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания).

Суждение	Отрицание	конъюнкция	Дизъюнкция	импликация	Эквиваленция

Здесь a, b - переменные, обозначающие простые суждения, которые могут быть либо истинными (и), либо ложными (л).

Отрицанием (инверсией) называют суждение, образованное с помощью логической связки - отрицания.

Логическая формула: a, или. Читается:«неверно, что a», где - символ отрицания (союз «неверно, что…» или просто «не-»).

Союз «не-» указывает, что если a - истинно, то a - ложно, и если a - ложно, то a - истинно.

Таблица истинности отрицания имеет вид

Например, если высказывание a = «Амазонка - великая река» - истинно, тогда отрицание a = «Неверно, что Амазонка - великая река» - ложно; если высказывание a = «Петр водит автомобиль» - ложно, то отрицание a = «Петрне водит автомобиль» - истинно.

Соединительным (конъюнктивным) называется суждение, образованное из простых с помощью логической связки - конъюнкции.

Логическая формула: ab. Читается:«a и b», где - символ конъюнкции (союз «и»); a, b - члены конъюнкции. Союз «и» указывает на одновременность нескольких событий, их последовательность. Например, «Сверкнула молния (а), и загремел гром (b)».

Конъюнкция истинна, когда оба простых суждения истинны и ложно при ложности хотя бы одного из них.

В языке для выражения конъюнкции используются также союзы: «а», «но», «да», «хотя», «однако», «как и», «несмотря на», «зато»и др.Например, «Русские долго запрягают, да быстро ездят» или «Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь».

Соединительное суждение может быть выражено следующими формами:

(S₁ и S₂ есть Р) (S₁ есть Р) и (S₂ есть Р),

(S есть Р₁и Р₂) (S есть Р₁) и (S естьР₂).

Например, «Кража (S₁) и мошенничество (S₂) относится к умышленным преступлениям (Р)», или «Преступление (S) - это общественно опасное (Р₁) и противоправное (Р₂) деяние».

В логике действует закон коммутативности конъюнкции (ab)=(ba). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени.Например, «Прицепили паровоз (a) и поезд тронулся (b)».

Разделительным (дизъюнктивным) называется суждение, образованное из простых с помощью логической связки -дизъюнкции, соответствующей союзу «или». Поскольку союз«или» употребляется в естественном языке в двух значениях, различают нестрогую и строгую дизъюнкцию.

Нестрогой (слабой) называют дизъюнкцию, члены которой не исключают друг друга.

Логическая формула: ab. Читается:«a или b», где - символ дизъюнкции (союз «или»); a, b - члены дизъюнкции. Союз «или» указывает, что члены дизъюнкции могут существовать как раздельно, так и вместе. Союз «или» имеет соединительно - разделительное значение.

Например, «Холодное оружие может быть колющим (a) или режущим (b). Союз «или» в данном случае разделяет, поскольку отдельно существуют такие виды оружия, и соединяет, поскольку есть оружие, одновременно и колющее и режущее.

Нестрогая дизъюнкция ab истинна при истинности хотя бы одного из членов дизъюнкции.

Строгой (сильной) называют дизъюнкцию, члены которой исключают друг друга.

Логическая формула: ab.Читается: «либоa, либоb», где - символ строгой дизъюнкции (союз «либо, либо»); a, b - члены дизъюнкции. Союз «либо,либо» указывает, что члены дизъюнкции могут существовать только раздельно, т.е. только одно из двух. Используется также союз «или» висключающем - разделительном значении.

Например, «Деяние может быть умышленным (a) или неосторожным (b). Союз «или» в данном случае разделяет, поскольку отдельно существуют умышленные и неосторожные деяния, и исключает, поскольку деяние не может быть одновременно умышленным и неосторожным.

Строгая дизъюнкция ab истинно, когда только одно из исходных суждений истинно, а другое ложно.

Порядок следования членов дизъюнкции не имеет значение.

Условным (импликативным) называется суждение, образованное из двух простых с помощью логической связки - импликации.

Логическая формула: ab. Читается: «если a, то b», где - символ импликации (союз «если, то»); a, b - члены импликации.

Импликация ab истинно во всех случаях, кроме одного: первое суждение истинно, а второе ложно. Порядок следования членов импликации имеет значение.

Первая часть импликации (a) называется основанием , а вторая (b) - следствием.При этом из основания обязательно вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание.

Например, «Если вещество является металлом (a), то оно электропроводно(b)».

В языке для выражения условных суждений используются также союзы: «там, где», «тогда, когда», «постольку, поскольку», «при наличии, следует», «в случае, следует», «при условии, наступает» и другие.

Например, «В случае, если родители не предоставляют содержание своим несовершеннолетним детям (a), средства на содержание несовершеннолетних детей (алименты) взыскиваются в судебном порядке (b)».

Эквивалентным называется суждение, образованное из двух простых с помощью логической связки - эквиваленции.

Логическая формула: ab, или ab. Читается: «если и только еслиa, то b», где или - символыэквиваленции (союз «если и только если, то»); a, b - члены эквиваленции. Союз «если и только если, то» указывает, что одно суждение является необходимым и достаточным условием для другого, т.е. если есть первое, то есть второе, и наоборот, если есть второе, то есть и первое.

Эквиваленция ab истинно в тех случаях, когда оба суждения либо истинны, либо ложны. Порядок следования членов эквиваленции не имеет значение.

Например, «Если и только если студенты сдадут зачеты, то они будут допущены к сдаче экзаменов».

В языке для выражения эквивалентных суждений используются также союзы: «лишь при условии что, то», «в том и только в том случае когда, тогда», «тогда и только тогда, когда», «при наличии, следует», «в случае, следует», «при условии, наступает» и другие.Например, «Можновыйтиизклассатогдаитолькотогда, когдапрозвенитзвонок».

В отличии от условных (импликативных) суждений, эквивалентные суждения можно «обернуть», т.е. поменять местами. Например: «Если сегодня пятница, то завтра суббота» и «Если завтра суббота, то сегодня пятница».

Упражнение3.8. Укажите вид сложного суждения и запишите логическую форму.

1) Амнистия может быть общей (а) или частичной (b) - (строгая дизъюнкция).

2) Подстрекателем признается лицо, склонившее другое лицо к совершению преступления путем уговора (а), или подкупа (b) или угрозы (с) или другим способом (d) - (abcd - нестрогая дизъюнкция).

3) Адвокат может просить либо удовлетворить иск полностью (а), или частично (b), либо отказать в удовлетворении (с), либо прекратить производство по делу (d), либо оставить иск без рассмотрения (е) - (abcdе - строгая дизъюнкция).

4) Увольнение от должности может применяться судом(b) в случае признания невозможности оставления осужденного в занимаемой должности (а) - (ab - импликация).

5) Лебедь рвется в облака (а), рак пятится назад (b), а щука тянет в воду (с) - (abc - конъюнкция).

6) Буду свободен (а) - зайду в шахматный клуб (b) - (ab - импликация).

7) Уголовное дело в суде первой инстанции рассматривается коллегиально (а) или единолично (b) - (строгая дизъюнкция).

8) Дело каждого гражданина - оберегать природу (а), охранять ее богатство (b) - (ab - конъюнкция).

9) Судебная власть в РФ осуществляется посредством конституционного (а), гражданского (b) и уголовного судопроизводства (с)- (abс - конъюнкция).

10) В категорическом суждении термины либо распределены (а), либо не распределены (b) - (строгая дизъюнкция).

11) Курить (а) -здоровью вредить (b) - (ab - импликация).

12) Если Иванов совершил преступление (а), то он привлекается к уголовной ответственности (b) - (ab - эквиваленция).

13) Было бы начало (а), будет и конец (b) - (ab - эквиваленция).

14) Мы, верно уж поладим (а), коль рядом сядем (b) - (ab - импликация).

15) Если Иванов является инвалидом войны (а), то на него распространяются права и льготы, присущие только этой группе людей (b) - (ab - эквиваленция).

16) Познанья путь и долог (а) и тяжел (b) - (ab - конъюнкция).

17) Шторма бояться (а) - в море не ходить (b) - (ab - импликация).

18) Лучше скажи мало (а), но хорошо (b) - (ab - конъюнкция).

19) Если сегодня пятница (а), то завтра суббота (b) - (ab - эквиваленция).

20) Иванов способен (а) или он прилежен (b) - (ab - дизъюнкция).

21) Приговор бывает обвинительный (а) или оправдательный (b) - (-строгая дизъюнкция).

22) Если и только если студенты сдадут зачеты (а), то они будут допущены к сдаче экзаменов (b) - (ab - эквиваленция).

23) Треугольник является равносторонним (а), если и только если он является равноугольным (b) - (ab - эквиваленция).

24) Любое деяние следует рассматривать как преступное (а) в том, и только в том случае, если оно общественно опасно и противоправно (b) - (ab - эквиваленция).

25) Грабеж (а) и кража (b) относятся к умышленным преступлениям - (ab - конъюнкция).

26) Если отсутствует состав преступления (а), то уголовное дело не может быть возбуждено (b) - (ab - импликация).

27) Договор купли- продажи может быть заключен в устной (а) или письменной форме (b) - (ab-слабая дизъюнкция).

28) В корзине у Маши лежат подберезовики (а) и подосиновики (b) - (ab - слабая дизъюнкция).

29) Памятники культуры (а), истории (b) и природы (с) являются достояния народа - (abс - конъюнкция).

30) Работник имеет право на защиту своих трудовых прав(а), свобод (b)и законных интересов (с) всеми не запрещенными способами - (abс - конъюнкция).

31) Человечество может погибнуть то ли от истощения земных ресурсов (а), то ли от экологической катастрофы (b), то ли в результате третьей мировой войны (с) - (abс - слабая дизъюнкция).

32) Солнце -- звезда (a), а Луна -- планета (b), но мы живём на Земле (с) - (abс - конъюнкция).

Упражнение3.9. Используя таблицу истинности, установите истинность сложного суждения.

1) И волки сыты (а) и овцы целы (b) - (ab - истинно, если a и b - истинны).

2) Дверь квартиры потерпевшей была заперта изнутри на ключ (а) и цепочку (b) - (ab - истинно, если a и b - истинны).

3) По данному делу будет вынесен обвинительный (а) или оправдательный приговор (b) - ( - истинно, если одно - истинно, а другое- ложно).

4) Кража совершена Ивановым (а) или Петровым (b) - (ab - истинно при истинности хотя бы одного изa,b).

5) Цитатами следует пользоваться тогда и только тогда (а), когда действительно не обойтись без чужого авторитета (b) - (ab - истинно, когда a, b- истинны, либо ложны).

6) Иванов совершил преступление или один (а), или с соучастником (b) - ( - истинно, если одно - истинно, а другое- ложно).

7) Виновником в преступлении признается лицо, совершившее преступление умышленно (а), или по неосторожности (b) - ( - истинно, если одно - истинно, а другое - ложно).

8) Оскорбление может быть нанесено случайно (a) или намеренно (b) - ( - истинно, если одно - истинно, а другое - ложно).

9) Повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории (а), невозможно понять логику этой истории (b) - (ab истинно во всех случаях, кроме одного: первое суждение истинно, а второе ложно).

10) Этот человек преуспевающий бизнесмен (a) и хороший семьянин (b) -(ab - истинно, если a и b - истинны).

11) Товар или удовлетворяет какую-либо потребность (a), или является вещью, способной обмениваться на другую вещь (b) - (ab - истинно при истинности хотя бы одного из a, b).

12) Храбрец или сидит в седле (a), или спит в сырой земле (b) - (- истинно, если одно - истинно, а другое - ложно).

13) Если на заводе установить новое оборудование (a), то повысится производительность труда (b) - (ab истинно во всех случаях, кроме одного: первое суждение истинно, а второе ложно).

14) Этот ученый не завершит свою научную работу (a), если и только если не будет своевременного финансирования его экспериментов (b) - (ab - истинно, когда a, b- истинны, либо ложны).

15)Осадки могут выпадать в виде дождя (a) или мокрого снега(b) - (ab - истинно при истинности хотя бы одного из a, b).

Комбинированные сложные суждения

Сложные суждения - конъюнктивные, дизъюнктивные, условные и эквивалентные - используются в обычных рассуждениях как самостоятельно, так и в различных комбинациях.

Комбинированные сложные суждения можно записать в виде формул.

Для этого простые логические суждения нужно обозначить как логические переменные буквами и связать их с помощью знаков логических связок.

Такие формулы называются логическими формулами или логическими выражениями.Значением логического выражения могут быть только истина или ложь.

Рассмотрим сложные суждения:

1)Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться, и будут ему послушны. (К.Д.Ушинский).

ЎСоставляющие простые суждения:

a = Человек с детства давал нервам властвовать над собой;

b = Человек в юности давал нервам властвовать над собой;

c = Нервы привыкнут раздражаться;

d = Нервы будут непослушны.

Логическая формула: (ab) (cd) ^

2)Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач. (В.М.Бехтерев).

ЎСоставляющие простые суждения:

a =Некто является врачом;

b = Больной поговорил с врачом;

c = Больному стало легче.

Логическая формула: (bc)a^

Чтобы определить значение логического выражения необходимо подставить значения логических переменных в выражение и выполнить логические операции.

Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке:

1) инверсия (отрицание);

2) конъюнкция;

3) дизъюнкция;

4) импликация и эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.

Укажем порядок выполнения логических операций в следующих выражениях:

Для любого логическоговыражения можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых суждений (логических переменных).

Количество строк в таблице истинности равно 2ⁿ, где n-число логических переменных (простых суждений) в формуле.

Количество столбцов в таблице истинности равно сумме числа логических переменных и числа логических операций (связок).

Например:

1. Построим таблицу истинности для логического выражения

Укажем порядок выполнения логических операций

.

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 6 (2 переменные и 4 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняя логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

					()()

2. Построим таблицу истинности для логического выражения

Укажем порядок выполнения логических операций

.

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 5 (2 переменные и 3 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняя логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

			()	(())

3. Построим таблицу истинности для логического выражения

Укажем порядок выполнения логических операций

Количество строк в таблице 2³= 8.

Количество столбцов равно 6 (3 переменные и 3 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

			a	bc	a(bc)

4. Построим таблицу истинности для логического выражения

Укажем порядок выполнения логических операций

Количество строк в таблице 2³= 8.

Количество столбцов равно 6 (3 переменные и 3 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

			a	bc	(a)( bc)

Все формулы делятся в логике на три вида:

1) Формулу называют тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение «истина» при любых значениях входящих в нее переменных.

2) Формула называется тождественно ложной (противоречие), если она принимает значение «ложь» при любых значениях входящих в нее переменных.

3) Формула называется выполнимой, если она принимает значение «истина» хотя бы один раз на любом наборе значений входящих в нее переменных и не является тождественно истинной.

Для того чтобы определить, к какому виду относится та или иная формула, обычно составляют таблицу истинности для этой формулы.

Упражнение 3.8. Определите, является ли данная формула тождественно истинной, тождественно ложной, выполнимой?

1) (ab)(ab).

ЎПостроим таблицу истинности для этой формулы.

Укажем порядок выполнения логических операций

(ab)(ab).

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 8 (2 переменные +3 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

				()()

Формула является тождественно истинной^

2) (ab)(ab).

ЎПостроим таблицу истинности для этой формулы.

Укажем порядок выполнения логических операций

(ab)(ab).

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 5 (2 переменные +3 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности



				(ab)(ab)

Формула является выполнимой ^

3) a(ab)(ab).

ЎПостроим таблицу истинности для этой формулы.

Укажем порядок выполнения логических операций

a(ab) (ab)

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 7 (2 переменные +5 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

					()	()()

Формула является тождественно ложной^

Любая тождественноистинная формула представляет собой логический закон.

Упражнение 3.9. Запишите следующие рассуждения в виде формулы

и установите, является ли выражающая его формулалогическим законом.

1) Сказать, «Я сдам зачёт (а) и отдохну (b)» и сказать, что неверно, что я не сдамзачёт (а) или не отдохну (b), -- значит сказать то же самое.

ЎФормула: (ab)(ab).

Построим таблицу истинности для этой формулы.

Укажем порядок выполнения логических операций

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 8 (2 переменные +6 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

						()	(ab)(ab)

Формула является логическим законом^

2) Этот студент нетрудолюбив (а) или он сдаст экзамен (b), следовательно, раз он - трудолюбив (а), то экзамен сдаст (b).

ЎФормула: (ab)(ab).

Построим таблицу истинности для этой формулы.

Укажем порядок выполнения логических операций

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 6 (2 переменные +4 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

					(ab)(ab)

Формула является логическим законом^

3) Если какое-либо здание является старым (а), то оно нуждается в капитальном ремонте (b). Это здание нуждается в капитальном ремонте (b). Следовательно, это здание старое (а).

ЎФормула: ((ab)b)a.

Построим таблицу истинности для этой формулы.

Укажем порядок выполнения логических операций

((ab)b)a.

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 5 (2 переменные + 3 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

			()	(())

Формула не является логическим законом^

4) Если человек берёт взятки (а), то он преступник (b), следовательно, раз он не преступник (b), то взяток не берёт (а).

ЎФормула: (ab)(ba).

Построим таблицу истинности для этой формулы.

Укажем порядок выполнения логических операций

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 7 (2 переменные + 5 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

						()()

Формула является логическим законом^

5)Если преступника поймают (a), то его должны осудить (b), следовательно, раз преступника должны осудить (b), значит, его поймают (a).

ЎФормула: (ab)(ba).

Построим таблицу истинности для этой формулы.

Укажем порядок выполнения логических операций

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 5 (2 переменные + 3 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

				()()



Формула не является логическим законом^

6) Если Петр занимается спортом(a), то Петр никогда не болеет(b). Петр занимается спортом(a), следовательно, Петр никогда не болеет(b).

ЎФормула: ((ab)a)b.

Построим таблицу истинности для этой формулы.

Укажем порядок выполнения логических операций

((ab)a)b.

Количество строк в таблице 2²= 4.

Количество столбцов равно 5 (2 переменные + 3 операции).

Заполняем таблицу истинности, выполняем логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

			()	((ab)a)b

Формула является логическим законом^

Упражнение3.10. Выразите комбинированные сложные суждения в явной логической форме, приведите их символическую запись.

1) При нарушении служащим дисциплины (а) администрация предприятия обязана взять у него либо устные (b), либо письменные (с) объяснения -

Формула: (a()).

2) В случае злостного уклонения от уплаты штрафа (а) он заменяется обязательными работами (b), исправительными работами (с) или арестом (d) -

Формула: (a(d)).

3) Гражданину РФ начисляется пенсия (a), если он достиг пенсионного возраста (b) и имеет необходимый стаж работы (c) -

Формула: (bc)a).

4) Если у меня будет свободное время (а) и я сдам экзамены по математике (b) и логике (с), то я поеду в Крым (d) или на Кавказ (e) -

Формула: (abc()).

5) Гражданин вследствие физического недостатка (a), болезни (b) или неграмотности (c) не может собственноручно подписаться, то по его просьбе сделку может подписать другой гражданин (d) -

Формула: (abc)d).

6) Брак расторгается (a), если судом будет установлено, что дальнейшая совместная жизнь супругов (b) и сохранение семьи (c) стали невозможными -

Формула: (bc)a).

7) Если студент учится на этом факультете (a), то он способный (b) и очень прилежный (c) -

Формула: (abc).

8) На этом факультете учатся (a) только способные (b) или по крайней мере очень прилежные (c) студенты -

Формула: (abc).

9) Если у человека много доброго (а) и мало злого (b), то он - достойный муж (с). Если у человека ничего доброго (а) и много дурного (d), то он - низкий человек (e) -

Формула: ((ab)c)((ad)e). (Из наследия Чжан Чао).

10) Если я хорошо подготовлюсь по русскому языку (a), математике (b) и физике (c), то я получу пятерки (d) или четверки (e) -

Формула: (abc)(de).

11) Если Клинтон будет избрана на новый срок (a), то США продолжат свою экспансию на Ближний восток (b). Поэтому, если Клинтон не будет избрана на новый срок (a), то США прекратят свою экспансию на Ближний восток (b) -

Формула: (аb)(аb).

12) Если профессор Иванов опаздывает на экзамен (a), то он всем экзаменуемым поставит хорошие оценки (b). Но он не опоздал на экзамен (а). Значит, неверно, что он всем экзаменуемым поставит хорошие оценки (b)-

Формула: ((аb)а)b).

13) Если кто владеет вещью добросовестно (а), то он может сослаться на право давности (b), но при условии, что эта вещь не крадена (с) -

Формула: c(аb).

14) Автомобиль подлежит конфискации (а), если он служил орудием совершения преступления(b) или был добыт преступным путём(с)-

Формула:(bc)а.

15) Спортсмен подлежит дисквалификации(а), если он нетактично себя ведёт по отношению к сопернику(b) или судье(с) и если спортсмен употребляет стимулирующие вещества(d)-

Формула: (bc)dа.

16) Обвиняемый, преданный суду (а), именуется подсудимым(b), если в отношении обвиняемого вынесён обвинительный приговор(с), то осужденным(d)-

Формула: (аb)(cd).

17) В случае отсутствия оснований к возбуждению уголовного дела(а), а равно при наличии обстоятельств, исключающих производство поделу (b), прокурор, следователь, орган дознания и судья отказывают в возбуждении уголовного дела (с) -

Формула: (аb)c.

18)Прокурор предъявляет (а) или поддерживает предъявленный потерпевшим гражданский иск (b), если этого требует охрана государственных (с) или общественных интересов (d) или прав граждан (е) -

Формула:(сdе)(аb).

19) Когда самолет терпит аварию(а), то летчик, либо катапультируется(b), либо пытается посадить машину(с)-

Формула: аbc.

_{20) Санкция в международном праве применяется к государству (а), когда зафиксированы нарушения им международных обязательств (b) или норм международного права (с) -}

_{Формула: (bс) а.}

21)Несовершеннолетним, совершившим преступление(а), может быть назначено наказание(b)либо к ним могут быть применены меры воспитательного воздействия(с)-

Формула: а(bс).

_{22) Подозреваемым(а)является лицо, задержанное по подозрению в совершении преступления(b)или подвергнутое мере пресечения до предъявления обвинения(b)-}

_{Формула: (bс) а.}

23)Если он при пожаре выпрыгнет из окна(а), то рискует получить либо ожоги(b), либо травмы(с), либо то(b) и другое(с)-

Формула: а(bс(bс)).

24) Если допоздна работать за компьютером (а)и при этом пьешь много кофе(b), то утром просыпаешься в дурном расположении духа (с)или с головной болью(d)-

Формула: (аb)(cd).



3.4 Отрицание простых суждений

Два суждения называются отрицающими (противоречащими) друг другу, если одно из них истинно, а другое ложно (т.е. не могут быть одновременно истинными и одновременно ложными).

Правило отрицания

1) Количественной характеристикой суждения является слова «все» - () и «некоторые» - (), которые при операции отрицания взаимно заменяются.

2) Качественной характеристикой суждения является слова «есть» и «не есть», которые при операции отрицания взаимно заменяются.

3) Единичные суждения при отрицании изменяют лишь качество, т.е.

(Это S есть P) (Это S не есть P).

Например, отрицанием суждения a = «Все студенты сдают экзамены», будетa = «Некоторые студенты не сдают экзамены».

Отрицанием единичного суждения a = «Иванов отличник» будет суждение a = «Иванов не является отличником». Отрицанием сужденияa = «Земля есть неподвижый центр Вселенной», будет a = «Земля не есть неподвижный центр Вселенной».Отрицанием суждения a = «Москва больше всех европейских городов», будетa = «Москва не больше некоторых европейских городов».

В результате отрицания исходного простого суждения образуется хотя и новое, но тоже простое суждение.В процессе отрицания меняется не только форма суждения, но и самый его смысл: оно становится противоречащим исходному, исключающим его.

Отрицающими являются следующие пары суждений:

1) A - O, «Все S есть P» и «Некоторые S не есть P».

2) E - I, «Ни одно S не есть P» и «Некоторые S есть P».

Действительно,

A =(Все S есть P) (Некоторые S не есть P) = O;

E = (Ни одно S не есть P) (Некоторые S есть P) = I .

Таким образом, отрицание производится в соответствии со схемами:

А = О, О = А,E = I, I = E- законы логики.

Различают внешнее и внутреннее отрицание. Внутреннее отрицание входит в состав простого суждения (отрицание связки либо термина). Например: «Некоторые люди не имеют высшего образования» или «Данное решение суда (S) является необоснованным (не-Р)». Внешнее отрицание означает отрицание всего суждения. Например: «Неверно, что все юристы - высококлассные специалисты».

Запишем теперь эквивалентности, позволяющие перенести внешнее отрицание, стоящее перед категорическим суждением, во внутреннюю его структуру, либо устранить его вовсе:

(Все S есть P) ? Некоторые S не есть P.

(Все S не есть P) ? Некоторые S есть P

(Некоторые S есть P) ? Все S не есть P

(Некоторые S не есть P) ? Все S есть P

Например, отрицанием сужденияa = «Все студенты нашей группы - отличники» будетa = А = О= «Некоторые студенты нашей группы не являются отличниками».

Если суждениеa = «Все преступления являются умышленные», то суждение «Не все преступления являются умышленными» = «Не (все преступления являются умышленными)»=?a= А = О = «Некоторые преступления не являются умышленными».

Двойное отрицание равнозначно исходному суждению, т.е. a = a.

Например, «Неправда, что не все преступления - общественно опасные» = «Неправда, что не (все преступления - общественно опасные)»а = а = «Все преступления - общественно опасные».

Упражнение3.11. Произвести отрицание следующих суждений.

1) Я завтра уезжаю в Тамбов - (Я завтра не уезжаю в Тамбов).

2) Каждый, совершивший преступление, должен быть подвергнут наказанию - (Некоторые, совершившие преступление, не подвергаются наказанию).

3) Ни один невиновный не должен быть привлечен к уголовной ответственности - (Некоторые невиновные привлекаются уголовной ответственности).

4) Некоторые приговоры суда являются обвинительными - (Ни один приговор суда не является обвинительным).

5) Все сны ужасны - (Некоторые сны не являются ужасными).

6) Ни один сон не ужасен - (Некоторые сны ужасны).

7) Солнце - не звезда - (Солнце - звезда).

8) Люди - не ангелы - (Некоторые люди - ангелы).

9) Ни один вопрос студента не остался без ответа - (Некоторые вопросы студента остались без ответа).

10) Некоторые приговоры суда не являются обвинительными - (Все приговоры суда являются обвинительными).

11) Большинство подростков отличаются активным поведением - (Все подростки не отличаются активным поведением).

12) Ничто не проходит бесследно - (Кое-что проходит бесследно).

13) На всех не угодишь - (На некоторых угодишь).

14) Волк овце не товарищ - (Некоторые волки овце товарищи).

15) Каждый жилец знает своих соседей - (Некоторые жильцы не знают своих соседей).

16) Каждый студент изучает какую-нибудь науку - (Некоторые студенты не изучают никаких наук).

17) Каждый адвокат знает некоторых прокуроров лучше, чем некоторых судей - (Некоторые адвокаты не знает любого прокурора лучше, чем любого судью).

18) Все юристы изучают логику, и все философы изучают логику - (Некоторые юристы и некоторые философы не изучают логику).

19) Некоторые студенты нашей группы не знают ни одного древнего языка - (Все студенты нашей группы знают какой-нибудь древний язык).

20) Некоторые студенты нашей группы знают какой-нибудь древний язык - (Ни один студент нашей группы не знает никакого древнего языка).

21) Каждый юрист знает некоторого математика лучше, чем каждого логика - (...