Основные вопросы формальной логики

17) Неверно, что некоторые дети не болеют= О = А =Все детиболеют.

18) Не было дня в этом месяце, когда бы не шел дождь = О = А = Каждый день в этом месяце шел дождь.

19) Не было дня в этом месяце, когда бы шел дождь = I = Е = Каждый день в этом месяце не шел дождь.



3.5 Отрицание сложных суждений

Особое место в логике высказываний занимают тождественно истинные формулы - законы алгебры логики. В логике высказываний законы логики используются для доказательства эквивалентности формул с помощью их преобразований.

Две формулы алгебры логики А и В называются равносильнымиили эквивалентными, если они принимают одинаковые значения при любом наборе значений, входящих в эти формулы переменных. Равносильность будем обозначать знаком (?) , или (=), а запись А ? В означает, что формулы А и В равносильны.

Для выяснения равносильности двух формул достаточно составить их таблицы истинности и убедиться, что они совпадают.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

Имеет место следующий закон:

(ab) (ab).

ЎДоказательство следует из рассмотрения следующей таблицы истинности для правой и левой части закона

Сравнивая выделенные столбцы таблицы, убеждаемся, что они полностью совпадают, т.е. формулы равносильны^

Эквивалентное преобразование данной формулы позволило выразить одно суждение (с импликацией) на другое (с дизъюнкцией).

Например, «Если Иванов имеет юридическое образование (а), то он знает логику (b)» = (ab) (ab) = «Иванов не имеет юридического образования или он знает логику».

Из коммутативности дизъюнкции (ab) (bа) следует формула

(ab) (ab) (bа) (bа),

любая часть которой является тождественно истиной.

Получена формула (ab) (bа) - (правило перевёртывания).

Например, «Если я не заболею (а), то буду на лекции (b)» = (ab) (bа) = «Если я не буду на лекции (), то я заболел ()».

Имеет место следующий закон:

Доказательство следует из рассмотрения следующей таблицы истинности

		a	b		ab	ab	(ab)( ab)

Эквивалентное преобразование данной формулы позволило выразить

эквиваленциючерез операции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.

Справедливы законы Моргана:

1. (ab) ab;

2. ;

3. ;

4. .

Словесные формулировки законов Моргана:

Отрицание есть отрицаний.

Доказательство законов Моргана следует из рассмотрения следующих таблиц истинности для правой и левой части соответствующего закона

Доказательство 1- го закона Моргана

Доказательство 2- го закона Моргана

Доказательство 3- го закона Моргана
					()

Доказательство 4- го закона Моргана
					()

Из 1-го закона Моргана следует «Неверно, что сегодня холодно (a) или сыро (b)» = = «Сегодня не холодно () и не сыро ()».

Из 2-го закона Моргана следует: «Неверно, что нет дождя () или нет снега ()» = = «Идет дождь(a) и идет снег (b)».

Из 3-го закона Моргана следует: «Неверно, что завтра будет холодно (а) и дождливо (b)» = = «Завтра не будет холодно (а) или не будет дождливо (b)».

Из 4-го закона Моргана следует: «Неверно, что сегодня не холодно (а) и не сыро (b)»= = «Сегодня холодно(а) или сыро (b)».

Установление рассмотренных эквивалентностей с помощью таблиц истинности открывает возможность, уже не обращаясь, всякий раз непосредственно к сопоставлению самих таблиц, преобразовывать одни суждения в другие.Благодаря замене одних суждений другими, эквивалентными им, можно упрощать сложные рассуждения, используя одни логические союзы вместо других. Так, в любом, самом сложном суждении можно, пользуясь правилом замены одних логических союзов другими, устранить все знаки, кроме только знаков конъюнкции и отрицания, или лишь дизъюнкции и отрицания, или же импликации и отрицания. Этим обстоятельством широко пользуются в символической логике - прежде всего в логикевысказываний.

Правило отрицания сложного суждения

I.Правило отрицания сложного высказывания с конъюнкцией и дизъюнкцией:

1. Операции конъюнкции () и дизъюнкции () взаимно заменяются.

2. Над буквами, выражающие простые высказывания, ставится символ

отрицания, а если он уже есть, то отбрасывается.

II. Правило отрицания сложного высказывания с импликацией:

3. Заменить импликацию дизъюнкцией по формуле

(ab) (ab).

4. По общему правилу отрицанию высказывания с дизъюнкцией произвести отрицание, т.е.

(ab) (ab) (ab).

Например, рассмотрим сложное суждение: «Если я зайду в гости (a), то опоздаю на лекцию (b)» = (ab). Его отрицание: «Я зайду в гости (a) и не опоздаю на лекцию (b)».

III. Правило отрицания сложного высказывания с эквиваленцией:

5. Заменить эквиваленцию на дизъюнкцию и конъюнкцию по формуле

6. По общему правилу отрицанию высказывания с дизъюнкцией и конъюнкцией произвести отрицание, т.е.

(ab) ((ab)(ab)) (ab)(ab).

Например, рассмотрим сложное суждение: «Человек не может работать (a) тогда и только тогда, когда он больной (b)». Его отрицание: «Неверно, что человек не может работать (a) тогда и только тогда, когда он больной (b)» = (ab) (ab)(ab) = «Или человек не может работать (a), хотя он и не больной (b) или он может работать (a), хотя и больной (b)».

Знание смысла отрицания как простого, так и сложного суждения имеет принципиальное значение для понимания сущности формально-логических законов непротиворечия и исключенного третьего, а также логических основ косвенного доказательства.

Отрицание как логическая операция часто применяется в практике мышления. Оно незаменимо, например, в полемике, когда в противовес одним суждениям высказываются другие, противоречащие им, когда сталкиваются взаимоисключающие мнения.

Упражнение3.13. Пусть суждение а = «это утро ясное», а b = «это утро теплое». Выразите следующие формулы на обычном языке, не используя внешнее отрицание и импликацию:

ab - (это утро ясное и теплое);

ab - (это утро ясное и не теплое);

ab - (это утро не ясное и не теплое);

ab - (это утро не ясное или теплое);

ab - (это утро ясное или не теплое);

ab - (это утро не ясное или не теплое);

(ab) = ab - (это утро не ясное или не теплое);

(ab) = ab - (это утро не ясное и не теплое);

(ab) = ab - (это утро ясное или не теплое);

(ab) = (ab)- (это утро не ясное или теплое);

(ab) = (ab)- (это утро ясное и не теплое);

ab= (ab)- (это утро не ясное или не теплое);

ab= (ab)- (это утро ясное или не теплое).

Упражнение3.14. Произвести эквивалентные преобразования суждений.

1) «Если студент посещает лекции (а), то он сдаст экзамен (b)» =(ab) =(ab) = «Студент не посещает лекции или сдаст экзамен».

2) «Если я не буду лениться(а), то выучу логику(b)» =(ab) = (ab) =

«Я буду лениться или выучу логику».

3) «Неверно, что если не знаешь ответ (а), то есть смысл задавать вопрос (b)» = (ab) =(ab) = «Не знаешь ответ, и нет смысла задавать вопрос».

4) «Неверно, что Петров адвокат(а) и в то же время судья(b)»= (аb) =(аb) = «Петров не адвокат или он не судья».

5) «Неверно, что Петров изучал логику в вузе (а) или что он изучал ее самостоятельно (b)» = (аb) = (аb) = «Петров не изучал логики в вузе, и он не изучал ее самостоятельно».

6) «Неверно, что он пьёт (а) и не закусывает (b)» =(ab) = ab = «Он не пьёт или закусывает».

7) «Неверно, что одна сторона стремилась к мирному решению конфликта (a), в то время как другая не стремилась (b)» = (аb) = (аb) = «Одна сторона не стремилась к мирному решению конфликта или другая стремилась к этому».

Упражнение 3.15. Используя правила перевертывания, произвести эквивалентные преобразования суждений.

1) «Если Вини - Пух съел мёд (а), то он сыт (b)» =(ab) = (ba) = «Если Вини-Пух не сыт, то мёда он не ел».

2) «Если служащий нарушил дисциплину (a), то администрация предприятия обязана взять устное (b) или письменное (с) объяснение» = (a (bс)) = ((bс)a) = ((bс)a) = «Если администрация предприятия не берет ни устные, ни письменные объяснения, то служащий не нарушал дисциплину».

3) «Если у меня будет свободное время (a), то я буду пить кофе (b) и смотреть телевизор (с)» = (a (bс)) = ((bс)a) = ((bс)a) = «Если я не пью кофе или не смотрю телевизор, значит, у меня нет свободного времени».

4) «Автомобиль подлежит конфискации (а), если он служил орудием совершения преступления(b) или был добыт преступным путём(с)» = (bc)а = (a(bc)) =(a(bc)) = «Если автомобиль не конфискован, то он не служил орудием совершения преступления и не был добыт преступным путём».

Упражнение3.16. Произвести отрицание сложных высказываний.

1) «Шел дождь(a), и светило солнце(b)» = . Отрицание: = «Или дождь не шел, или не светило солнце».

2) «Водород бесцветен (a)и не имеет запаха(b)» = (ab).Отрицание: (ab)= «Водород имеет цвет или запах».

3) «Я постараюсь занять деньги у знакомых(a), или возьму кредит в банке(b)» = . Отрицание: = «Я не буду занимать деньги у знакомых и не возьму кредит в банке».

4) «Он или больной(a), или уехал в командировку(b)» = . Отрицание: = «Он не больной и не уехал в командировку».

5) «Он хорошо играет в шашки (a) или в шахматы (b)» = . Отрицание: = «Он плохо играет в шашки и шахматы».

6) «Все юристы изучают логику(a), и все философы изучают логику(b)» = . Отрицание: = «Некоторые юристы или философы не изучают логику».

7) «Некоторые люди (a) или все врачи (b) имеют медицинское образование» =. Отрицание: = «Все людии некоторые врачи не имеют медицинского образования».

8) «Иванов - очевидец (a) или соучастник (b) преступления» =. Отрицание: = «Иванов - не очевидеци не соучастник преступления».

9) «Иванов (a) и Петров (b) совершили преступление» = . Отрицание: = «Иванов или Петров не совершали преступления».

10) «Иванов (a) или Петров (b) совершили преступление» = . Отрицание: = «Иванов и Петров не совершали преступления».

11) «Если студент посещает лекции (а), то он сдаст экзамен (b)» =(ab). Отрицание: (ab) = (ab)= «Студент посещает лекции и не сдаст экзамен».

12) «Если он будет участвовать в соревновании(a), то одержит победу(b)» =.Отрицание: (ab) = (ab)= «Он будет участвовать в соревновании, но не одержит победы».

13) «Курить (a) - здоровью вредить (b)» =. Отрицание: (ab) = (ab)= «Курюи здоровью не врежу».

14) «Покупатель получает изделие (a) и (одновременно) расплачивается наличными (b)» = . Отрицание: = «Покупатель не получает изделие или не расплачивается наличными».

15) «Если заболевание находится в зачаточном состоянии (а), то его трудно распознать (b), но легко излечить (с)» = (a(bc)). Отрицание: (a(bc)) ==(a(bc)) = (a(bc)) = «Заболевание находится в зачаточном состоянии и его нетрудно распознать или нелегко излечить».

16) «Если воду охлаждать (a), то ее объем уменьшится (b)» = . Отрицание: (ab) = (ab)= «Воду охлаждали, но ее объем не уменьшился».

17) «Если самому не делать контрольную работу(a), то трудно будет сдать экзамен(b)» = .Отрицание: (ab) = (ab)= «Сам не делаешь контрольную работу, и не трудно будет сдать экзамен».

18) «Если я буду иметь свободное время (а), то буду вязать (b) или посмотрю телевизор (с)» = (a (bс)). Отрицание: (a(bс)) =(a(bс))= a(bс) = «У меня будет свободное время, но я не буду вязать, и не буду смотреть телевизор».

19) «В случае если будет тепло(a) и солнечно(b), то мы пойдем гулять(с)» = ).Отрицание: ((ab)c) = (ab)c) = «Будет тепло и солнечно, но мы не пойдем гулять».

20) «Я получу паспорт (a) тогда и только тогда, когда мне исполнится 14 лет (b)» = (ab).Отрицание: (ab) (ab)(ab) = «Я получу паспорт, но мне не исполнилось 14 лет, или я не получу паспорт, а мне исполнилось 14 лет».

21) «Если я закончу работу (a), то пойду гулять (b) и зайду в магазин (с)» = a(bc). Отрицание: (a(bc)) = (a(bc)) = (a(bc)) = «Я закончу работу, но не пойду гулять или не зайду в магазин».

22) «Если я куплю машину (a), то поеду за город (b) или заверну на дачу (с)» = a(bc). Отрицание: (a(bc)) = (a(bc)) = (a(bc)) = «Я куплю машину, но не поеду за город и не заверну на дачу».

3.6 Логические отношения между суждениями

Суждения, как и понятия, могут быть сравнимыми и несравнимыми, совместимыми и несовместимыми.Но есть и существенное различие. Понятия, поскольку они ни истинны, ни ложны, не могут соотноситься друг с другом по истинности или ложности. Между суждениями же складываются многообразные отношения, прежде всего по истинности и ложности.

Главная цель логического анализа отношений между суждениями - установление истинностных значений одних суждений на основе достоверной информации об истинности или ложности других.

Отношения между простыми суждениями

Отношения между простыми категорическими суждениями можно представить в виде схемы, рис.3.9



Размещено на http://www.allbest.ru/

₄₁

Рис. 3.9

Отношения между простыми суждениями определяются, с одной стороны, их конкретным содержанием, а с другой -- логической формой: характером субъекта, предиката, логической связки.

По своему содержанию суждения делятся на сравнимые и несравнимые.

Несравнимыми являются суждения, имеющие различные субъекты или предикаты или то и другое вместе. Например, «Среди космонавтов есть женщины» и «Среди космонавтов есть мужчины». В подобных случаях истинность или ложность одного из суждений непосредственно не зависит от истинности или ложности другого.

Сравнимыми являются суждения с одинаковыми субъектами и предикатами и различающиеся связкой или квантором. Простые суждения A, E, I, O с одинаковыми субъектами и предикатами являются сравнимыми. Отношения между суждениями устанавливается по их истинностным значениям, при этом суждения должны быть только сравнимыми.

Отношения между простыми суждениями принято изображать в виде схемы, называемой логическим квадратом, рис. 3.10.

Размещено на http://www.allbest.ru/

₄₁

Рис. 3.10

Вершины квадрата символизируют простые категорические суждения A, E, I, O. Стороны и диагонали - отношения между суждениями.

По своей логической форме сравнимые суждения подразделяются на совместимые и несовместимые.

Совместимые суждения.Совместимымиявляются суждения, которые одновременно могут быть истинными. Совместимые суждения содержат одну и ту же мысль -- полностью или частично.

Различают три вида совместимости: эквивалентность (полная совместимость), частичная совместимость и подчинение.

Эквивалентными являются суждения, у которых субъект и предикат выражены одними и теми же или равнозначными понятиями (хотя и разными словами), причем и количество, и качество одни и те же.

Эквивалентные сужденияодновременномогут быть либо истинными, либо ложными. Эквивалентные суждения выражают одну и ту же мысль в различной форме. Например, «Москва является древним городом » и «Столица России является древним городом»; «Юрий Гагарин - первый космонавт» и «Юрий Гагарин первый полетел в космос».

С помощью латинского квадрата эквивалентные суждения не иллюстрируются.

Для дальнейшего рассмотрения и иллюстрации рассмотрим следующие простые суждения:

А = (Все свидетели дают истинные показания);

E = (Ни один свидетель не дает истинных показаний);

I= (Некоторые свидетели дают истинные показания);

O = (Некоторые свидетели не дают истинных показаний).

В отношении частичной совместимости находятся сужденияI и O, связанные нижней стороной латинского квадрата (различаются связками).

Оба суждения (I, O)могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.При ложности одного из них другое будет истинным, т.е.

IO, OI.

Например, при ложности суждения «Некоторые свидетели дают истинные показания» истинным будет суждение «Некоторые свидетели не дают истинных показаний».

При истинности одного из частных суждений другое может быть как истинным, так и ложным.

В отношении подчинения находятся суждения, имеющие общие предикаты, а субъекты этих суждений находятся в отношении подчинения.

Подчинение имеет место между суждениями A - I и E - O, связанными боковыми сторонами квадрата (субъекты находятся в отношении вида и рода). Общие суждения (А, Е) являются подчиняющими, а частные (I, O) - подчинёнными.

При подчинении действуют следующие закономерности:

при истинности общего суждения частное всегда будет истинным, т.е.

AI, EO,

но при истинности частного суждения(I, О) общее (А, Е) неопределенно;

при ложности частного суждения общее также будет ложным, т.е.

IA, OE,

но при ложности общего суждения (А, Е) частное (I, О)неопределенно.

Например, из истинности общего суждения «Все свидетели дают истинные показания» следует, что истинным также будет частное суждение «Некоторые свидетели дают истинные показания», а при ложности частного суждения «Некоторые свидетели не дают истинных показаний» следует ложность общего суждения «Ни один свидетель не дает истинных показаний».

Несовместимые суждения. Несовместимыми являются суждения, которые не могут быть одновременно истинными.Несовместимыми являются суждения А - Е, А - О, Е - I. Различают два вида несовместимости: противоположность и противоречие.

В отношении противоположности находятся суждения А-Е связанные верхней стороной латинского квадрата (различаются связками).

Противоположные суждения (А, Е)не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Истинность одного из противоположных суждений определяет ложность другого, т.е.

АЕ, ЕА.

Например, при истинности суждения «Все свидетели дают истинные показания» следует ложность суждения «Ни один свидетель не дает истинных показаний».

При ложности одного из противоположных суждений другое остается неопределенным.

В отношении противоречия находятся сужденияА-О и Е - I, связанные диагоналями латинского квадрата (связки различны, а субъекты находятся в отношении подчинения).

Два противоречащих суждения одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными.Из истинности одного из них следует ложность другого, а из ложности одного - истинность другого, т.е.

АO, OА, АO, OA

EI, IE, EI, IE

Например, из истинности суждения «Все свидетели дают истинные показания» следует ложность суждения «Некоторые свидетели не дает истинных показаний».

Несовместимые единичные суждения могут находиться лишь в отношении противоречия и не могут находиться в отношении противоположности, ибо каждому отдельному предмету может быть либо присущ, либо не присущ определенный признак.

Например, суждения «Аристотель является основоположником логики»и «Аристотель не является основоположником логики» находятся в отношении противоречия: если первое суждение истинно, то признается ложность второго, и наоборот.

Отношения между суждениями, показанные в логическом квадрате,можно представить в виде следующей таблицы (табл. 3.1):

Таблица 3.1.

Таблица истинности значений простых суждений

Истинность суждений
исходное	другие
A - ()	E - ()	I -()	O -()
A - ()	E - ( ? )	I - ( ? )	O -()
E - ()	A - ()	I -()	O - ()
E - ()	A- ( ? )	I -()	O - ( ? )
I - ()	A - ( ? )	E -()	O - ( ? )
I - ()	A -()	E -()	O - ()
O - ()	A -()	E - ( ? )	I - ( ? )
O - ()	A - ()	E -()	I - ()

Обозначено: () - истинно, () - ложно, (?) - неопределено.

Например, по известной истинности исходного суждения I= «Некоторые привычки полезны» - истинно, определим истинность другого суждения O= «Некоторые привычки бесполезны- ? Из табл. 3.1 следует, что другоесуждение O- неопределенно.

Чтобы определить отношение между простыми категорическими суждениями, нужно:

определить, какого вида эти суждения: А, Е, I, О;

найти соответствующие углы логического квадрата;

посмотреть какое отношение вписано между ними;

по характеру отношения установить связь истинностных значений для анализируемых суждений.

Указанные правила «логического квадрата» позволяют выводить логические значения одних суждений из логических значений других с адекватным содержанием.

Например, определим отношение между суждениями: (1)«Некоторые юристы адвокаты» и (2) «Не все юристы адвокаты». Определим вид этих суждений: (1)- частноутвердительное (I); (2) - общеутвердительное с отрицанием (А), причем, А = О. Определяем по логическому квадрату отношение между I и О. Отношение между ними - частичная совместимость. Это значит, что оба суждения (I, O)могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.При ложности одного из них другое будет истинным.

Упражнение3.17.Какие суждения будут по истинности?

1) Если А = (Каждое суверенное государство - субъект международных отношений) - истинно, то

Е= (Ни одно суверенное государство не является субъектом международных отношений) - ();

I = (Некоторые суверенные государства - субъекты международных отношений) - ();

О = (Некоторые суверенные государства не являются субъектами международных отношений) - ().

2) Если I = (Некоторые библиотеки являются научными учреждениями) -истинно, то

А = (Все библиотеки являются научными учреждениями) - ( ? );

Е= (Ни одна библиотека не является научным учреждением) - ();

О = (Некоторые библиотеки не являются научными учреждениями) - ( ? ).

3) Если Е = (Ни одна армия не организуется на профессиональной основе) - ложно, то

А = (Все армии организуются на профессиональной основе) - ( ? );

I= (Некоторые армии организуются на профессиональной основе) - ();

О = (Некоторые армии не организуются на профессиональной основе) - ( ? ).

4) Если I = (Некоторые обвиняемые имеют право на защиту) -ложно, то

А = (Все обвиняемые имеют право на защиту) - ();

Е= (Ни один обвиняемый не имеет право на защиту) - ();

О = (Некоторые обвиняемые не имеют право на защиту) - ().

5) Если О = (Некоторые школьники не умеют строить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику) - истинно, то

А = (Все школьники умеют строить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику) - ();

Е = (Ни один школьник не умеет строить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику) - ( ? )

I= (Некоторые школьники умеют строить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику) - ( ? ).

6) Если А = (Все студенты нашей группы живут в Мытищи) - истинно, то

Е= (Ни один студент нашей группы не живет в Мытищи) - ();

I = (Некоторые студенты нашей группы живут в Мытищи) - ();

О = (Некоторые студенты нашей группы не живут в Мытищи) - ().

7) Если А = (Все студенты нашей группы живут в Мытищи) -ложно, то

Е= (Ни один студент нашей группы не живет в Мытищи) - (?);

I= (Некоторые студенты нашей группы живут в Мытищи) - (?);

О = (Некоторые студенты нашей группы не живут в Мытищи) - ().

Упражнение3.18. Пользуясь только правилами логического квадрата, установите значение второго суждения на основании известного значения первого суждения.

1) «Безграмотность не вредит репутации»- ложно, «Безграмотность очень вредит репутации»- ?

(Е - А) - противоположность, A- неопределенно.

2) «Некоторые задачи имеют множество решений»- истинно, «Любая задача имеет множество решений»- ?

(I - А) - подчинение, A- неопределенно.

3)«Некоторые люди не самолюбивы» - истинно, «Человек самолюбив» - ?(О - А) - противоречие, A- ложно.

4) «Некоторые открытия остаются не понятыми современниками»- истинно, «Всякое открытие остается не понятым современниками»- ?

(О - Е) - подчинение, Е- неопределенно.

5) «Некоторые государства унитарные» - ложно, «Некоторые государства не унитарные»- ?

(I - О) - частичная совместимость, О- истинно.

6) «Любой человек доверяет своему внутреннему голосу»- ложно, «Некоторые люди доверяют своему внутреннему голосу»- ?

(А - I) - подчинение, I- неопределенно.

7) «Некоторые компьютерные игры не развивают мышление» - ложно, «Ни одна компьютерная игра не развивает мышление»- ?

(О - Е) - подчинение, Е- ложно.

8) «Некоторые юристы - не адвокаты» - истинно, «Все юристы - не адвокаты»- ?

(О - Е) - подчинение, Е- неопределенно.

9) «Некоторые практические занятия по логике бесполезны» - ложно, «Все практические занятия по логике бесполезны»- ?

(I - А) - подчинение, A- ложно.

10) «Все поэты - впечатлительны»- ложно, «Ни один поэт - не впечатлителен»- ?

(А - Е) - противоположность, Е- неопределенно.

11) «Ни один дельфин не живет на суше» - истинно, «Некоторые дельфины способны жить на суше»- ?

(Е - I) - противоречие, I- ложно.

12) «Ни один месяц не содержит тридцать второго числа»- истинно, «В некоторых месяцах нет тридцать второго числа»- ?

(Е - О) - подчинение, О- истинно.

13) «Некоторые студенты нашей группы сдали логику на «отлично»»- истинно, «Все студенты нашей группы сдали логику на «отлично»»- ?

(I - А) - подчинение, A- неопределенно.

14) «Некоторые предприниматели имеют высшее образование»- ложно, «Некоторые предприниматели не имеют высшее образование»- ?

(I - О) - частичная совместимость, О- истинно.

15) «Все судьи - юристы» - истинно, «Ни один судья не является юристом»- ?

(А - Е) - противоположность, Е- ложно.

16) «Все великие люди низкого роста» - истинно, «Некоторые великие люди не являются людьми низкого роста»- ?

(А - О) - противоречие, О- ложно.

17) «Ни один студент нашей группы не курит» (Е) - ложно, «Некоторые студенты нашей группы не курят»- ?

(Е - О) - подчинение, О- неопределенно.

18) «Каждый кулик свое болото хвалит»- истинно, «Некоторые кулики свое болото хвалят»- ?

(А - I) - подчинение, I- истинно.

19) «Все планеты обитаемы - ложно, «Некоторые планеты не обитаемы» - ?

(A - O) - противоречие, O- истинно.

20) «Некоторые привычки полезны» - истинно, «Некоторые привычки бесполезны- ?

(I - O) - частичная совместимость, O- неопределенно.

Отношение между сложными суждениями

По аналогии с простыми суждениями, сложные суждения могут быть сравнимыми и несравнимыми, совместимыми и несовместимыми. Но их отношения имеют специфику, обусловленную более сложной структурой.

Сравнимыесложные суждения включают в себя одинаковые исходные (простые) суждения и различаются логическими связками (конъюнкция, дизъюнкция и т.д.), включая отрицание.

Например, сравнимыми являются два суждения: «Норвегия или Швеция имеют выход в Балтийское море» (ab); «Ни Норвегия, ни Швеция не имеют выхода в Балтийское море» (ab). Одинаковость составляющих и дает возможность соотносить их по смыслу и выяснять отношения между ними по истинности и ложности.

Несравнимые сложные суждения отличаются тем, что их составляющие полностью или частично разные. Поэтому такие суждения невозможно сопоставить по смыслу и анализировать их отношения по истинности и ложности.

Между сравнимыми сложными суждениями складываются такие же виды отношений, как между простыми суждениями.Характер этих отношений определяется с помощью сводной таблиц истинности(табл. 3.2). В ней зачеркнутые строки означают, что оба суждения не могут принимать данные значения одновременно.



Таблица 3.2.

Сводная таблица истинности логических отношений между сложными суждениями

Размещено на http://www.allbest.ru/

₄₁

У сравнимых суждений в сводной таблице истинности среди сочетаний их истинностных значений отсутствует, хотя бы одна возможная комбинация.

Сравнимые сложные суждения, как и простые, бывают совместимыми и несовместимыми.

Совместимые суждения - это суждения, которые могут быть одновременно истинными.

Среди совместимых суждений имеют место отношения эквивалентности, частичной совместимости и подчинения (логического следования).

1) Эквивалентными являются суждения, которые одновременномогут быть либо истинными, либо ложными.

В таблице 3.2 (эквивалентные) не встречается комбинация значений (и,л) и (л,и), но встречаются все остальные возможные комбинации.

Отношение эквивалентности позволяет выражать одни сложные суждения через другие -- конъюнкцию через дизъюнкцию или импликацию, и наоборот.

2) Частично совместимыми являются суждения, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

В таблице 3.2 (частично совместимые) не встречается комбинация значений (л,л), но встречаются все остальные возможные комбинации.

3) Подчинение между суждениями имеет место в том случае, когда при истинности подчиняющего суждения подчиненное всегда будет истинным.

В таблице 3.2 (подчиненные) не встречается комбинация значений (и,л), но встречаются все остальные возможные комбинации.

Несовместимые суждения - это суждения, которые одновременно не могут быть истинными. Среди несовместимых суждений имеют место отношения противоположности и противоречия.

1) Противоположными являются суждения, которые одновременно не могут быть истинными, но могут бытьодновременно ложными.

В таблице 3.2 (противоположные) не встречается комбинация значений (и,и), но встречаются все остальные возможные комбинации.

2) Противоречащими являются суждения, которые одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными. При истинности одного из них другое будет ложным, а при ложности первого второе будет истинным.

В таблице 3.2 (противоречащие) не встречается комбинация значений (и,и) и (л,л), но встречаются все остальные возможные комбинации.

Чтобы получить сложное суждение, противоречащее исходному последнее нужно подвергнуть отрицанию.

Для определения отношений между сложными суждениями нужно:

определить по главному логическому союзу вид анализируемых сложных суждений;

записать символически в виде формул их логические формы;

построить их совместную истинностную таблицу;

сравнить истинностные значения формул данных суждений и по их характеру определить вид отношения.

Упражнение3.19. Определить отношения между сложными суждениями.

1) «Храбрец либо сидит в седле, либо спит в сырой земле» и «Храбрец не сидит в седле и не спит в сырой земле».

ЎОпределим логические союзы, и составим формулы этих суждений.

Первое суждение: «Храбрец либо сидит в седле (a), либо спит в сыройземле (b)» = ab.

Второе суждение: «Храбрец не сидит в седле (a) и не спит в сырой земле (b)» = ab.

Составим таблицу истинности для формул ab и ab

Сравнивая результирующие столбцы данной таблицы с таблицей 3.2, получаем, чтоэти суждения находятся в отношении противоположности^

2) «Если подсудимый виновен, то у него был сообщник» и «Подсудимый виновен, но у него не было сообщника».

ЎОпределим логические союзы, и составим формулы этих суждений.

Первое суждение: «Если подсудимый виновен(a), то у него был сообщник(b)» = ab.

Второе суждение: «Подсудимый виновен (a), но у него не было сообщника (b)» = ab.

Составим таблицу истинности для формул ab и ab

Сравнивая результирующие столбцы данной таблицы с таблицей 3.2, получаем, чтоэти суждения находятся в отношении противоречия ^

3) «Иванов совершил преступление или был его соучастником» и «Если Иванов совершил преступление, то был его соучастником».

ЎОпределим логические союзы, и составим формулы этих суждений.

Первое суждение: «Иванов совершил преступление(a)или был его соучастником (b)» = ab.

Второе суждение: «Если Иванов совершил преступление (a), то был его соучастником (b)» = ab.

Составим таблицу истинности для формул ab и ab

Сравнивая результирующие столбцы данной таблицы с таблицей 3.2, получаем, чтоэти суждения находятся в отношении частичной совместимости ^

4) «Все преступники должны быть наказаны и нести ответственность за содеянное» и «В данном случае ни один преступник не наказан и не несет ответственности за содеянное».

ЎОпределим логические союзы, и составим формулы этих суждений.

Первое суждение: «Все преступники должны быть наказаны(a)и нести ответственность за содеянное(b)» = ab.

Второе суждение: «В данном случае ни один преступник не наказан (a) и не несет ответственности за содеянное (b)» = ab.

Составим таблицу истинности для формул ab и ab

Сравнивая результирующие столбцы данной таблицы с таблицей 3.2, получаем, чтоэти суждения находятся в отношении противоположности^

5) «Некоторые ученые занимаются наукой и преподавательской деятельностью.» и «Некоторые ученые занимаются наукой, но не занимаются преподавательской деятельностью».

ЎОпределим логические союзы, и составим формулы этих суждений.

Первое суждение: «Некоторые ученые занимаются наукой(a)и преподавательской деятельностью(b)» = ab.

Второе суждение: «Некоторые ученые занимаются наукой (a),но не занимаются преподавательской деятельностью (b)» = ab.

Составим таблицу истинности для формул ab и ab

Сравнивая результирующие столбцы данной таблицы с таблицей 3.2, получаем, чтоэти суждения находятся в отношении противоположности^

6) «Адвокат и подсудимый сфабриковали алиби» и «Адвокат или подсудимый сфабриковали алиби».

ЎОпределим логические союзы, и составим формулы этих суждений.

Первое суждение: «Адвокат (a)и подсудимый (b)сфабриковали алиби» = ab.

Второе суждение: «Адвокат (a)или подсудимый (b)сфабриковали алиби» = ab.

Составим таблицу истинности для формул ab и ab

Сравнивая результирующие столбцы данной таблицы с таблицей 3.2, получаем, чтомежду суждениями существуют отношения подчинения, при этом первое суждение подчиняет второе ^

7) «Если не высказаны противоположные мнения, то не из чего выбирать наилучшее» - (Геродот) и «Неверно, что если противоположные мнения высказаны, то есть из чего выбирать наилучшее».

ЎОпределим логические союзы, и составим формулы этих суждений:

«Если не высказаны противоположные мнения (a), то не из чего выбирать наилучшее (b)» = (ab);

«Неверно, что если противоположные мнения высказаны (a), то есть из чего выбирать наилучшее (b)»=(ab) = (ab)= «Противоположные мнения высказаны (a), но выбирать наилучшее не из чего (b)»

Составим таблицу истинности для формул (ab) и (ab)

Сравнивая результирующие столбцы данной таблицы с таблицей 3.2, получаем, чтомежду суждениями существуют отношения подчинения, при этом второе суждение подчиняет первое^

3.7 Модальность суждений

Суждение как форма мышления содержит двоякого рода информацию - основную и дополнительную. Основная информация находит явное выражение в субъекте и предикате суждения, в логической связке и кванторах.

Модальность- это дополнительная характеристика суждения, оценка того, что в нем утверждается или отрицается с точки зрения законов природы, логики, правовых норм и познания.

Модальные характеристики представляют собой такие оценочные понятия, применение которых позволяет уточнять информацию, содержащуюся в суждении.

В общем случае модальность суждения можно представить схемой: Ма, где М - модальный оператор, а - суждение.

Например, немодальное суждение «Медь - это металл» можно представить модальными суждениями «Возможно, что медь - металл», «Доказано, что медь - металл».

Истинность модального суждения зависти от истинности суждения, стоящего под модальным оператором и от модальности, т.е. оценки, которая этому суждению дается.

Степень обоснованности оценки суждению обычно выражается в трех формах:

1) сильно положительное - «необходимо», «обязательно», «доказано»;

2) слабое- «возможно», «разрешено», «неразрешимо»;

3) сильно отрицательное - «невозможно», «запрещено», «опровергнуто».

Различные точки зрения для оценки суждения дают три вида модальности:

1) алетическая;

2) деонтическая;

3) эпистемическая.

Модальность называется алетической, если оценка суждению дается с точки зрения законов природы или логики («необходимо», «возможно», «невозможно»).

Например, «Возможно, что существуют внеземные цивилизации», «Невозможно, чтобы человек в своей жизни никогда не ошибался.

Модальность называется деонтической, если оценка суждению дается с точки зрения норм права («обязательно», «разрешено», «запрещено»).

Например, «Запрещено курить в салоне для некурящих», «Причинитель вреда обязан возместить вред потерпевшему в полном объеме».

Модальность называется эпистемической, если оценка суждению дается с точки зрения познания («доказано», «неразрешимо», «опровергнуто»).

Например, «Опровергнуто, что Сальери отравил Моцарта», «Доказано, что Земля вращается вокруг Солнца».

Классификация модальных суждений по основным характеристикам приведена в следующей таблице

Операторы	Алетическая	Деонтическая	Эпистемическая
Сильно положительное	Необходимо	Обязательно	Доказано
Слабое	Возможно	Разрешено	Неразрешимо
Сильно отрицательное	Невозможно	Запрещено	Опровергнуто



В алетической группе выделяют фактическую и логическую модальности. Фактическая модальность характеризует суждение с точки зрения законов природы, а логическая модальность - с точки зрения законов логики. Для их различия модальные операторы уточняют. Например, «логически необходимо», «фактически возможно».

Например, «Логически невозможно, что если этот человек спит, то он не спит», и «Физически невозможно, что крокодил беззубый, а ёжик без иголок».

Существуют отношения между логическими и фактическими модальностями:

1) если верно, что суждение логически необходимо, то оно фактически необходимо, но не наоборот;

2) если верно, что суждение фактически возможно, то оно логически возможно, но не наоборот;

3) если верно, что суждение логически невозможно, то оно фактически невозможно, но не наоборот.

Например, из справедливости суждения «Логически невозможна на Луне жизнь» следует справедливость суждения «Фактически невозможна на Луне жизнь».

Между сильным положительным, слабым и сильным отрицательным модальными операторами в каждой группе существует отношения, которые можно определить по логическому квадрату модальности, рис. 3.11

Размещено на http://www.allbest.ru/

₄₁

Рис. 3.11

Здесь сверху расположены суждение с сильно положительным (СП) модальным оператором (слева) и сильно отрицательным (СО) модальным оператором (справа). А снизу - суждение со слабым (Сл) модальным оператором (слева) и отрицание этого суждения со слабым оператором (справа).

Например, для алетической модальности логический квадрат модальности выглядит так, рис.3.12

Размещено на http://www.allbest.ru/

₄₁

Рис. 3.12

По квадрату видим, что

1) необходимоа и невозможноа не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными (отношение противоположности);

2) необходимо а и возможно не-а не могут быть вместе ни истинными, ни ложными (отношение противоречия);

3) из необходимо а следует возможно а, а из невозможно а следует возможно не-а (отношение подчинения);

4) возможно а и возможно не-а не могут быть вместе ложными, но могут быть вместе истинными (отношение частичной совместимости).

Например, из истинности суждения «Невозможно, что на Луне - жизнь» следует истинность суждения «Возможно, на Луне нет жизни».

Упражнение3.20. Определите вид модальности в суждениях.

1) Применение уголовного закона по аналогии не допускается - (деонтическая, сильно отрицательное).

2) Разрешен проезд автомобиля при зеленом свете светафора - (деонтическая,слабая).

3) Невозможно построить вечный двигатель - (алетическая, сильно отрицательное).

4) Установлено, что Иванов - организатор преступления - (эпистемическая, сильно положительное).

5) Вероятно, молоко было одним из первых продуктов сельского хозяйства - (алетическая, слабая).

6) Вероятно, обвиняемый будет освобожден от уголовной ответственности - (эпистемическая, слабая).

7) В общественном транспорте запрещается провозить легко воспламеняющиеся вещества - (деонтическая, сильно отрицательное).

8) Зачислить на постоянную работу слесарем 5-го разряда ИвановаА.И. с 10.04.15 - (деонтическая, слабая).

9) Доказано, что если увеличить продолжительность рабочего дня, прибыль предпринимателя возрастет»- (эпистемическая, сильно положительное).

10) Возможно, наше предприятие добьется успеха на рынке - (алетическая, слабое).

11) Запрещено заниматься изготовлением оружия малым предприятиям - (деонтическая, сильно отрицательное).

12) Возможно, что товар добротный и дешевый - (алетическая, слабая).

13) Обвиняемый может быть оправдан - (алетическая, слабая).

14) Решения Конституционного суда не должны быть обжалованы в суде второй инстанции - (деонтическая, сильно отрицательное).

15) Ньютон был убежден, что алхимия - наука - (эпистемическая, сильно положительное).

16)Если вода нагревается до 100С, то она с необходимостью закипает - (деонтическая, сильно положительное).

17) Необходимо, что ультрафиолетовые лучи уничтожают бактерий и вирусов - (алетическая, сильно положительное).

18) Я знаю, что осенью бывает холодно - (эпистемическая, сильно положительное).

19) Следует уважать свободу воли другого человека - (деонтическая, сильно положительное).

20) По показаниям свидетелей Николаев не участвовал в похищении материальных ценностей - (эпистемическая, сильно положительное).



Глава 4. Логика вопросов и ответов

<...