Маркетинговые исследования

Shopping Budapest, чтобы выработать позитивное отношение к рекламе, и это стало главным оружием в конкурентной борьбе [6].

НЕМЕТРИЧЕСКАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Иногда маркетологу необходимо вычислить коэффициент корреляции между двумя неметрическими переменными. Вспомним, что неметрические переменные нельзя измерить с помошью интервальной или относительной шкалы и они не подчиняются закону нормального распределения.

Коэффициент неметрической корреляци (nonmetric correlation)

Показатель корреляции вх\9 двух неметрических переменных, в котором используются ранги переменных.

Для вычисления обоих коэффициентов используют ранги, а не абсолютные значения переменных, и подход, лежащий в основе их применения, совершенно одинаков. Оба коэффициента изменяются в диапазоне от -- 1 до +1 (см. главу 15).

При отсутствии связанных рангов значение коэффициента ранговой корреляции Спирмена р, значительно ближе к коэффициенту парной корреляции Пирсона р, чем коэффициента ранговой корреляции Кендаллат. В этих случаях абсолютное значение г стремится стать меньше, чем с Пирсона. С другой стороны, если данные содержат большое количество связанных рангов, то коэффициент г больше подходит для вычисления корреляции. В качестве эмпирического правила стоит запомнить, что коэффициент ранговой корреляции Кендалла целесообразно использовать, когда большинство наблюдений попадает в относительно небольшое число категорий (что приводит к большому количеству связанных рангов). И наоборот, целесообразно использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена, когда мы имеем относительно большое число категорий (что приводит к небольшому количеству совпадаюших рангов) [7].

Парная корреляция, так же как частный и частичный коэффициенты корреляции, составляют концептуальную основу для парного и множественного регрессионного анализа.

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Регрессионный анализ (regression analysis) -- это мощный и гибкий метод установления формы и изучения связей между метрической зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными.

Регрессионный анализ (regression analysis)

Статистический метод установления формы и изучения связей между метрической зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными.

Регрессионный анализ используют в следующих случаях.

Действительно ли независимые переменные обуславливают значимую вариацию зависимой переменной; действительно ли эти переменные взаимосвязаны?

В какой степени вариацию зависимой переменной можно объяснить независимыми переменными: теснота связи?

Определить форму связи: математическое уравнение, описывающее зависимость между зависимой и независимой переменными

Предсказать значения зависимой переменной.

Контролировать другие независимые переменные при определении вкладов конкретной переменной.

Хотя независимые переменные могут объяснять вариацию зависимой переменной, это необязательно подразумевает причинную связь. Использование в регрессионном анализе таких терминов, как зависимая или критериальная переменная и независимая переменная (предиктор) отражает наличие математической зависимости между переменными. Данная терминология не подразумевает существование причинно-следственной связи между переменными. Регрессионный анализ имеет дело с природой и степенью связи между переменными и не предполагает, что между ними существует какая-либо причинная связь. Вначале мы обсудим парную регрессию, а затем множественную.

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Парная регрессия (bivariate regression) -- это метод установления математической (в форме уравнения) зависимости между одной метрической зависимой (критериальной) переменной и одной метрической независимой переменной (предиктором). Во многом этот анализ аналогичен определению простой корреляции между двумя переменными. Однако для того чтобы вывести уравнение, мы должны одну переменную представить как зависимую, а другую -- как независимую.

Парная регрессия (bivariate regression)

Метод установления математической (в форме уравнения) зависимости между двумя метрическими перемнными' зависимой и независимой.

Примеры, приведенные ранее при изучении простой корреляции, рассмотрим с точки зрения регрессии.

Можно ли вариацию в объеме продаж объяснить расходами на рекламу? Какова форма этой зависимости и можно ли ее выразить в виде уравнения, описывающего прямую линию?

Зависит ли вариация доли рынка от количества торгового персонала?

Определяется ли отношение потребителей к качеству товара их отношением к цене на этот товар?

Прежде чем обсудить процедуру выполнения двумерной регрессии, определим основные статистики.

СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ С ПАРНЫМ РЕГРЕССИОННЫМ АНАЛИЗОМ

Ниже приведены статистики и термины, относящиеся к парному регрессионному анализу, Модель парной регрессии. Основное уравнение регрессии имеет вид У, =вВ + /ЗД + е„ где У~ зависимая или критериальная переменная, X-- независимая переменная, или предиктор, Ра -- точка пересечения прямой регрессии с осью OY; Pt -- тангенс угла наклона прямой и е, -- остаточный член (остаток), связанный с Я-м наблюдением, характеризующий отклонение от функции регрессии1.

Коэффициент детерминации. Тесноту связи измеряют коэффициентом детерминации г. Он колеблется в диапазоне между 0 и 1 и указывает на долю полной вариации У, которая обусловлена вариацией X.

Вычисляемое (теоретическое) значение Y. Вычисляемое значение Уравно Yt = а + Ьх, где У, -- вычисляемое значение У , а параметры а и Ь -- это вычисляемые оценки Д, и в, соответственно.

Коэффициент регрессии. Вычисляемый параметр ъ обычно называют ненормированным коэффициентом регрессии.

Диаграмма рассеяния (поле корреляции). Поле корреляции -- это графическое представление точек с координатами, определяемыми значениями двух переменных (независимой и зависимой), для всех наблюдений.

Стандартная ошибка уравнения регрессии, Эта статистика SEE представляет собой стандартное отклонение фактических значений Уоттеоретических значений У .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии Ь. Стандартное отклонение Ь, обозначаемое SEb, называется стандартной ошибкой.

Нормированный коэффициент регрессии. Также называется бета-коэффициентом, или взвешенным бета-коэффиииентом. Показывает изменение У в зависимости от изменения X (угол наклона прямой уравнения регрессии) при условии, что все данные нормированы.

В литературе этот член уравнения называют также ошибочным (ошибкой) или возмущающим членом (возмушршем). -- Прим. науч. ред.

Сумма квадратов ошибок. Значения расстояний всех точек до линии регрессии возводят в квадрат и суммируют, получая сумму квадратов ошибок, которая является показателем общей ошибки .

-статистика, /-статистику с л -- 2 степенями свободы можно использовать для проверки нулевой гипотезы, которая утверждает, что между X и i не существует линейной зависимости

или Н(1: в, = 0, где /= %п .

ВЫПОЛНЕНИЕ ПАРНОГО РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Стадии, из которых состоит процедура парного регрессионного анализа, приведены на рис. 17.2.

Предположим, что маркетолог хочет выяснить, зависит ли отношение к городу от длительности проживания в нем (см. табл. 17.1). При выводе уравнения такой зависимости целесообразно вначале изучить поле корреляции,

Поле корреляции

Это графическое изображение точек с координатами, соответствующими значениям двух переменных для всех случаев. Обычно значения зависимой переменной откладывают по вертикальной оси, в значения независимой -- по горизонтальной. Поле корреляции используется при определении формы зависимости между переменными, График дает исследователю первое представление о форме данных и о возможных проблемах. На графике легко идентифицировать любую необычную комбинацию переменных. График зависимости У (отношение к городу) от ^(продолжительность проживания) дан на рис. 17.3.

Из рисунка видно, что точки располагаются полосой от нижнего левого угла в верхний правый. На графике можно увидеть форму зависимости: с ростом одной переменной другая переменная также увеличивается. Из рисунка видно, что зависимость между К и X носит линейный характер и поэтому может быть описана уравнением прямой линии. Как следует "подогнать" к этим точкам прямую линию, чтобы она наилучшим образом описывала данные?

Самый распространенный метод для расчета уравнения линейной регрессии по данным на диаграмме рассеяния -- это метод наименьших квадратов (least-squan *procedure).

Метод наименьших квадратов (least-square .procedure)

Метод, используемый для расчета параметров уравнения линейной регрессии, когда на основе поля корреляции минимизируются расстояния по вертикали всех точек поля от графика регрессии.

Методом наименьших квадратов определяют наиболее подходящую прямую регрессии, минимизируя расстояния по вертикали всех точек поля корреляции от этой прямой. Наиболее подходящая прямая называется линией регрессии. Если точка поля не лежит на линии регрессии, то расстояние по вертикали от нее до линии называется ошибкой е. (рис. 17.4)

Расстояния от всех точек до линии регрессии возводят в квадрат и суммируют, получая сумму квадратов ошибок, и это число показывает суммарную ошибку

Для определения наиболее подходяшей линии с помощью метода наименьших квадратов минимизируют суммы квалрато. ошибок. Если значения Уотложит по вертикальной оси, а значения X-- по горизонтальной, как показано на рис. 17.4, то полученная аппроксимированная линия называется регрессией УпоХ, так как расстояния по вертикали минимизированы. Поле корреляции показывает, можно ли зависимость Упо X выразить прямой линией и, следовательно, подходит ли к этим данным парная регрессионная модель.

Модель парной регрессии

В модели парной регрессии форма прямой линии выражается уравнением:

г=с„+вч

где Х-- зависимая, или критериальная переменная, X-- независимая переменная, или предиктор, в0-- отрезок прямой, отсекаемый на оси ПХ, в,-- угловой коэффициент (тангенс угла наклона).

Эта модель исходит из того, что У полностью определяется X. При известных значениях ва и в, можно предсказать значение У. Однако в маркетинговом исследовании немного связей между переменными четко детерминированы. 11оэтому, чтобы учесть вероятностную природу связи, в регрессионное уравнение вводят ошибочный член. Базовое уравнение регрессии принимает вид:

Хй = вб+вйЧ + ^

где с,--член уравнения, характеризующий ошибку i-roнаблюдения [8]. Оценка регрессионных параметров Д,и ft относительна проста.

Определение параметров уравнения регрессии

В большинстве случаев Д, и в, неизвестны, и их определяют (оценивают), исходя из имеющихся выборочных наблюдений с помощью следующего уравнения:

Ы, =а + Ьх,

где У, -- теоретическое значение Х,, а а и Ь -- вычисленные значения в„ и в„ соответственно,

Константу Ь обычно называют ненормированным коэффициентом регрессии. Он выражает угол наклоналинии регрессии и показывает ожидаемое изменение Гпри изменении .ЛГна единицу. Формулы для вычисления а и Ь просты [9]. Угловой коэффициент Ь можно вычислить через ковариацию между X и У(СОК ]и дисперсию Хт\о формуле:

Вспомнив, изложенную ранее формулу вычисления среднего в простой корреляции,, получим: ~Х =9,333 Ф =6,583

При заданном з = 12, вычислим Ь по формуле;

а = У -ЬХ = 6,583~(0,5897)(9,333) ¦ 1,0793

Обратите внимание, что эти коэффициенты вычислены из исходных (не преобразованных) данных. Если данные нормированы, то вычисление нормированных коэффициентов не вызовет затруднений.

Нормированный коэффициент регрессии

Нормирование (standartization) представляет собой процедуру, посредством которой исходные данные преобразуют в новые переменные со значением средней, равным нулю, и дисперсией, равной 1 (глава 14). После нормирования данных, отрезок, отсекаемый на оси OY, принимает значение 0. Нормированный коэффициент регрессии обозначают как "бета"-коэффициент или взвешенный "бета "-коэффициент. В этом случае угловой коэффициент регрессии Ф по Албозначаемый Вхг тот же, что и угловой коэффициент регрессии X по Х, обозначаемый Более того, каждый из этих коэффициентов регрессии равен простому (линейному) коэффициенту корреляции между X и У:

Br*~B*i=''rx>

Существует простая связь между нормированным и ненормированным коэффициентами регрессии-

Для регрессии, показатели которой представлены в табл. 17.2, значение "бета"-коэффициента оценивается как 0,9361.

0,93608

0,87624 0,86387 1,22329

Поскольку параметры определены можно проверить их значимость.

Проверка значимости

Статистическую значимость линейной связи между X и У можно проверить, исследовав гипотезы: //„:&= 0

Нулевая гипотеза предполагает, что между Л( и Уне существует линейной зависимости. Альтернативная гипотеза утверждает, что между X и К существует зависимость, либо положительная, либо отрицательная. Обычно проводят двустороннюю проверку. Можно использовать г-статистику с « -- 2 степенями свободы, где Ъ

SF. обозначает стандартное отклонение Ь, и этот показатель называют стандартной ошибкой коэффициента регрессии b [10]. /-распределение обсуждалось в главе 15.

Используя компьютерную программу (например SPSS) и данные табл. 17.1, регрессия отношения к городу от длительности проживания в нем даст результаты, представленные в табл. 17.2. Величина отрезка а, отсекаемого на оси OY, равна 1,0793, угловой коэффициент (наклон кривой) b равен 0,5897. Следовательно, вычисленное (теоретическое) уравнение регрессии иметь вид

Отношение ( y) -- 1,0793 + 0,5897 (длительность проживания)

Стандартная ошибка, или стандартное отклонение b определено как 0,07008, и значение I-статистики равно: t = 0,5897/0,0701 = 8,414 с з - 2 = 10 степенями свободы. Из табл. 4 Статистического приложения видно, что критическое значение /-статистикис 10 степенями свободы и уровнем значимости а 0,05 равно 2,228 для двусторонней проверки. Поскольку вычисленное значение /-статистики больше критического значения, то нулевую гипотезу отклоняют. Следовательно, между отношением к городу и длительностью проживания в нем существует статистически значимая линейная зависимость. Положительный знак углового коэффициента указывает на то, что эта связь положительная (прямо пропорциональная). Другими словами, чем дольше человек живет в городе, тем лучше он к нему относится.

Теснота и значимость связи

Соответствующий статистический вывод включает определение тесноты и значимости связи между УнХ. Тесноту связи измеряют коэффициентом детерминации А В парной регрессии г7 представляет собой квадрат линейного коэффициента корреляции. Коэффициент й3 изменяется от 0 до I Он показывает долю от полной вариации Х, которая обусловлена вариацией переменной X. Разложение полной вариации переменной У аналогично разложению полной вариации в дисперсионном анализе (глава 16). Как показано на рис. 17.5, полная вариация SSf раскладывается на вариацию, которую можно объяснить, исходя из линии регрессии SSpeiftcailll и вариацию ошибки или остаточную вариацию,

Чтобы проиллюстрировать определение / рассмотрим снова влияние продолжительности проживания в городе на отношение к нему. Из ранее сделанных вычислений коэффициента парной корреляции видно, что

Теоретическое значение ^ можно определить на основании уравнения регрессии Отношение (У )= 1,0793 + 0,5897 (длительность проживания) Для первого наблюдения в табл. 17.1 это значение равно

( Х,) -1,0793 + 0,5897 ч 10 - 6,9763

Для каждого последующего наблюдения теоретические значения будут следующими (в порядке расположения): 8,1557; 8,1557; 3,4381; 8,1557; 4,6175; 5,7969; 2,2587; 11,6939; 6,3866; 11,1042; 2,2587. Следовательно,

^™ = Х(^): = <6'9763- 6.5833А-(8,1557 - 6,5833)\

1-1

(8,1557 - 6,5833)' + (3,4381 - 6,5833)' + (? 1557 - 6.5833)2 + (4,6175 - 6.5833)2 + (5,7969 - 6,5833)' + {2,2587 - 6,5833)2 + (11,6939 - 6,5833)' + (6,6866 - 6,5833)5 + (11.1042 -6.5833)' + (2,2587 - 6.5833)' = 0,1544 + 2,4724 + 2,4724 + 9,8922 + 2,4724 + 3,8643 + 0,6184+ 18,7021 + 21,1182 + 0,0387 + 20,4385 + 18,7021 = 105,9522

SS_ = %у, ~ у)' = (6- 6,9763)'+- (9 - 8,1557)' +(8 - 8,1557)'

i = l

+ (3 - 3,4381)'+ (8 - 8,1557)'+ (4-4,6175)'

+ (5 - 5,7969)' + (2 - 2,2587)3 +(11- 1) ,6939)2

+ (9 - 6,3866)' + (Ю - 11,1042)' + (2 - 2,2587)' = 14.9644

Другой равноценной проверкой значимости линейной зависимости между X и Х (значимости Ь) является проверка значимости коэффициента детерминации. В этом случае гипотезы имеют следующий вид:

Соответствующе»! статистикой, лежащей в основе критерия, является /"-статистика:

SS

SS Ип -IV

которая подчиняется /-распределению с 1 и и - 2 степенями свободы, /"-критерий представляет собой обобщенную форму '-критерия (см. главу 15). Если случайная переменная подчиняется /"-распределению с п-степекямисвободы, то значения ^подчиняются /^распределениюс 1 и л-степенями свободы. Следовательно, /"-критерий для проверки значимости коэффициента детерминации эквивалентен проверке следующих гипотез:

Д,:/3,= 0

или

"„:/>= 0

Из табл. 17.2 видно, что 105,9522

Г = = 70,8027 ,

(105.9522+14,9644)

это равно ранее рассчитанному значению. Вычисленное значение /-статистики равно:

105.9522

Г= =70,8027

(105.9522 + 14,9644)

с 1 и 10 степенями свободы, Вычисленное значение Г-статистики превышает критическое значение, равное 4,96 (определено по табл. 5 Статистического приложения). Следовательно, зависимость статистически значима при уровне значимости а = 0,05, подтверждая результаты проверки с помощью /-критерия. Если зависимость между А" и У статистически значима, то имеет смысл вычислитьзначения Х, исходя из значений X, и оценить точность предсказания.

Точность предсказания

Чтобы оценить точность предсказанных (теоретических) значений У , полезно вычислить стандартную ошибку оценки уравнения регрессии SEE. Эта статистика представляет собой стандартное отклонение фактических значений У от предсказанных значений У .

или, в более общем виде, при наличии к независимых переменных

SEE можно интерпретировать как вид среднего значения остатка или среднюю ошибку предсказания Y, исходя из уравнения регрессии [11J.

Могут иметь место два случая предсказания. Исследователь хочет предсказать среднее значение /для всех вариантов с заданным значением X, скажем Х„, или значение У для одного

случая. В обеих ситуациях предсказанное значение одно и то же, обозначаемое У и равное

Y=a+bX0

Однако стандартная ошибка для этих ситуаций разная, хотя в обеих ситуациях она является функцией SEE. Для больших выборок стандартная ошибка предсказания среднего значения У

равна SEEf-Jn, а ошибка предсказания отдельного значения Уравна SEE. Следовательно, построение доверительных интервалов (см. главу 12) для предсказанных значений варьирует в зависимости от того, необходимо ли предсказать единственное значение наблюдения или среднее значение.

Для данных табл. 17.2 SEE вычисляют по формуле

Последние две стадии выполнения парного регрессионного анализа, а именно, анализ остаточного члена и модель перекрестной проверки, мы рассмотрим ниже, а сейчас вернемся к предпосылкам, лежашим в основе регрессионной модели.

Предпосылки регрессионного анализа

Регрессионная модель при оценке параметров и проверке значимости (рис. 17.4) исходит из рядадопущений.

Ошибочный член уравнения регрессии (остаточный компонент) подчиняется закону нормального распределения. Для каждого определенного значения X распределение У нормальное [12].

Средние значения всех этих нормальных распределений У, при заданном X, лежат на пря-мойлинии с угловым коэффициентом А

Среднее значение ошибочного члена равно 0.

Дисперсия ошибочного члена постоянна. Эта дисперсия не зависит от значений, принятых X.

Между ошибочными членами автокорреляция отсутствует. Другими словами, значения ошибочных величин независимы между собой.

То. в какой степени модель должна соответствовать этим допущениям, можно понять из анализа остаточных членов, который рассматривается в разделе, посвященном множественной регрессии [13].

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ

Множественная регрессия (multiple regression) включает одну зависимую переменную и две или больше независимых

Множественная регрессия (multiple regression)

Статистический метод, с помощью которого можно вывести математическую зависимость между двумя или больше независимыми переменными и зависимой переменной, выраженной с помощью интервальной или относительной шкалы.

Вопросы, аналогичные тем, для ответа на которые маркетологи используют парную регрессию, также можно решить с помощью множественной регрессии. Только в этом случае исследователи имеют дело с дополнительными независимыми переменными.

* Можно ли вариацию объема продаж объяснить с точки зрения расходов на рекламу, цен и уровня каналов распределения?

Может ли вариация доли рынка зависеть от количества торгового персонала, расходов на рекламу и бюджета на продвижение товара?

* Определяется ли восприятие потребителей качества товара их восприятием цены, имиджа торговой марки и характеристик товара?

С помощью множественной регрессии можно ответить на следующие дополнительные вопросы.

Какую долю вариации объема продаж можно объяснить расходами на рекламу, ценами и уровнем каналов распределения?

* Чему равен вклад расходов на рекламу в объяснении вариации объема продаж при контролируемых переменных -- уровнях цен и распределения?

Какие объемы продаж можно ожидать, исходя из данных уровней расходов на рекламу, цен или уровня распределения?

ПРИМЕР. Всемирные торговые марки -- местная реклама

Европейцы хорошо относятся к товарам из других стран, но когда дело доходит до рекламы, они предпочитают местную рекламу. Опрос, проведенный компанией Yankelovich and Partners и ее филиалами, показывает, что в Европе самой любимой рекламой потребительских товаров является реклама местных торговых марок, несмотря даже на то, что сами потребители предпочитают покупать зарубежные фирменные товары. Респонденты во Франции, Германии и Великобритании назвали Coca-Cola в качестве наиболее часто покупаемого безалкогольного напитка. Однако самой любимой коммерческой рекламой французы j назвали рекламу известной местной марки -- воды Perrier. Аналогично, в Германии любимой рекламой оказалась реклама немецкого безалкогольного пива Clausthaler. Однако в Великобритании наиболее предпочитаемым безалкогольным напитком оказалась Coca-Cola, и 1 наиболее предпочитаемой рекламой также оказалась реклама Coca-Cola. В свете этих фактов J встал важный вопрос -- способствует ли реклама товара его покупке? Увеличивает ли j реклама вероятность покупки товара или она просто поддерживает определенный уровень ( признания товара? В этой ситуации можно построить регрессионную модель, в которой зависимая переменная представляет собой вероятность покупки товара, а независимыми переменными являются оценки отношения к товару и оценки рекламы. Чтобы оценить любой значимый вклад в вариацию покупки товара, следует построить отдельные модели с наличием и без наличия переменной -- реклама, Чтобы выявить любой значимый вклад I обоих переменных -- характеристик товара и рекламы, можно также выполнить отдельные I проверки с помощью /-критерия. Результаты укажут, в какой степени реклама влияет на ^принятие решения о покупке товара [14].

Общая форма модели множественной регрессии (multiple regression model) имеет вид:

г=д +д х, + р,хл &х3+...&хк+в

Модель множественной регрессии (multiple regression model)

Уравнение, используемое дли объяснения результатов множественного регрессионного анализа.

Модель оценивают следующим уравнением: У = a + Ь,Х, + b2X2+b,Xi + ...bkXt

Как и раньше, коэффициент а представляет собой отрезок, отсекаемый на оси OY, но коэффициенты Ь являются теперь частными коэффициентами регрессии. Здесь мы используем на основании метода наименьших квадратов критерий, который оценивает параметры таким образом, чтобы минимизировать суммарную ошибку SS^. Этот процесс также максимизирует корреляцию между фактическими значениями Х и предсказанными значениями У. Все предпосылки, которые используются в парной регрессии, применимы и для множественной регрессии. Мы дадим определения нескольким статистикам, а затем опишем процедуру выполнения множественного регрессионного анализа [15].

СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ СО МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИЕЙ

Большинство статистик и статистических терминов, описанных при рассмотрении парной регрессии, также применимы и во множественной регрессии. Дополнительно используют следующие статистики.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации Я1. Коэффициент множественной детерминации Л* корректируют с учетом числа независимых переменных и размера выборки, чтобы снизить влияние зависимости коэффициента детерминации от количества переменных. После введения нескольких первых переменных дополнительные независимые переменные не так сильно влияют на коэффициент детерминации.

Коэффициент множественной детерминации К1. Тесноту связи между переменными при множественной регрессии измеряют, возводя в квадрат коэффициент множественной корреляции.

/'-критерий. Используется для проверки нулевой гипотезы о том, что коэффициент множественной детерминации в совокупности /?"«и равен нулю. Это эквивалентно проверке нулевой гипотезы Uv: вВ =в, =fl2 = в1... = вй = 0. Статистика, лежащая в основе критерия для проверки гипотезы, подчиняется /-распределениюс&и (п--к-- 1) степенями свободы.

Частный F-критерий. Значимость частного коэффициента регрессии в переменной X, можно проверить, используя приростную /-статистику. Она основана на приращении в объясняемой сумме квадратов, полученном добавлением независимой переменной Х.в уравнение регрессии после исключения всех других независимых переменных.

Частный коэффициент регрессии. Частный коэффициент регрессии bi обозначает изменение

в предсказанном значении У при изменении Л, на единицу, когда другие независимые переменные от Х-, доXt остаются неизменными.

ВЫПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВЕННОГО РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Стадии, входящие в процедуру выполнения множественного регрессионного анализа, аналогичны рассмотренным для двумерного регрессионного анализа. При обсуждении мы обратим особое внимание на частные коэффициенты регрессии, тесноту связи, проверку значимости и анализ остаточных членов.

Частные коэффициенты регрессии

Чтобы понять значение частного коэффициента регрессии, расмотрим случай с двумя независимыми переменными:

Ы = а+Ь1Х,+ Ь2Х1

Во-первых, отметим, что величина частного коэффициента регрессии независимой переменной, в основном, отличается от коэффициента двумерной регрессии той же переменной. Другими словами, частный коэффициент регрессии Ь1 отличается от коэффициента регрессии Ь, полученного при установлении зависимости Утолько от переменной X,. Это происходит потому, что \,и л обычно взаимосвязаны. В парной регрессии Л',не принимают во внимание, и любое изменение вариации в У, за которую совместно отвечают X, и Х2 относят на счет X,. Однако в случае нескольких независимых переменных это несправедливо.

Интерпретация частного коэффициента регрессии Ь, заключается в том, что он представляет ожидаемое изменение величины У, когда X, изменяется на единицу, а Х^ остается постоянной, т.е. управляемой (контролируемой) переменной. В отличие от этого, Л.-представляет ожидаемое изменение Упри изменении Л'на единицу, когда X, остается постоянной. Поэтому названия Ь, нечастые коэффициенты регрессии, соответствуют действительности. Кроме того, результаты совместного влиняияА", и А':на У суммируются. Иначе говоря, если каждую из переменных X, и Х2 изменить на единицу, то ожидаемое изменение значения Убудет равно (ь, + ь,).

Логически, зависимость между коэффициентом парной регрессии и частным коэффициентом регрессии можно проиллюстрировать следующим образом. Предположим, что мы исключили эффект от влияния Х.изА, Это можно сделать, установив регрессию Л^по Х~ Иначе говоря, можно воспользоваться уравнением X, -- а + ЬХ:м вычислить остаточный член Xr=(X, -- Xt).Тогда частный коэффициент регрессии ь, станет равным коэффициенту парной регрессии ь, полученному из уравнения Х = а '¦- * Таким образом, частный коэффициент регрессии ь, равен коэффициенту парной регрессии Ь между переменной Уи остаточным значением переменной Xj, не учитывая эффекта от влияния переменной Xj- Частный коэффициент регрессии Ь интерпретируем аналогично.

Распространение этого примера на случай с к переменными не вызывает затруднений. Частный коэффициент регрессии Ъ, представляет ожидаемое изменение У, когда Чй изменяется на единицу, а переменные от Х2до Достаются неизменными Это можно интерпретировать как коэффициент парной регрессии о для регрессии переменной У от остаточных значений переменной X, при исключенных эффектах переменных с<хХ2доХк.

"Бета"-коэффиииенты являются частными коэффициентами регрессии, полученными после того, как перед оценкой уравнения регрессии, все переменные (У, X„X2,...Xt,)нормированы с получением их среднего значения, равного нулю, и дисперсии, равной 1. Связь между нормированным и ненормированным коэффициентами та же, что и рассмотренная ранее;

Отрезок, отсекаемый на оси ПХ, и частный коэффициент регрессии определяют решением системы уравнений, выведенной дифференцированием и приравниванием к нулю частных производных. Поскольку эти коэффициенты можно вычислить с помощью разных компьютерных программ, мы не будем вдаваться в детали. Однако стоит отметить, что уравнения нельзя решить, если размер выборки л меньше или равен числу независимых переменных к; или одна независимая переменная тесно связана с другой.

Предположим, что при объяснении зависимости отношения к городу от длительности проживания в нем, мы сейчас введем вторую переменную-- погодные условия. Данные, полученные от 12 респондентов и касающиеся отношения к городу, длительности проживания в нем и погодных условий, приведены в табл. 17.1. Результаты множественного регрессионного анализа даны в табл. 17.3. Значение частного коэффициента регрессии для переменной X, (длительность проживания), равное 0,4811, теперь отличается от значения, полученного в анализе парной регрессии. Соответствуюший "бета"-коэфициентравен 0,7636. Частный коэффициент регрессии для переменной Л\(погодные условия) равен 0,2887 с "бета"-коэффициентом, равным, 0,3138.

Теоретическое уравнение регрессии имеет вид:

(Ы) = 0,33732 + 0,48108 X, + 0,28865 Х2

или

отношение к городу = 0,33732 + 0,48108 (длительность проживания) + 0,28865 (погодные условия)

0,97210 094498 093276 0,65974

Это уравнение можно использовать для разных целей, включая предсказание отношения к городу при заданных длительности проживания в нем и отношения респондента к погодным условиям региона.

Теснота связи

Степень тесноты связи определим, используя соответствующие показатели связи между переменными. Полную вариацию можно разложить (как и для парной регрессии) следующим образом:

f V = TV + V?

Тесноту связи измеряют, возводя в квадрат коэффициент множественной корреляции, получая коэффициент множественной детерминации R1

Коэффициент множественной корреляции Л можно рассматривать как линейный коэффициент корреляции г между У и 1 . Следует сделать несколько замечаний относительно определения R~. Коэффициент множественной детерминации R не может быть меньше, чем самое высокое значение любой отдельной независимой переменной с зависимой переменной. Значение R1 больше, когда корреляция между независимыми переменными слабее. Если независимые переменные статистически независимы (не коррелированы), то значение R1 представляет собой сумму коэффициентов парной детерминации каждой независимой переменной с зависимой переменной. Значение R2 не может уменьшаться при добавлении независимых переменных в уравнение регрессии. Однако снижение влияния зависимости коэффициента детерминации от количества переменных устанавливается таким образом, что после введения нескольких первых переменных дополнительные независимые переменные не вносят такой большой вклад в значение коэффициента детерминации [16]. Поэтому R' корректируют с учетом числа независимых переменных и размера выборки, используя следующую формулу:

Это значение выше, чем значение г7, равное 0,8762, полученное для парной регрессии. Значение ^парной регрессии представляет собой квадрат простого коэффициента корреляции между отношением к городу и длительностью проживания в нем. Значение R?, полученное в множественной регрессии, также выше, чем квадрат простого коэффициента корреляции между отношением к городу и отношением к погодным условиям (которое определено как 0,5379) Скорректированный коэффициент детерминации /допределен следующим образом:

Обратите внимание, что значение скорректированного коэффициента детерминации R-близко к значению обычного коэффициента детерминации Я "их значение больше, чем у коэффициента детерминации г для парной регрессии. Это означает, что добавление второй независимой переменной -- погодные условия, вносит определенный вклад в вариацию переменной -- отношение к городу.

Проверка значимости

Проверка значимости включает проверку значимости общего уравнения регрессии и конкретных частных коэффициентов регрессии. Нулевая гипотеза для проверки общего уравнения гласит, что коэффициент множественной детерминации для генеральной совокупности ^г««™ равен нулю:

Это эквивалентно следующей нулевой гипотезе

Общую проверку можно выполнить, используя /"-статистику F - VJ -

{я-к-1) R-tk

(l-R')t(n-k-l)'

которая имеет /-распределение с к и (я -- к -- 1) степенями свободы [17]. Результаты проверки которая является значимой при а = 0,05.

Если общую нулевую гипотезу отклоняют, то один или несколько частных коэффициентов регрессии в совокупности имеют значение, отличное от нуля. Чтобы определить, какие из конкретных коэффициентов Д отличны от нуля, выполним дополнительные проверки. Проверку значимости Д выполним тем же способом, что и в случае парной регрессии, т.е. используя /-статистику. Значимость частного коэффициента для переменной -- погодные условия -- можно выполнить с помощью уравнения

I- * = 0-2887 = 3.353. SEt 0,08608

которое подчиняется /-распределению с (п -- к -- 1) степенями свободы. Этот коэффициент статистически значим при уровне значимости а = 0,05. Значимость коэффициента для переменной -- длительность проживания, проверяют аналогичным образом и находят, что он статистически значимый. Следовательно, обе переменные: погодные условия и длительность проживания, имеют значение при объяснении отношения респондента к своему городу.

Ряд компьютерных программ позволяют проводить расчет /-критерия, что зачастую называется вычислением частного /-критерия. Такой расчет включает разложение суммы квадратов общей регрессии на компоненты, соответствующие каждой независимой переменной.

В обьином подходе эту процедуру осуществляют при допущении, что каждую независимую переменную добавляют в уравнение регрессии после включения в него всех других независимых переменных. Приращение к объясняемой сумме квадратов, получаемое после добавления независимой переменной Хп представляет собой компонент вариации, присущий этой переменной и обозначаемый SS%I [18]. Значимость частного коэффициента регрессии для этой переменной в, проверяют, используя /-статистику прирашения:

которая имеет /-распределение с 1 и (п -- к -- 1) степенями свободы. В то время как высокое значение Л" и значимые частные коэффициенты регрессии достаточно удобны, эффективность регрессионной модели должны быть оценена анализом остатков.

Анализ остатков

Остаток, остаточный член (residual) -- это разность между наблюдаемым значением Х,з теоретическим значением, предсказанным регрессионным уравнением Ы

Остаток остаточный член (residual)

Разность между наблюдаемым значением Х и теоретическим значением, предсказанным регрессионным уравнением Ы,.

Значения остаточных членов используют при вычислении некоторых статистик, связанных с регрессией. В дополнение к этому диаграммы рассеяния остатков, которые показывают их значения в зависимости от предсказанных значений V,. времени или предикторов дают полезную информацию для анализа правильности сделанных допущений [19].

Допущение нормальности распределения ошибочного члена проанализируем, построив гистограмму остатков. Визуальный осмотр покажет, является ли распределение нормальным. Дополнительное доказательство получим, определив процент остатков, попадающих в область ± 1 SE или ± 2 SE. Эти проценты можно сравнить с ожидаемыми для нормального распределения (68% и 95% соответственно). Более формальную оценку можно получить, применив одновыборочный критерий Колмогорова--Смирнова.

Предположение о постоянном значении дисперсии ошибочного члена проанализируем, нанеся на график значения остатков в зависимости от вычисленных значений независимой

переменной Х,. Если точки нанесены на график неупорядоченно, то дисперсия ошибочного

члена -- величина постоянна. На рис. 17.6 показана форма расположения остаточных членов, дисперсия которых зависит от значений f",.

График зависимости значений остатков от времени или последовательности наблюдений прольет некоторый свет на допущение, что ошибочные члены некоррелированны. Если это предположение справедливо, то форма рсположения остаточных членов носит случайный характер. График, подобный приведенному на рис. 17.7, показывает линейную зависимость значений остатков от времени.

Более формальную процедуру проверки корреляции между ошибочными членами даст критерий Дарбина -- Уотсона (20},

Графическое изображение зависимости значений остаточных членов от независимых переменных предоставляет доказательство того, насколько подходит теоретическая модель регрессии. График должен показывать случайную форму расположения остаточных членов. Значения остатков должны располагаться случайным образом относительно одинаково вокруг нуля. Они не должны смешаться ни в положительную, ни в отрицательную стороны.

Для того чтобы понять, следует ли в уравнение регрессии вводить дополнительные независимые переменные, можно построить регрессию остатков от предполагаемых переменных. Если какая-либо переменная объясняет значительную долю остаточной вариации, то, вероятно, ее следует включить в уравнение регрессии. При введении переменных в уравнение регрессии необходимо руководствоваться целью исследования. Таким образом, анализ остатков позволяет глубже понять как соответствие лежащим в основе регрессионной модели допущениям, так и соответствие регрессионной модели. На рис. l"7.? изображен график, который показывает, что лежащие в основе регрессионной модели предположения удовлетворяются и линейная модель соответствует фактическим данным.

Если проверка остатков выявит, что лежашие в основе регрессионной модели допушения не выполняются, то исследователь может преобразовать переменные таким образом, чтобы эти предположения выполнялись. Такие преобразования, как логарифмирование, извлечение квадратного корня или вычисление обратных величин, могут стабилизировать дисперсию, сделать распределение нормальным и зависимость линейной. В дальнейшем мы проиллюстрируем применение множественной регрессии на примере.

! ПРИМЕР. "Нет" дополнительным расходам на рекламу

Широко распространено мнение, что цены на журналы зависят от рекламы, помещаемой Й на их страницах. Маркетологи провели исследование, посвященное изучению того, каким J образом наличие рекламы влияет на цену журнала.

Чтобы изучить зависимость между ценой журнала и такими переменными, как объем { журнала (стр.), тираж, процент распространения через газетные киоски, расходы на продвижение, процент цветных страниц и доходы от рекламы в расчете на один экземпляр, маркетологи применили множественный регрессионный анализ:

РРС -- цена одного экземпляра (в долл.) I объем журнала -- количество страниц в номере (в среднем) тираж -- логарифм среднего оплаченного тиража (в ООО) % распр. через газетные киоски -- % распространения через газетные киоски расходы на продвижение -- расходы на продвижение журнала %цветн. -- % цветных страниц

доход от рекламы -- доход от рекламы в расчете на один экземпляр (в долл.) Результаты регрессионного анализа, в котором зависимой переменной служила цена журнала в расчете на один экземпляр, представлены в табл. 1. Из шести переменных значимыми оказались три (р < 0,05): количество страниц, средний тираж и процент распространения через газетные киоски. Три переменные обусловили фактически всю из объяснимой дисперсии (R2-- 0,51; скорректированный R2 ' 0,48). Направление коэффициентов согласовалось с априорными ожиданиями: для количества страниц коэффициент был положительным, для тиража -- отрицательным и для процента распространения через газетные киоски -- положительным. Такой результат и можно было ожидать, исходя из особенностей ] данной сферы бизнеса, и он подтверждает предполагаемую зависимость.

Таблица 1. Регрессионный анализ с использованием цены одного экземпляра журнала как независимой переменной

	Ь	SE	F
Зависимая переменная: цена одного экземпляра
Независимые переменные:
Объем журнала	0.0084	0.0017	23,04*
Тираж	-0,4180	0,1372	9,29*
Процент распространения через газетные киоски	0,0067	0,0016	18.46*
Расходы на продвижение журнала	0,13-04"	0,0000	0,59
Процент цветных страниц	0,0227	0,0092	0,01
Доход от рекламы в расчете на один экземпляр журнала	0,1070	0,0412	0,07
Общий Я2	df = 9,93	Общая F-статистака = 16,19*

"р< 005

*' - количество десятичных знаков после запятой

Установлено, что расходы на продвижение журнала, использование цвета и доходы от рекламы в расчете на один журнал не связаны с ценой одного экземпляра журнала. Это выявлено в результате регрессионного анализа после исключения эффектов от влияния других переменных: тиража, процента распространения через газетные киоски и количества страниц редактора.

Поскольку эффект дохода от рекламы не был статистически значимым, то утверждение, что реклама снижает цену одного экземпляра журнала, не подтвердилось. Таким образом, наличие рекламы в журнале никакие влияет на цену журнала [21].

ПОШАГОВАЯ РЕГРЕССИЯ

Цель пошаговой регрессии (stepwise regression) состоит в отборе из большого количества предикторов небольшой подгруппы переменных, которые вносят наибольший вклад в вариацию зависимой переменной.

Пошаговая регрессия (stepwise regression)

Регрессионная процедура, в которой предикторы по очереди вводят или выводят из уравнения регрессии.

В этой процедуре предикторы вводят или выводят из уравнения регрессии по очереди [22]. Существует несколько подходов к выполнению пошаговой регрессии,

1. Прямое включение (прямая пошаговая регрессия). Вначале уравнение регрессии не содержит предикторов. Они вводятся по одному, если они удовлетворяют определенному F-критерию. В основе порядка введения включаемых переменных лежит вклад переменной в объясняемую вариацию.

Обратная пошаговая регрессия -- исключение переменной. Вначале все предикторы входят в уравнение регрессии. Затем по очереди выводятся из уравнения, исходя из их соответствия F- критерию.

Пошаговый подход. На каждой стадии прямое включение осуществляют одновременно с выводом предикторов, которые больше не удовлетворяют конкретному критерию.

Метод пошаговой регрессии не позволяет выводить оптимальные уравнения регрессии с точки зрения получения наибольшего коэффициента детерминации А для данного числа предикторов [23]. Из-за корреляций между предикторами важная переменная может никогда не быть включена в уравнение, а второстепенные переменные будут введены в уравнение. Чтобы определить оптимальное уравнение регрессии, желательно просчитать варианты, в которых анализируются все возможные комбинации. Несмотря на это, пошаговая регрессия полезна в ситуации, когда размер выборки велик по сравнению с количеством предикторов, как это показано на следующем примере.

ПРИМЕР. Покупать? Нет. посмотреть.

Для определения профиля посетителей магазинов местного торгового центра, не имеющих , определенной цели покупки (browsers), маркетологи использовали три набора независимых переменных: демографические, покупательское поведение; психологические. Зависимая переменная представляет собой индекс посещения магазина без определенной цели, индекс браузиига (browsing index). Методом ступенчатой регрессии, включающей все три набора переменных, выявлено, что демографические факторы -- наиболее сильные предикторы, определяющие поведение покупателей, не преследующих конкретных целей. Окончательное уравнение регрессии, содержащее 20 из 36 возможных переменных, включало все демографические переменные. В следующей таблице приведены коэффициенты регрессии, стандартные ошибки коэффициентов, а также их уровни значимости.

Регрессионный анализ (индекс браузинга - зависимая переменная) с использованием пошаговой регрессии

Общий R! = 0,477

При интерпретации коэффициентов регрессии следует иметь в виду, что чем меньше Я индекс браузинга (зависимая переменная), тем сильнее покупатели склонны демонстриро-I вать поведение, связанное с посещением магазина без определенной цели. Два предиктора с j самыми большими коэффициентами -- это пол и занятость. После учета этих переменных | обнаружено, что чаще всего посетителями без определенной цели являются работающие ' женщины, как правило, молодого возраста, причем с низким уровнем образования и дохода I и необязательно одиноки. Марктеологи определили, что большим размерам семьи соотвст-| ствуют меньшие значения индекса браузинга,

Посещение магазина людьми с низкими доходом указывает на то, что специализированные магазины в торговых центрах предлагают товары по умеренным ценам. Это может объяс- | I нить низкий уровень банкротства среди таких магазинов торгового центра и стремление доро- j 1 гих специализированных магазинов размешаться только в престижныхторговых центрах [24].

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ

Пошаговую и множественную регрессию осложняет мультиколлинеарность. Фактически всегда множественный регрессионный анализ в маркетинговых исследованиях имеет дело со связанными между собой предикторами. Однако мультиколлинеарность возникает тогда, когда связь между предикторами очень сильная [25].

Состояние очень высокой степени корреляции между независимыми переменными,

Мультиколлинеарность может привести к нескольким проблемам, включая следующие.

Частные коэффициенты регрессии нельзя точно определить. Значения стандартных ошибок скорее всего очень высокие.

Величины и знаки частных коэффициентов регрессии могут изменяться от выборки к выборке.

Трудно оценить относительную важность независимых переменных при объяснении вариации зависимой переменной,

Предикторы могут быть некорректно введены или исключены из уравнения регрессии в ступенчатой регрессии.

Не всегда ясно, за счет чего существует сильная му жги коллинеарность, хотя в литературе предлагается несколько эмпирических правил и процедур ее выявления. Чтобы справиться с проблемой мул ьти коллинеарности, предлагается изменить уровень сложности [26]. Простая процедура заключается в использовании только одной переменной из высококоррелированного набора переменных. Альтернативно, с помощью такого метода, как анализ главных компонентов, можно преобразовать набор независимых переменных в новый набор предикторов, взаимно независимых (глава 19). Кроме того, можно использовать специальные методы, такие как гребневая регрессия и факторный анализ [27].

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ПРЕДИКТОРОВ

При -мулътикоти неарности особое внимание следует уделить оценке относительной важности независимых переменных. При проведении маркетингового исследования целесообразно определить относительную важность предикторов. Другими словами, насколько значимы независимые переменные с точки зрения их вклада в вариацию зависимой переменной [28]"1 К сожалению, из-за взаимосвязанности предикторов в регрессионном анализе не существует однозначного показателя относительной важности предикторов [29]. Однако есть несколько широко распространенных подходов, используемых для оценки относительной важности независимых переменных.

Статистическая значимость. Если частный коэффициент регрессии переменной не является значимым, что определяется приростным F-критерием, то эту переменную не считают важной. Исключение из этого правила - - веские теоретические причины, полагающие, что эта переменная важная.

Квадрат линейного коэффициента корреляции. Этот показатель представляет долю вариации зависимой переменной, которую можно объяснить независимой переменной в парной зависимости.

Квадрат частного коэффициента корреляции. Этот показатель представляет собой коэффициент детерминации между зависимой и независимой переменными, при исключении эффектов от влияния других независимых переменных.

4. Квадрат частичного коэффициента корреляции. Этот коэффициент представляет увеличение R2, когда переменную вводят в уравнение регрессии, которое содержит другие независимые переменные

5. Показатели, основанные на нормированных коэффициентах или взвешенных "бета"- коэффициентах. Эти наиболее часто используемые показатели представляют собой абсолютные значения взвешенных "бета''-коэффициентов I pj или значения квадратов коэффициентов в2;. Поскольку это частные коэффициенты, то взвешенные "бета"-коэффициенты учитывают эффект других независимых переменных. Чем выше корреляция между предсказанными переменными (с ростом мультиколлинеарности), тем ненадежнее эти показатели.

6. Пошаговая регрессия. Порядок ввода или вывода предикторов в уравнение регрессии используют для определения их относительной важности.

Принимая во внимание, что предикторы взаимосвязаны, по крайней мере, в некоторой степени, фактически во всех регрессионных ситуациях, ни один из этих показателей не является достаточно надежным. Кроме того, возможно, что разные показатели могут указывать на различный порядок важности предикторов (могут располагать предикторы по степени важно-стивразном порядке) [30]. Однако если все показатели изучать совместно, то представление об относительной важности предикторов будет достаточно ясным.

ПЕРЕКРЕСТНАЯ ПРОВЕРКА

Прежде чем оценить относительную важность пгхедикторов или сделать какие-либо другие выводы, необходимо подвергнуть регрессионную модель перекрестной проверке. Дело в том, что для регрессии и других многомерных процедур характерно выявление случайных вариаций переменных. Это приводит к тому, что уравнение регрессии становится чрезмерно чувствительным к конкретным данным, используемым для построения модели. Одним из подходов для оценки модели из-за этой и других проблем, связанных с регрессией, -- перекрестная проверка. Перекрестная проверка (cross-validation) позволяет проанализировать, действительно ли регрессионная модель распространяется на сопоставимые данные, которые не использовались для построения модели.

Перекрестная проверка (cross-validation)

Проверка достоверности модели, с помошью которой изучают, применима ли регрессионная модель для анализа сопоставимых данных, не испогьзовавшихся при построении исходной модели.

Типичная процедура перекрестной проверки, используемая в маркетинговых исследованиях, состоит из следующих стадий.

1.Маркетологирассчитываютрегрессионную модель, используя полный набор данных.

...