Маркетинговые исследования

Коэффициент вариации (coefficient of variation)

Величина относительной изменчивости переменной, представляющая собой отношение ее стандартного отклонения к ее среднему значению.

Коэффициент вариации имеет смысл, только если переменную измеряют по относительной шкале. Поскольку степень знакомства с Internet измерена не по этой шкале, то бессмысленно вычислять коэффициент вариации для данных табл. 15.2.

Показатели формы распределения

Показатели формы распределения, как и показатели вариации, также полезны для понимания природы распределения переменной. Форму распределения оценивают с помощью асимметрии и эксцесса.

Асимметрия. Распределение переменной может быть симметричным или асимметричным (скошенным). При симметричном распределении частоты любых двух значений переменной, которые расположены на одном и том же расстоянии от центра распределения, одинаковы. Равны между собой также и значения среднего арифметического, моды и медианы. Распределение асимметрично (skewness), если значения переменной, равноудаленные от среднего, имеют разную частоту, т.е, одна ветвь распределения вытянута больше другой (рис. 15.2). Значение асимметрии для распределения данных табл. 15.2 равно --0,094; что указывает на незначительную отрицательную асимметрию.

Эксцесс (kurtosis)-- это показатель относительной крутости (островершинности или плос-коверит'нности) кривой вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением. Эксцесс нормально распределенной случайной величины равен нулю. Если эксцесс положите-

Глава 15. Вариационный ряд, таблицы сопряженности признаков и проверка гипотез 561 лен, то распределение более островершиннопо сравнению с нормальным распределением. При отрицательном значении распределение более плосковершинно по сравнению с нормальным, Значение этой статистики для табл. 15.2 равно --1,261; это указывает на то, что распределение более плосковершинное по сравнению с нормальным.

Эксцесс (kurtosis)

Мера относительной крутости кривой распределении частот.

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

Этот раздел посвящен введению в теорию проверки гипотез. Базовый анализ данных неизменно включает в себя статистическую проверку гипотез. Приведем примеры гипотез в маркетинговых исследованиях

¦ Число постоянных покупателей универмага превышает 10% семей.

Потребители определенной марки товара, которые отличаются между собой уровнем его потребления (много и мало), различаются также и психографическими характеристиками.

¦ Рассматриваемый отель имеет более высокий имидж, чем его ближайший конкурент,

Чем лучше респондент знаком с рестораном, тем чаще он его посещает.

В главе 12 мы рассмотрели понятия выборочного распределения, стандартную ошибку среднего и доли и доверительный интервал [6]. Все они относятся к проверке гипотезы и поэтому необходимо вспомнить их. Ниже мы опишем общую схему проверки гипотезы, которая применима к проверке гипотез с большим диапазоном параметров.

ОБЩАЯ СХЕМА ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ

Для проверки гипотезы необходимо выполнить следующие этапы (рис. 15.3),

Сформулировать нулевую гипотезу Я,и альтернативную гипотезу И,.

Выбрать подходящий метод статистической проверки гипотезы (статистический критерий) и соответствующую статистику критерия (выборочную статистику, тест-статистику)

Выбрать уровень значимости а.

Определить размер выборки и собрать данные. Вычислить значение выборочной статистики.

Определить вероятность, которую примет статистика критерия (выбранная на этапе 2) при выполнении нулевой гипотезы, используя соответствующее выборочное распределение. Альтернативный вариант данного этапа: определить критическое значение статистики, которое делит интервал на область принятия и непринятия нулевой гипотезы.

Сравнить полученную вероятность для тест-статистики (статистики, построенной по результатам выборочного наблюдения) с заданным уровнем значимости. Альтернативный вариант данного этапа: определить, попадает ли выборочное значение тест-статистики в область принятия или отклонения нулевой гипотезы.

Принять статистическое решение, касающееся того, принять или отвергнуть нулевую1 гипотезу.

Выразить статистическое решение с точки зрения проблемы маркетингового исследования.

Этап 1. Формулировка гипотез

На первом этапе маркетолог формулирует нулевую и альтернативную гипотезы. Нулевая гипотеза (null hypothesis) утверждает, что между определенными статистическими параметрами генеральной совокупности (средними или долями) не существует связи или различия. Ее подтверждение не требует от компании каких-либо действий.

Нулевая гипотеза (null hypothesis)

Предположение о том, что между определенными статистическими параметрами генеральной совокупности (средними или долями) не существует связи или различия. Ее подтверждение не требует от компании каких-либо действий

Альтернативная гипотеза {alternativ hypothesis) -- это гипотеза, предполагающая, что между определенными статистическими параметрами генеральной совокупности (средними или долями) есть связь или различия. Ее подтверждение означает, что руководству компании следует предпринимать какие-либо действия или менять свои взгляды на положение дел. Таким образом, альтернативная гипотеза противоположна нулевой.

Маркетолог всегда проверяет именно нулевую гипотезу. Она имеет отношение к конкретному значению параметра совокупности (например, м , ст , л ), а не к выборочным статистикам (например, X ). Проверка гипотез имеет два исхода: нулевая гипотеза отвергается, а альтернативная -- принимается, или нулевая гипотеза не отклоняется, исходя из представленных доказательств. Следовательно, по результатам статистической проверки нулевую гипотезу не следует принимать, т.е. некорректно заключить, что, поскольку нулевую гипотезу не отклоняют, ее можно принять как истинную. В классической теории проверки гипотез сложно определить, достоверность нулевой гипотезы.

Альтернативная гипотеза (alternative hypothesis)

Утверждение о том, что между определенными статистическими параметрами (средними или долями) генеральной совокупности есть связь или различия. Ее подтверждение означает, что руководству компании следует предпринимать какие-либо действия или менять свои й взгляды на положение дел.

Этап 2. Выбор подходящего метода проверки

Для проверки нулевой гипотезы необходимо выбрать подходящий статистический метод (статистический критерий). Исследователь должен принимать во внимание саму процедуру вычисления выборочной статистики и характерное для нее выборочное распределение. Выборочная статистика критерия (test statistic) служит для того, чтобы можно было сделать вывод о том, насколько близко выборка соответствует нулевой гипотезе.

Выборочная статистика критерия (test statistic)

Мера соответствий выборки нулевой гипотезе. Она часто подчиняется таким распространенным распределениям, как нормальное, Стьюдента (t-распределение) или хи-квадрат распределение.

где

Выборочная статистика часто имеет такие широко распространенные распределения, как нормальное, Стьюдента (г-распределение) или хи-квадрат распределение. Правила выбора подходящего метода проверки обсуждаются ниже. В нашем примере наиболее приемлема z-статистика, которая имеет нормальное распределение. Она вычисляется по формуле

Этап 3. Выбор уровня значимости

Какой бы вывод мы ни сделали в отношении изучаемой совокупности, всегда существует риск неверного заключения. При этом встречаются два типа ошибок.

Ошибку рода (Type error) совершают, когда, исходя из результатов выборочного распределения, отклоняют нулевую гипотезу, в то время как она фактически верна

Ошибка рода (Type error)

Также известная под названием альфа-ошибка, имеет место тогда, когда по результатам выборочного распределения отклоняют нулевую гипотезу, которая на самом деле верна.

В нашем примере ошибка рода имела бы место, если мы, исходя из данных выборки, установили бы, что доля потребителей, предпочитающих новый вид услуг, больше 0,40 (40%), в то время как фактически она была бы меньше либо равна 0,40. Вероятность ошибки рода (а) также называют уровнем значимости (level of significance).

Уровень значимости (level of significance)

Вероятность ошибки первого рода.

Вероятность ошибки первого рода устанавливается, исходя из допустимого уровня риска отклонения истинной нулевой гипотезы. Выбор уровня риска зависит от того, во сколько оценивается ошибка первого рода.

Ошибку II рода (Type II error) совершают, когда, исходя из результатов выборки, не отклоняют нулевую гипотезу, которая в действительности является ошибочной. В нашем примере ошибка II рода имела бы место, если мы, исходя изданных выборки, установили бы, что доля потребителей, предпочитающих новый вид услуг, меньше или равна 0,40, в то время как фактически она была бы больше 0,40. Вероятность ошибки II рода обозначается в. В отличие от а, значение которой устанавливает сам исследователь, величина в зависит от фактического значения параметра генеральной совокупности (например, доли). Вероятность совершения ошибки I рода (а) и вероятность ошибки II рода (В) показаны на рис. 15.4. Вероятность (1 - в) совершения ошибки II рода также называют мощностью статистического критерия.

Ошибка II рода (Type I error)

Также известна под названием бета-ошибка, имеет место тогда, когда результаты выборки ведут < финятию нулевой гипотезы, которая фактически ошибочна.

Мощность критерия (power of a test) представляет собой вероятность (1 -- 61 отклонения нулевой гипотезы, когда она неверна и должна быть отвергнута. Хотя величина в неизвестна, она связана с а. Чрезвычайно низкое значение и (например, 0,001) приведет к недопустимо высокому значению р. Поэтому необходимо сбалансировать два типа ошибок. В качестве компромисса б часто устанавливают равной 0,05; иногда ей присваивают значение 0,01; другие значения а встречаются редко. Уровень а, наряду с размером выборки, определяет уровень в для конкретного исследовательского проекта. Риском аир можно управлять, увеличив размер выборки. Для данного уровня значимости а увеличение размера выборки уменьшит значение Р, повысив тем самым мощность статистического критерия.

Мощность статистического критерия (power of a test)

Вероятность отклонений нулевой гипотезы, когда она фактически неверна и должна быть отвергнута.

Этап 4. Сбор данных

Размер выборки определяют, приняв во внимание желаемые значения вероятностей совершения ошибок I и II рода и других количественных факторов, например финансовых ограничений. Затем собирают необходимые данные и вычисляют значение выборочной статистики. В нашем примере из 30 опрошенных пользователей Internet 17 отметили, что они приобретают товары через Internet. Таким образом, выборочная доля этих пользователей Internet составляет р- 17/30=0,567.

Значение уС можно определить по следующей формуле:

р V л \ 30

Выборочную статистику ж можно вычислить по формуле:

Этап 5. Определение критического значения ж-статистики

Используя таблицы нормального распределения (табл. 2 Приложения), можно вычислить вероятность получения значения г, равного 1,88 (рис. 15.5).

0 г = 1.В8

Рис. 15.5. Вероятность получения значения г при использовании одностороннего критерия

Площадь закрашенной области между -' и 1,88 равна 0,9699. Следовательно, площадь незакрашенной области справа от ж =1,88 равна 1,0000 -- 0,9699 = 0,0301. Альтернативно, критическое значение которое отсекает область, имеющую площадь а = 0,05 и расположенную справа от критического значения, находится между 1,64 и 1,65 и равно 1,645. Обратите внимание, что при определении критического значения выборочной статистики область вправо от критического значения критерия равна либо а либо а/2. Это значение равно а для одностороннего критерия и а/2 -- для двустороннего.

Этапы 6 и 7. Сравнение выборочного значения ж-статистики с критическим значением и принятие решения

Итак, маркетологи выяснили, что вероятность того, что вычисленная ими выборочная статистика больше 1,88, равна 0,0301. Это вероятность получения значения/), равного 0,567 при с =0.40. Это число меньше выбранного уровня значимости, равного 0,05. Следовательно, нулевая гипотеза отклоняется. Альтернативно исследователи могут поступить следующим образом. Они видят, что полученное значение г-статистикн = 1,8&лежит в области отклонения нулевой гипотезы (^ критической области), справа от значения 1,645. Поэтому снова можно сделать такой же вывод, т.е. отклонить нулевую гипотезу. Обратите внимание, что два способа проверки нулевой гипотезы эквивалентны по выводу, но математически отличаются направлением сравнения. Если вероятность получения вычисленного значения выборочной статистики ( TScal ),меньше, чем уровень значимости (а), то нулевую гипотезу отклоняют. Справедливо и следующее утверждение: если вычисленное значение выборочной статистики больше, чем ее критическое значение (75ct), то нулевую гипотезу также отклоняют. Причина этой перемены знаков в том, что чем больше значение TSCIIL, тем меньше вероятность получения высокого значения выборочной статистики при условии выполнения нулевой гипотезы. Запишем этот в следующем виде: если вероятность TSCM< уровня значимости («),то нулевую гипотезу Иа отклоняют, или если TS, м > 7"5йК , то нулевую гипотезу отклоняют.

Этап 8. Вывод с точки зрения маркетингового исследования

На основании результатов проверки статистической гипотезы следует сделать заключение с точки зрения стоящей перед нами проблемы маркетингового исследования. В нашем примере мы заключаем, что существует статистически значимое доказательство того, что доля пользователей Internet, которые приобретают товары через Internet, выше, чем 0,40. Следовательно, универмагу можно порекомендовать вводить новую услугу -- приобретение товаров через Internet.

Как видно из рис. 15.6, маркетологи используют проверку статистической гипотезы как для проверки наличия связей между переменными, так и для проверки различий между параметрами генеральной совокупности.

Типы проверки гипотезы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проверка различий может относиться к распределениям, средним, долям, медианам или рангам. Сначала мы обсудим гипотезы, относящиеся к проверке связей с точки зрения кросс-табуляции.

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ СОПРЯЖЕННОСТИ ПРИЗНАКОВ

Помимо ответов на вопросы, относящихся к анализу одной переменной, маркетологов часто интересуют дополнительные вопросы о связи этой переменной с другими переменными.

* Как много мужчин среди приверженцев данной торговой марки?

* Связано ли использование товара (потребление его в больших, средних, малых количествах и не потребление) с отдыхом на открытом воздухе (высокая, средняя и низкая активность)?

Связана ли осведомленность о новом товаре с возрастом и уровнем образования?

Связана ли покупка товара с доходом человека (высокий, средний или низкий доход)?

На эти и подобные вопросы можно ответить с помощью таблицы сопряженности признаков. В то время как вариационный ряд характеризует одну переменную, построение таблиц сопряженности признаков (кросс-табуляция) (cross-tabulation) помогает увидеть одновременно значения двух или больше переменных

Построение таблиц сопряженности признаков, кросс-табуляция (cross-tabulation)

Статистический метод, который одновременно характеризует две или больше переменных и заключается в создании таблиц сопряженности признаков, отражающих совместное распределение двух или больше переменных с ограниченным числом категорий или определенными значениями.

Кросс-табуляция представляет собой процесс объединения распределений частот значений двух или больше переменных в одну таблицу. Она объясняет, как одна переменная, например лояльность торговой марке, связана с другой переменной, такой как пол. В таблицах сопряженности признаков показывается совместное распределение значений двух или больше переменных, обладающи\ограниченным числом категорий или принимающих определенные значения. Категории одной переменной помешают в таблицу так, чтобы они размещались в ней (сопрягались) в соответствии с категориями другой или другими несколькими переменными. Таким образом, распределение частот одной переменной подразделяется на группы в зависимости от категорий других переменных

Предположим, нас интересует, действительно ли использование Internet связано с полом. Чтобы построить таблицу сопряженности признаков, респондентов разделили в зависимости от того, сколько времени они пользуются сетью. Пользующихся Internet пять часов и меньше отнесли к мало пользующимся, а остальных-- ко много. Итог процедуры кросс-табуляции приведен в табл. 15.3.

Таблица 15.3, Поп и использование Internet		¦¦¦¦¦
Использование internet Мужчины	Пол Женщины	Итого
Мало (II 5	10	15
Много (2) 10	СП	15
Итого 15	15

Кросс-табуляция предусматривает создание ячейки для каждой комбинации категорий двух переменных. Число в каждой ячейке показывает количество респондентов, давших эту комбинацию ответов. В табл. 15.3 видим, что 10 респондентов, ответивших, что они мало используют Internet -- женщины. Итоговые значения таблицы показывают, что из 30 респондентов с достоверными ответами по обеим переменным 15 человек ответили, что они мало используют Internet, а 15 -- много. Что касается пола, то 15 респондентов оказались женщинами, а 15 -- мужчинами. Обратите внимание, что эту информацию можно было бы получить из отдельного распределения частот для каждой переменной. Таблицы кросс-табуляции также называют таблнцамисопряженности признаков (contingency tables).

Таблицы сопряженности признаков (contingency tables)

Таблица кросс-табуляции состоит из ячеек, й которых приведены комбинации категорий двух переменных.

Рассматриваемые данные должны быть качественными или категориальными, поскольку предполагается, что каждая переменная должна измеряться только по номинальной шкале [7].

Таблицами сопряженности широко пользуются при проведении прикладных маркетинговых исследований, поскольку

менеджеры, которые недостаточно владеют статистическими методами, легко интерпретируют и понимают процедуру кросс-табуляции и ее результаты;

очевидность трактовки результатов анализа ясно свидетельствует о возможных управленческих действиях;

ряд операций кросс-табуляции позволяет лучше понять сложное явление, чем это сделал бы один многовариантный анализ;

кросс-табуляция облегчает проблему разбросанных ячеек, которая затрудняет дискретный многовариантный анализ;

¦ анализ методом кросс-табуляции прост для выполнения и поэтому обращен к исследователям, менее искушенным в вопросах статистики [8].

Мы рассмотрим построение таблиц сопряженности для двух и трех переменных.

Две переменные

Кросс-табуляцию с двумя переменными можно рассматривать как двумерную. Сначала рассмотрим кросс-табуляцию данных, касающихся пола и использования Internet, представленную в табл. 15.3. Связано ли использование Internet с полом? Это можно выяснить из табл. 15.3. Мы видим, что непропорционально большое количество респондентов, проводя-ших много времени в Internet, -- мужчины. Лучше понять этот вопрос поможет процентное вычисление.

Исходя из того, что обе переменные подвергаются процедуре кросс-табуляции, мы можем посчитать проценты применительно к колонке (табл. 15.4) либо к строке (табл, 15.5).

Таблица 15А Использование Internet в зависимости от пола
Использование internet	Мужчины	Пол Женщины
Мало Много l/ftnrn	33,3% 66,7% 100.0%	66,7% 33,3% 100,0%
Таблица 15.5. Пол человека в зависимости от использования Internet
	Использование Internet
Поп Мало	Много	Итого
Мужчины 33,3% Женщины fifi fi%	66,7% ?3,3°<	100,0% 1ПП,П%

Какая из этих двух таблиц полезнее? Ответ на данный вопрос зависит от того, какая переменная рассматривается как независимая, а какая как зависимая [9]. Общее правило, которое необходимо соблюдать, гласит --проценты необходимо вычислять для каждой категории независимой переменной (так, чтобы суммарное значение категорий зависимой переменной применительно к каждой категории независимой переменной давало 100%). В нашем анализе пол можно рассматривать как независимую переменную, использование Internet -- как зависимую, а правильный способ вычисления процентов показан в табл. 15.4. Заметим, что мужчины больше используют Internet, чем женщины. Это видно из того, что 66,7%, активно пользующихся Internet, составляют мужчины, тогда как на долю женщин в этой категории приходится всего лишь 33,3%.

Вычисление процентов в направлении зависимой переменной через независимую, как показано в табл. 15.5, бессмысленно. Табл. 15.5 подразумевает, что интенсивное пользование Internet -- причина того, что такими людьми являются мужчины. Это последнее утверждение неправдоподобно. Однако, возможно, что связь между пользованием Internet и полом человека опосредована третьей переменной, например возрастом или доходом. Поэтому необходимо проверить влияние третьей переменной.

Три переменные

Часто введение третьей переменной позволяет маркетологу четче уяснить природу исходное связи между двумя переменными Как показано на рис. 15.7, третья переменная может привести к четырем возможностям.

I- Уточнить связь, наблюдаемую между двумя исходными переменными.

Указать на отсутствие связи между двумя переменными, хотя первоначально связь наблюдалась, Другими словами, третья переменная покажет, что исходная связь между двумя переменными была ложной.

Показать некоторую связь между двумя переменными, хотя первоначально она не наблюдалась. В этом случае третья переменная показывает скрытую связь между первыми двумя переменными.

Не показать никаких изменений в первоначальной связи [10].

Две исходные переменные

Рис. 15.7. Введение третьей переменной в кросс-табуляцию

Эти возможности объясняются на примерах, в основе которых лежит выборка в тысячу респондентов.

Уточнение исходной связи. В результате изучения связи между покупкой модной одежды и семейным положением получены данные, приведенные в табл. 15.6.

Респондентов поделили на две категории покупателей модной одежды: много покупающие и мало покупающие. Семейное положение тоже имело две категории: женат (замужем) либо не женат (не замужем). Как видно из табл. 15.6, в категорию лиц, покупающих много модной одежды, попали 52% несемейных респондентов и только 31% семейных. Перед тем как заключить, что респонденты, не имеющие семьи, покупают больше модной одежды, чем имеющие семью, в анализ была введена третья переменная -- пол.

Пол респондентов вводился в качестве третьей переменной на основании результатов предшествующего маркетингового исследования. Связь между покупкой модной одежды и семейным положением пересмотрена в свете третьей переменной, как показано в табл. 15.7. Что касается женщин, то из них 60% незамужних попали в категорию покупающих больше модной одежды по сравнению с 25% замужних женщин, С другой стороны, для мужчин эта разница в процентах не так велика: 40% холостых и 35% женатых попали в категорию покупателей, приобретающих много модной одежды. Следовательно, третья переменная, уточнила связь между семейным положением и покупкой модной одежды (начальными переменными). Вероятность попадания в категорию покупателей, приобретающих много модной одежды, выше для несемейных респондентов по сравнению с семейными, причем она выше для женшин.

Исходная связь между двумя переменными ложна. Маркетолог проводит исследование для рекламного агентства, разрабатывающего рекламу для автомобилей стоимостью свыше 30 тысяч долларов. Он попытался проанализировать факторы, влияющие на владение дорогими автомобилями (табл. 15.8).

Из таблицы видно, что 32% вьшускников колледжа имеют дорогой автомобиль, в то время как среди не окончивших колледж дорогим автомобилем владеют только 21%. Исследователь убежден, что уровень образования влияет на приобретение дорогого автомобиля. Решив, что на его покупку влияет и доход, исследователь перепроверил связь между образованием и наличием дорогого автомобиля в свете уровня доходов. Результаты приведены в табл. 15.9.

Заметим, что процент тех, кто имеют дорогой автомобиль, среди окончивших колледж или не окончивших его одинаков для каждой из групп, разбитых по доходу. Если данные по группам с высокими и низкими доходами проверить отдельно, то связь между образованием и наличием дорогого автомобиля исчезает, а это значит, что первоначально наблюдаемая связь между этими двумя переменными былаложной.

Третья переменная показывает подавленную связь между первыми двумя переменными. Маркетолог, исследуюшиисферу туристических поездок за границу, предположил, что на желание путешествовать влияет возраст. Однако таблица сопряженности двух переменных (табл. 15.10)не выявила никакой связи. Когда в качестве третьей переменной ввели пол, полу-чилиданные, представленные в табл. 15.11.

СТАТИСТИКИ ТАБЛИЦ СОПРЯЖЕННОСТИ ПРИЗНАКОВ

Мы рассмотрим статистики, обычно используемые для оценки статистической значимости и тесноты связи переменных, содержащихся в таблице сопряженности. Статистическая значимость наблюдаемой связи обычно измеряется критерием хи-квадрат. Теснота связи важна с практической точки зрения. Обычно она имеет значение, если связь статистически значимая. Тесноту связи можно измерить коэффициентом корреляции фи, коэффициентом сопряженности признаков, ^-коэффициентом Крамера и коэффициентом "лямбда". Эти статистики ниже описаны детальнее.

Критерий хи-квадрат

Критерий хи-квадрат (chi-square statistic, ч2) используют для проверки статистической значимости наблюдаемой связи в таблице сопряженности признаков.

Критерий хи-квадрат (chi-square statistic, ч2)

Критерий, используемый для проверки статистической значимости наблюдаемых связей в таблицах сопряженности признаков. Он помогает определить наличие или отсутствие систематической связи между двумя переменными.

Он помогает определить наличие или отсутствие систематической связи между двумя переменными. В данном случае нулевая гипотеза Н„ утверждает, что между двумя переменными не существует никакой связи. Проверка нулевой гипотезы выполняется вычислением частот распределения признаков анализируемых переменных в ячейках таблицы, которые можно было бы ожидать, если бы не существовало зависимости между переменными, и при данных итоговых числах в каждом ряду и колонке. Затем для вычисления значения X2 этиожидаемые частоты, обозначаемые fe, сравнивают с фактически наблюдаемыми частотами распределения признаков fc, соответствующими ячейкам таблицы. Чем больше разница между ожидаемыми и фактическими частотами, тем выше значение статистики. Предположим, что таблица сопряженности имеет г рядов и с колонок, а случайная выборка состоит из з наблюдений. Тогда ожидаемую частоту для каждой ячейки вычислим по следующей формуле:

где п, -- итоговое число в ряду, пг -- итоговое число в колонке, л -- полный размер выборки.

Для данных табл. 15.3 ожидаемая частота распределения признаков для ячеек, расположенных слева направо и сверху вниз, выглядит так-

Тогда значение X' вычисляют следующим образом:

Для данных табл. 15.3 значение ч~ вычислили по формуле: , (5-7.5)г (Ю-7,5)2 (10-7.5)2 (5-7,5)г 7,5 ' 7,5 ' 7,5 ' 7,5

=0,833+0,833+0,833+0,833 =3,333

Чтобы определить, существует ли между переменными систематическая связь, определяют вероятность получения значения ч2, равного или большего, чем рассчитанное из таблицы сопряженности. Важной характеристикой критерия ч2 является число степеней свободы №)· Б общем случае оно равно числу наблюдений за вычетом числа ограничений, необходимых для вычисления статистического показателя. Для критерия хи-квадрат таблицы сопряженности число степеней свободы равно произведению количества рядов (г) минус единица на количество колонок( с ) минус единица, т.е. df =(г-1)х(с-1) [II]. Нулевая гипотеза (ДОоб отсутствии зависимости между двумя переменными должна быть отклонена только тогда, когда полученное значение ч2 больше, чем критическое значение ч2 распределения с соответствующим числом степеней свободы, как это показано на рис. 15.8.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Распределение ч1 (chi-square distribution) представляет собой асимметричное распределение, форма которого зависит исключительно от числа степеней свободы [12]. С ростом числа степеней свободы распределение хи-квадрат становится более симметричным. Данные табл. 3 в Статистическом приложении дают представление о величине ч2 Для различных степеней свободы. В этой таблице значение вверху каждой колонки указывает область в верхней части (правая сторона на рис. 15,8) распределения хи-квадрат. Например, для одной степени свободы и а = 0,05 значение ч2 равно 3,841. Это означает, что для одной степени свободы вероятность превышения значения ч1, равного 3,841, составляет 0,05. Другими словами, при уровне значимости, равном 0,05, и числе степеней свободы, равном единице, критическое значение статистики ч2 равно 3,841.

Распределение ч (Chi-square distribution)

Асимметричное распределение, форма которого зависит исключительно от числа степеней свободы. С ростом числа степеней свободы хи-квадрат распределение более симметрично,

Для таблицы сопряженности (табл. 15.3) число степеней свободы равно (2-- 1) х (2 -- 1) = 1. Вычисленное значение ч2 -- 3,333. Так каконо меньше критического значения, равного 3,841, нулевую гипотезу об отсутствии связей между переменными нельзя отклонить. Это означает, что связь между переменными не является статистически значимой при уровне значимости, равном 0.05.

Статистику хи-квадрат также можно использовать в проверках степени согласия, чтобы определить, согласуется ли определенная модель с наблюдаемыми данными. Эти проверки выполняют вычислением значимости (уровня статистической значимости) выборочных отклонений от предполагаемых теоретических (ожидаемых) распределений, а также можно выполнить как на основе таблиц сопряженности, так и на основе таблиц распределения частот (одномерная табуляция). Расчет ч и определение ее уровня статистической значимости выполняется изложенным выше способом.

Значение ч*следует вычислять только для числовых данных. Если данные представлены в виде процентов, то сначала их необходимо перевести в абсолютные единицы или числа. Кроме того, допущение, лежащее в основе проверки с помощью критерия ч\ заключается в том, что наблюдения проведены независимо. В качестве общего правила стоит запомнить, что проверку по критерию хи-квадрат нельзя выполнять, если ожидаемые или теоретические частоты в любой из ячеек меньше пяти. Если число наблюдений в любой ячейке меньше десяти, или если таблица имеет два рядка и две колонки (таблица 2 х 2), то необходимо использовать поправочный коэффициент [13]. С поправочным коэффициентом значение X равно 2,133, что не является значимым при уровне значимости, равном 0,05. Для таблицы размером 2x2, статистику хи-квадрат называют фи-коэффициентом.

Фи-коэффициент

Фи-коэффициент (phi coefficient, ц; используют для измерения тесноты связи в особом случае -- при анализе таблицы с двумя рядками и двумя колонками (таблица 2 х 2).

Фи-коэффициент (phi coefficient, ф)

Мера тесноты связи перемени ы* для конкретного вида таблицы: с двумя рядками и двумя колонками (таблица 2 х 2).

Фи-коэффициент пропорционален корню квадратному из Х~ Для выборки размером з эту статистику находят по формуле:

Фи-квадра принимает значение, равное 0, если связь отсутствует, на что также указывает и значение хи-квадрат, равное 0. При сильной связи между переменными фи-коэффициент имеет значение 1 и все наблюдения находятся на главной или второстепенной диагонали. (В некоторых компьютерных программах фи-коэффициент принимает значение --1, а не +1, когда наблюдается отрицательная связь.) В нашем случае фи-коэффициент равен:

Таким образом, связь не очень сильна. В более общем случае при наличии таблицы любого размера тесноту связи можно оценить коэффициентом сопряженности признаков.

Коэффициент сопряженности признаков

Фи-коэффициент применяют только к таблице 2 х 2, а коэффициент сопряженности признаков С (contingency coefficient) используют для оценки тесноты связи в таблицах любого размера.

Коэффициент сопряженности признаков (contingency coefficient)

Мера тесноты связи в таблицах любого размера.

Коэффициент сопряженности признаков связан с ч2 следующим образом:

С= 1 Х

Значения коэффициента сопряженности находятся в диапазоне от 0 до 1. При отсутствии связи он равен нулю (т.е. переменные статистически независимы), но своего максимального значения (1) он никогда не достигает. Максимальное значение коэффициента сопряженности зависит от размера таблицы (числа рядков и колонок). Поэтому он используется только для сравнения таблиц одинакового размера. Значение коэффициента сопряженности для табл. 15.3 следующее:

Это значение коэффициента сопряженности указывает на слабую связь. Другой статистикой, которую можно вычислитьдля любой таблицы, является К-коэффициен1 Крамера (Cramer).

1/-коэффициент Крамера

Я -коэффициент Крамера (Cramer's V) -- это модифицированная версия коэффициента корреляции фи (ц), которую используют в таблицах, больших по размеру, чем 2x2.

н-коэффициент Крамера (Cramer's V)

Мера тесноты связи, используемая в таблицах, больших по размеру, чем 2x2.

Если для таблиц, больших, чем 2x2, вычисляют фи-коэффициент, то он не имеет верхней границы. К-коэффициент Крамера получают корректировкой фи-коэффициентаили по числу рядов, или по числу колонок в таблице. Причем из двух значений выбирают меньшее. Корректировку осуществляют так, что значения К-коэффициенталежат в диапазоне отО до 1. Большее значение -коэффициентауказывает на более сильную связь, но не указывает, как связаны переменные. Для таблицы с грядами и с колонками связь между -коэффициентом Крамера и фи-коэффициентом выражается следующим образом:

Таким образом, связь не очень сильна. В этом случае V = ц. Так всегда происходит для таблицы 2x2. Другой обычно рассчитываемой статистикой является коэффициент "лямбда".

Коэффициент "лямбда'

Коэффициент "лямбда" используется в том случае, когда переменные измерены с помощью номинальной шкалы. Асимметрический коэффициент "лямбда" (asymmetric lambda) показывает выраженное в процентах улучшение при прогнозировании значения зависимой переменной при данном значении независимой переменной,

Асимметрический коэффициент "лямбда" (asymmetric lambda)

Мера еыражеингг в процентах улучшения прогнозирования значения зависимой переменной при данном значении независимой переменной. Значения коэффициента "лямбда" лежат в пределах от 0 до 1.

Значения коэффициента "лямбда' лежат в пределах от 0 до 1. Значение "лямбда", равное О, означает, что никакого улучшения в прогнозировании не наблюдается. Значение 1 указывает на то, что прогноз может быть сделан без ошибки. Это происходит тогда, когда каждая категория независимой переменной связана с одной категорией зависимой переменной.

Асимметрический коэффициент "лямбда" подсчитывают для каждой из зависимых переменных. Также рассчитывают симметричный коэффициент "лямбда" (symmetric lambda) -- средним значением двух асимметричных значений.

Симметричный коэффициент "лямбда" (symmetric lambda)

Симметричный коэффициент "лямбда" не дает предположения о том, какая из переменных зависимая. Он измеряет общее улучшение прогнозирования, когда прогноз уже сделан в обоих направлениях.

Симметричный коэффициент "лямбда" не делает предположения о том, какая из переменных зависимая. Он измеряет обшее улучшение, прогнозирования, когда прогноз уже выполнен в обоих направлениях [14]. Значение асимметричного коэффициента "лямбда" в табл. 15.3, если в качестве зависимой переменной взять использование Internet, равно 0,333. Это указывает на то, что знание пола увеличивает нашу возможность прогнозирования на 0.333, т.е. имеет место улучшение прогнозирования на 0,33%. Симметричный коэффициент "лямбда" также равен 0,33%.

Другие статистики

Обратите внимание, что при вычислении значения ч' переменные должны быть измерены по номинальной шкале. Для измерения связи между двумя порядковыми переменными применяют другие статистики, такие как may b, may с и гамма. Все эти статистики используют информацию об упорядочении категорий переменных, рассматривая каждую возможную пару случаев в таблице, чтобы определить, имеет ли первая переменная тот же относительный порядок расположения (ранг), что и вторая (конкордатное, согласованное расположение), или их расположения (ранги) имеют обратный порядок (несогласованное расположение), или их ранги совпадают (связанные ранги). Эти статистики отличаются только способом обработки рангов. Кактау Ь, так и тау Д корректируют по числу связанных рангов. Тау Ь (tau b) больше всего подходит для квадратных таблиц, в которых количество рядов и колонок равно.

Тау b (tau b)

Вычисляемая статистика, которая измеряетсвязьмеждудвумя порядковыми переменными. Она вычисляется с учетом числа связанных рангов, и ее лучше использовать для квадратных таблиц.

Значения этой статистики лежат в пределах от +1 до -1 Таким образом, можно определить направление (положительное или отрицательное) и силу (насколько близко данное значение находится к 1) связи. Для прямоугольной таблицы, в которой количество рядов отличается от количества колонок, следует использовать тау с (tau с).

Тау с (tau с)

Вычисляемая статистика, измеряющая связь между двумя порядковыми переменными. Она вычисляется с учетом числа связанных рангов, и ее лучше использовать, когда таблица переменных не квадратна, а прямоугольна.

Статистика ''гамма" (gamma) не учитывает ни связанные ранги, ни размер таблицы. Значения гаммы также лежат в пределах от +1 до --1 и обычно имеет большее числовое значение, чем тау b и тау с.

Статистика "гамма" (gamma)

Вычисляемая статистика, измеряющая связь между двумя порядковыми переменными. Она не делает поправку на связанные ранги.

Данные табл. 15.3, где пол -- номинальная переменная, не обрабатывают с помощью порядковых статистик. Все изложенные выше статистики можно оценить соответствующими компьютерными программами для кросс-табуляции. Другие статистики для измерения тесноты связи, а именно: смешанный момент корреляции и неметрическая корреляция, обсуждаются в главе 17.

ПРАКТИКА ПРОВЕДЕНИЯ КРОСС-ТАБУЛЯЦИИ

На практике проведение кросс-табуляции полезно вести по следующим этапам.

Проверьте нулевую гипотезу о том, что отсутствует связь между переменными, используя критерий хи-квадрат. Если вам не удалось отклонить нулевую гипотезу, то связь между переменными отсутствует.

Если нулевая гипотеза Я„ отклонена, то определите тесноту связи, используя подходящие статистики (фи-коэффициент, коэффициент сопряженности, К-коэффициент Крамера, коэффициент "лямбда" или другие статистики).

Если нулевая гипотеза Н„ отклонена, то поясните характер связи, вычислив проценты в направлении независимой переменной через зависимую переменную.

Используйте в качестве проверяемых статистик тау Ь , тау с или "гамму" для обработки порядковых, а не номинальных переменных. Если нулевая гипотеза И0 отклонена, то определите тесноту связи, используя величину и направление связи, а также учитывая знак проверяемой статистики.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАЗЛИЧИЯХ

В предыдущем разделе проверялись гипотезы о связях между переменными. Теперь мы сделаем акцент на проверке гипотез о различиях. Классификация процедур проверки гипотез о различиях представлен й на рис. 15.9.

Методы, показанные на рис. 15.9, согласуются с классификацией одномерных методов, представленных на рис. 14.6. Главное различие в том, что методы на рис. 14.6 также применимы к нескольким выборкам (больше двух) и таким образом связаны с однофакторным дисперсионным анализом (ANOVA) и ранговым дисперсионным анализом Краскера--Уоллеса (K-W ANOVA) (глава 14), тогда как методы на рис, 15.9 ограничены двумя выборками. Процедуры проверки гипотез можно в общем виде классифицировать на параметрические и непараметрические, исходя из шкалы измерения переменных. Параметрические методы проверки гипотез (parametric tests) предполагают, что изучаемые переменные измерены с помощью интервальной шкалы.

Параметрические методы проверки гипотез (parametric tests)

Предполагают, что изучаемые переменные измерены с помощью интервальной шкалы.

Непараметрические методы проверки гипотез (nonparametric tests) предполагают, что переменные измерены с помощью номинальной или порядковой шкал.

Непараметрические методы проверки гипотез (nonparametric tests)

Предполагают, что переменные измерены с помощью номинальной или порядковой шкал.

Дальнейшая классификация проводится в зависимости от количества выборок: одна, две или больше. Как объяснялось в главе 14, число выборок определяют, исходя из метода дальнейшей обработки данных для анализа, а не из того, как были собраны данные. Выборки независимы в том случае, если взяты случайным образом из различных генеральных совокупностей Для анализа данные, принадлежащие различным группам респондентов, например мужчинам и жсншинам, обычно обрабатывают как независимые выборки. С другой стороны, выборки являются парными (связанными' когда данные двух выборок имеют отношение к одной и той же группе респондентов.

Наиболее популярный параметрический критерий для проверки гипотез о равенстве сред них заключается в расчете значений /-статистики. Проверка на основе /-критерия выполняется относительно среднего значения одной или двух выборок. В случае двух выборок они могут быть независимыми или парными. Непараметрические методы проверки, основанные на наблюдениях, взятых из одной выборки, включают критерий Колмогорова-Смирнова, критерий хи-квадрат, критерий серий и биномиальный критерий. В случае двух независимых выборок для проверки гипотез относительно среднего значения используют ЯЖ-критерий Манна--Уитни {Mann--Whitney), медианный критерий и двухвыборочный критерий Колмогорова--Смирнова. Эти критерии -- непараметрические копии /-критерия для двух групп. Для парных выборок непараметрические критерии включают критерий Вилкоксона парных сравнений и критерий знаков. Эти тесты -- копии парного .' -критерия. Как параметрическими, так и непараметрическими методами оценивают гипотезы, относящиеся к более, чем двум выборкам. Эти критерии рассматриваются в следующих главах.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

Использование параметрических критериев позволяет сделать статистический вывод относительно среднего значения генеральной совокупности. Обычно для этой цели используют t-критерин (t-test). В основе критерия лежит f-статистика Стьюдента (Student).

Т-критерий (t-test)

Одномерный метод проверки гипотез, использующий t-распределение. Применяется, если стандартное отклонение неизвестно и размер выборки мал.

Т-статистика (t-statistic) подразумевает, что переменная нормально распределена, среднее известно (или предполагается, что оно должно быть известно) и дисперсия генеральной совокупности определена по данным выборки.

Т-статистика (t-statlstic)

Статистика, подразумевающая, что переменная имеет колоколоподобное распределение, среднее известно (или предполагается, что известно) и дисперсия генеральной совокупности определена по данным выборки.

Примем, что случайная переменная А1 нормально распределена, со средним м и неизвестной дисперсией генеральной совокупности а1, которая оценивается с помощью выборочной дисперсии s2. Вспомним, что стандартное отклонение выборочного среднего X определяется как s^=sl-Jn . Тогда /= 1Х является /-распределенным с л-1 степенями свободы.

Т-раслределенне (t-distribution) по внешнему виду аналогично нормальному распределению. Графики обоих распределений симметричны и имеют колоколообразную форму. Однако по сравнению с нормальным распределением в распределении Стьюдента хвостовые части графика по площади больше, а центральная часть по плошали -- меньше. Это связано с тем, что дисперсия совокупности <т неизвестна, и ее оценивают во выборочной дисперсии s2.

Т-распределение (t-statistic)

При данной неопределенности в значении s наблюдаемые значения / -статистики более изменчивы, чем значения г-статистики. Однако с ростом числа степеней свободы распределение приближается к нормальному. Фактически, для выборок большого размера (120 и больше) Я-распределенис и нормальное распределение практически не отличаются. В табл. 4 Статистического приложения даны избранные лроцентили /-распределения.

Процедура проверки гипотезы в случае использования в качестве метода проверки /-критерия состоит из следующих этапов.

Сформулировать нулевую (Я, )и альтернативную (Л,)гипотеэьг.

Выбрать соответствующую формулу для вычисления /-статистики.

Выбрать уровень значимости а для проверки нулевой гипотезы Н0. Обычно выбирают уровень значимости а, равный 0,05.

Взять одну или две выборки и для каждой вычислить значение средней и стандартное отклонение.

Вычислить значение г -статистики, приняв, что нулевая гипотеза ffa верна.

Симметричное колоколоподобное распределение, используемое для проверки выборок небольшого размера (п < 30).

Вычислить число степеней свободы и оценить вероятность получения большего значения статистики из табл. 4 Статистического приложения. (Альтернативно, вычислить критическое значение / -статистики).

Если вероятность, рассчитанная на этапе 6 меньше, чем уровень значимости Ни, выбранный на этапе 3, то отклонить нулевую гипотезу Иа. Если значение вероятности больше, то //„не отклонять. (Альтернативно, если значение, вычисленной на этапе 5 /-статистики., больше критического значения, определенного на этапе 6, то отклонить нулевую гипотезу Н„. Если вычисленное значение меньше критического значения, то И„ не следует отклонять). Неудачная попытка отклонить нулевую гипотезу необязательно подразумевает, что //, верна. Это только означает, что истинное положение несущественно (статистически незначимо) отличается от положения, утверждаемого Я0.

Выразить полученный результат с точки зрения решения проблемы маркетингового исследования.

Мы проиллюстрируем общую процедуру проверки гипотез с помощью /-критерия в последующих разделах главы, начав с рассмотрения одной выборки

Одна выборка

В маркетинговом исследовании аналитика часто интересует утверждение о сотноше-нии одной переменной по сравнению с известной или заданной величиной. Примерами таких утверждений являются: доля рынка для нового товара превышает 15%; по крайней мере 65% потребителей понравится новая упаковка; 80% дилеров предпочтут новую политику ценообразования. Эти утверждения сформулируем с точки зрения нулевой гипотезы, которую затем проверим, используя статистический критерии для одной выборки, такой как /- или г-критерий Если маркетолог использует /-критерий для проверки значения средней, его интересует, совпадает ли значение генеральной средней со значением, задаваемым в утверждении нулевой гипотезы (Нп). Для данных табл. 15.2 предположим, что мы хотим проверить гипотезу о том, что среднее значение степени знакомства с Internet превышает 4,0 (балла) -- нейтральное значение по семибалльной шкале. Выберем уровень значимости, равный а = 0,05. Сформулируем гипотезы:

Число степеней свободы для /-статистики, используемой для проверки гипотезы в отношении среднего значения, равно з ~ 1. В нашем случае п -- 1 = 29 1 или 28. Из табл. 4 Статистического приложения находим, что вероятность получения более высокого значения, чем 2,471, меньше 0,05. (Альтернативно, критическое значение /-статистики для 28 степеней свободы и уровня значимости 0,05 равно 1,7011, что меньше рассчитанного значения, равного 2,471). Следовательно, нулевую гипотезу отклоняют. Степень знакомства с Internet превышает 4,0,

Обратите внимание, что если нам известно стандартное отклонение генеральной совокупности, и оно, допустим, равно 1,5, а, значит мы используем его, а не определенное на основании выборки, то лучше использовать ж-критерий (z-test).

Ж-критерий (z-test)

Одномерный метод проверки гипотезы, использующий стандартное нормальное распределение.

Из табл. 2 Статистического приложения вероятность получить более высокое значение статистики г, чем 2,595, меньше 0,05. (Альтернативно, критическое значение г-статистики для односторонней проверки при уровне значимости 0,05 равно 1.645. что меньше полученного значения, равного 2,595). Следовательно, нулевую гипотезу отклоняют и получают тот же результат, что и при проверке гипотезы с помощью /-критерия.

Процедура проверки нулевой гипотезы относительно доли уже проиллюстрирована в этой главе, когда мы знакомились с теорией проверки гипотезы.

Две независимые выборки

Иногда гипотезы в маркетинге связаны с параметрами, взятыми из двух разных генеральных совокупностей: например, пользователи и непользователи торговой марки по-разному воспринимают данную торговую марку; люди с высокими доходами больше тратят на развлечения по сравнению с лицами, имеющими низкий доход; доля приверженцев данной торговой марки в сегменте 1 больше их доли в сегменте 2. Выборки, взятые случайным образом из разных изучаемых совокупностей, называют независимыми выборками (independent samples). Как и для одной выборки, проверка гипотез может проводиться относительно значений средних или долей.

Независимые выборки (independent samples)

Две выборки, экспериментально не связанные между собой. Измерения, проведенные в одной выборке, не оказывают влияния на значения переменных в другой.

Средние. В случае проверки средних для двух независимых выборок гипотезы имеют следующий вид:

З, =м^м;

Из двух совокупностей берут выборки и вычисляют значения средних и дисперсий, исходя из размеров выборок, равных соответственно п, и п,. Если окажется, что обе рассматриваемые совокупности имеют одинаковые значения дисперсий, то значение объединенной дисперсии, рассчитанное из двух дисперсий выборок, равно:

п:+ Л;-- 2

Стандартное отклонение проверяемой статистики рассчитывается по формуле:

Соответствующее значение /-статистики вычислим по формуле: 5 5г й -Хж

Число степеней свободы в нашем случае равно (я, + я2-- 2).

Если две генеральные совокупности имеют разные значения дисперсий, то точное значение /-статистики нельзя подсчитать из-за различия в выборочных средних. Вместо этого аппроксимируем значения /-статистики. Число степеней свободы в этом случае обычно не будет целым числом, но приемлемо точное значение вероятности можно получить округлением до ближайшего целого числа [17].

Если неизвестно, равны ли дисперсии двух совокупностей, то для проверки выборочной дисперсии используем F-критерий, или критерий Фишера (F-test). В этом случае гипотезы имеют вид:

F-критерий, или критерий Фишера (F-test)

Слагистический критерий для проверки равенства двух дисперсий из двух совокупностей.

F-статистику (F-statistic) вычисляют как отношение выборочных дисперсий по формуле:

з, -- размер выборки 1;

-- размер выборки 2; и, --1 -- степени свободы для выборки 1; й, -1 -- степени свободы для выборки 2; j,1-- выборочная дисперсия для выборки 1; Si -- выборочная дисперсия для выборки 2.

F статистика (F-statistic)

F-статистика представляет собой отношение двух выборочных дисперсий.

Как видно, критическое значение F-распределения (F-distribution) зависит от значений числа степеней свободы: в числителе и в знаменателе.

...