Маркетинговые исследования

- общая корреляционная матрица (total correlation matrix)

* объединенная внутри групповая корреляционная матрица (pooled within-group correlationmatrix)

УПРАЖНЕНИЯ

Вопросы

Каковы цели дискриминантного анализа?

Какое главное отличие дискриминантного анализа для двух групп от множественного дискриминантного анализа?

Опишите связь дискриминантного анализа с регрессионным и дисперсионным анализом.

Назовите этапы выполнения дискриминантного анализа.

Как разделить общую выборку для целей анализа и проверки?

Что такое коэффициент л Уилкса? Для каких целей его используют?

Дайте определение дискриминантному показателю.

Объясните, что означает собственное значение?

Что такое классификационная матрица?

Как определяют статистическую значимость дискриминантного анализа?

11- Опишите общую процедуру для определения достоверности дискриминантного анализа.

Как определяют точность классификации случайным методом при наличии групп одинакового размера?

Чем отличается пошаговый дискриминантный метод от прямого?

Задачи

1. При исследовании различий между потребителями, которые покупают замороженные продукты много, мало и не покупают их вообще, обнаружено, что два самых больших нормированных коэффициента дискриминантной функции были равны: 0,97 -- для переменной "удобное расположение-' и 0,61 -- для переменной "доход". Можно ли сделать заключение, что переменная '"удобное расположение" важнее, чем переменная "доход", если каждую переменную рассматривать саму по себе9

2. Исходя из приведенной ниже информации, вычислите дискриминантный показатель для каждого респондента. Значение константы равно 2,04.

УПРАЖНЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ INTERNET И КОМПЬЮТЕРА

Проведите дискриминантный анализ для двух групп данных, которые приведены в табл. 18.2 и 18.3, используя программные пакеты SPSS, SAS, BMDP или Minitab. Сравните результаты, полученные с помощью всех программных пакетов. Обсудите сходства и различия,

Проведите пошаговый дискриминантный анализ для трех групп данных, которые приведены в табл. 18.2 и 18.3, используя программные пакеты SPSS, SAS, BMDP или Minitab. Сравните полученные результаты с результатами из табл. 18.5 для дискриминантного анализа трех групп.

ПРИЛОЖЕНИЕ 18А

Определение коэффициентов дискриминантной функции

Предположим, что имеется С групп, Я = 1, 2, 3,..., G, каждая из которых содержит л, наблюдений по ^независимым переменным, Х„ Хъ Хк- Введем следующие условные обозначения: Н-- общий размер выборки

W-- матрица скорректированных на среднее значение суммы квадратов и векторных произведений для /-йгруппы;

W -- матрица суммарных скорректированных на среднее значение суммы квадратов и векторных произведений;

В-- матрица скорректированных на среднее значение межгрупповых суммы квадратов и векторных произведений;

Т-- матрица суммарных скорректированных на среднее значение межгрупповых суммы квадратов и векторных произведений для всех /Унаблюдений {--W+ В);

л, = вектор средних значений наблюдений в /-й группе;

Ч - вектор общей среднейдля всех N наблюдений;

А -- отношение межгрупповой суммы квадратов к внутригрупповой сумме квадратов;

Ь -- вектор Шскрим и нантных коэффициентов или весов.

Тогда

Определим линейный составной компонент D = Ь J(. Тогда, с учетом D, межгрупповые и внутригрупповые суммы квадратов задаются выражениями Ь ,ВЬ и Ь ,Wb соответственно. Для того чтобы максимально различить (дискриминировать) группы, определяют дискриминант -ные функции, чтобы максимизировать межгрупповую изменчивость. Коэффициенты Ъ рассчитывают так, чтобы максимизировать А решением уравнения

Взяв частную производную по А и приравняв ее нулю, после некоторых упрощений получим:

Чтобы проще найти Ь, умножим все выражение на W и решим следующее характеристическое уравнение:

(W-'B- Х1)Ь = о

Максимальное значение А-- это наибольшее собственное значение матрицы IV'B, a b -- соответствующий собственный вектор матрицы. Элементы Ь -- это д искрим и наншые коэффициенты или веса, соответствующие первой дискриминантной функции. В целом можно определить меньше, чем {G~ 1) или к дискриминантный функций, каждую с соответствующим ей собственным значением. Дискриминантные функции оценивают последовательно. Другими словами, первая дискриммнантнач функция вносит самый большой вклад в межгрупповую изменчивость. Вторая функция максимизирует межгрупповую вариацию, которая не объяснена первой функцией и т.д.

КОММЕНТАРИИ

Donald R. Lichtenstein. Scot Burton, Richard G. Netemeyer, "An Examination of Deal Proneness across Sales Promotion Types: A Consumer Segmentation Perspective", Journal of Retailing, Summer 1997, p. 283--297; Marvin A Jolson, Joshua L Wiener, Richard B. Rosecky, "Correlates of Rebate Proneness", JoumalojAdvertising Research, February-March 19S7, p. 33-43.

Детальное обсуждение дискриминантного анализа можно найти в работах Jacques Tacq, MultivariateAnalysis Technique in Social Science Research (Thousand Oaks, CA: Sage Publications 1996); A Lachcnbruch, Discriminant Analysis (New York, NY: Hafner Press, 1975). О современном применении см. статью Ken Deal, "Determining Success Criteria for Financial Products: A Comparative Analysis of CART, Logit and Factor/Discriminant Analysis", Service Industries Journal, July 1997, p. 489-506.

Richard A. Johnson, Dean W. Wichern, Applied MultivariateStatisticatAnalysis,4th ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1998); W.R. Klccka, Discriminant Analysis (Beverly Hills, CA: Sage Publications, 1980). См. также статью Stevei A Sinclair, Edward C. Stalling, "Howto Identify Differcncesbetween Market Segments with Attribute Analysis", Industrial Marketing Management, February 1990, p. 31-40.

О современном применении см. статьи Zafar Khan, Sudhir К Cftawla, S. Thomas, A. Cianciolo, "Multiple Discriminant Analysis: Tool for Effective Marketing of Computer Information Systems to Small Business Clients", Journalof Professional Services Marketing, December 1995, p. 153--162; J.K. Sager, Ajay Menon, "The Role of Behavioral Intentions in Turnover of Salespeople", Journal of Business Research, March 1994, p. 179-- IBS; Valerie Kijewski, EunsangYoon, Gary Young, "How Exhibitors Select Trade Shows", Industrial Marketing Management, November 1993, p. 287-298.

Vincent-Watne Mitchel, "How to Identify Psychological Segments: Part 2", Marketing Intelligence & Planning, July 1994, p. 11-16:M.R. Crask, W.D. Perreault, Jr., "Validation of Discriminant Analysis in Marketing Research", Journal of Marketing Research, February 1977, p. 60--68.

Строго говоря, перед проверкой равенства средних внутри класса следует проверить равенство ковариационных матриц групп. Для этого можно использовать М-тест Бокса. Если равенство ковариационных матриц групп отклоняют, то результаты дискриминантного анализа следует интерпретировать осторожно. В этом случае мощность проверки на равенство-средних внутри класса уменьшается.

Lillian Fok, John Angelidis, NabilA. Ibrahim, Wing M. Fok, "The Utilization and Interpretation of Multivariate Statistical Techniques in Strategic Management", International Journal of Management, December 1995, p. 468--481; D,G. Morrison, "On the Interpretation of Discriminant Analysis", Journal of Marketing Research, May 1969, p. 156--163. Для использования других методов совместно с дискриминантным анализом, чтобы помочь интерпретации, см. статью Rajiv Dant, James R. Lumpkin, Robert Bush, "Private Physicians or Walk-In Clinics: Do the Patients O\iierl'\ Journal of Health Care Marketing, June 1990, p. 23-35.

Jon M. Hames, C. Rao, Thomas L. Baker, "Retail Salesperson Attributes and the Role of Dependability in the Selection of Durable Goods", Journal of Personal Selling& Sales Management, Fall

1993, p. 61-71; Edward F. Fern, Ramon A Avila, DhruvGrewal, "Salesforcc Turnover: Those Who Left and Those Who Stayed", Industrial Marketing Management, Spring 1994, p. 1--9.

9. О проверке дискриминантного анализа см. статью Robert Bush, David J. Ortinau, Alan J. Bush, "Personal Value Structures and AIDS Prevention", Journal of Health Care Marketing, Spring 1994, p. 12-20.

Joseph F. Hair, Jr., Ralph E, Anderson, Ronald L Tatham, William C. Black, Multivariate Data Analysis with Readings, 5th ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1999).

Vincent-Wayne Mtchell, "How to Identify Psychographic Segments: Part 2", Marketing Intelligence and Planning, July 1994, p. 11--16.

Don R. Rahtz, M. Joseph Sirgy, Rustan Kosenko, "Using Demographics and Psychographic Dimensions to Discriminate between Mature Heavy and Light Television Users: An Exploratory Analysis", in Kenneth D. Bahn (ed.). Developments in Marketing Science, vol. 11 (Blacksburg, VA: Academy of Marketing Science, 19SS),p. 2--7.

Richard A. Johnson, Dean W. Wichern, Applied Multivariate Statistical Analysis, 4th ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1998). См. также статью Rajiv Dant, Patrik L. ¦Schul, "Conflict Resolution Processes in Contractual Channels of Distribution", Journalof Marketing, January 1992, p. 38-54.

Constantine Loucopoulos, Robert Pavur. "Computational Characteristics of a New Mathematical Programming Model for the Three-Group Discriminant Problem", Computers& Operations Research, February 1997, p. 179--191. О последнем применении множественного-дискриминантного анализа см. работу Stephen J. O'Connor, Richard М. Shewchuk, Lynn W. Carney, "The Great Gap", Journal of Health Care Marketing, Summer 1994, p. 32-39.

KathrynH. Dansky, Diane Brannon, "DiscriminantAnalysis: ATechnique foiAdding Value to Patient satisfaction Surveys" Hospital & Health Services Administration, Winter 1996, p. 503--513; Jeen-Su Lim, Ron Sallocco, "¦Determinant Attributes in Formulation of Attitudes toward Four Health Care Sysntems" Journalof Health Care Marketing, June 1988, p. 25--30.

Richard A. Johnson, Dean A. Wichern, Applied Multivariate Statistical Analysis, 4th ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1998) Joseph F. Hair, Jr., Ralph E. Anderson, Ronald L. Tatham, William C. Black, Multivariate Data Analysis with Reading, 5th ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1999), p. 178-255.

Jeryl Whitelock, Carole Roberts, Jonathan Blakeley, "The Reality ofthe Eurobrand: An Empirical Analysis", Journal of International Marketing, March 1995, p. 77--95; Charlotte Klopp, John Starlic-chi, "Customer Satisfaction Just Catching on in Europe", Marketing News , May 28, 1990, p. 5.

David J. Fritzschc, "Personal Values: Potential Keys to Ethical Decision Making", Journal of Business Ethics, November 1995, p. 909-922; Paul R. Murphy, Jonathan E. Smith, James M. Daley. "Executive Attitudes, Organizational Size, and Ethical Issues: Perspectives on a Service Industry", JournalofBusiness Ethics, November 1992, p. 11-19.

Eric L. Einspruch, An IntroductoryGuide to SPSifor Windows (Thousand Oaks, CA Sage Publications, 1998); Paul E. Spector, SAS Programming for Researchers and Social Scientists (Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1993); Mohamed Adzal Norat, "Software Reviews", Economic Journal: The Journal of th.RoyalEconomic Society, May 1997, p. 857-882; Charles Seiter,"The Statistical Difference", Macworld, October 1993, p. 116-121.

Глава 19. Факторный анализ

После изучения материала этой главы вы должны уметь ...

Излагать концепцию факторного анализа и объяснять, чем он отличается от дисперсионного анализа, множественной регрессии и дискриминантного анализа.

Обсуждать метод выполнения факторного анализа, включая формулирование проблемы, построение корреляционной матрицы, выбор подходящего метода, определение ряда факторов, их вращение и интерпретацию.

Понимать различие между выполнением факторного анализа методом главных компонент и методом общих факторов.

Объяснять принцип отбора переменных-заменителей с точки зрения их использования в последующем анализе.

Описывать процедуру для определения соответствия модели факторного анализа исходным данным, используя наблюдаемые и вычисленные корреляции.

КРАТКИЙ ОБЗОР

При дисперсионном (глава 16), регрессионном (глава 17) и дискриминантной анализе (глава 18) одну переменную маркетологи четко идентифицируют как зависимую. Теперь же рассмотрим, как проводится факторный анализ, не предполагающий разделение переменных на независимые и зависимые. Наоборот, исследователи проверяют все возможные варианты взаимозависимостей между переменными. В этой главе обсуждается основная концепция факторного анализа и дается понятие факторной модели. Мы опишем этапы факторного анализа и проиллюстрируем их с точки зрения анализа главных компонент и анализа общих факторов. Для начала приведем несколько примеров, иллюстрирующих полезность факторного анализа.

СКВОЗНОЙ ПРИМЕР. ВЫБОР УНИВЕРМАГА

Факторный анализ

Маркетологи провели факторный анализ ответов респондентов, в которых они расставляли оценки в 21 утверждении об образе жизни. В результате определили семь основных факторов, влияющих на образ жизни: предпочтение банковских карточек, а не карточек покупателя универмага; предрасположенность к кредиту; избежание кредита; ориентация на досуг;

лояльность к кредитным карточкам; удобство кредитных карточек и осознание значения кредитных карточек. Эти факторы, наряду с демографическим характеристиками, использовались для профилирования сегментов, образованных в результате кластеризации.

ПРИМЕР. Факторный анализ приносит банкам прибыль

Как потребители оценивают банки? Респондентов попросили оиенить важность 15 бан-I ковских характеристик по пятибалльной шкале -- от несущественной характеристики до очень важной. Эти данные были изучены с помощью анализа главных компонент.

При анализе переменных выявили четыре фактора: традиционные услуги, удобство, открытость и компетентность. Традиционные услуги включали: процентные ставки по займам, репутацию в обществе, низкие комиссионные по операциям с чеками, уважительность и индивидуальный подход при обслуживании клиента, доступ к ежемесячным отчетам и возможность получения займов. К удобству относились: удобное расположение отделений банков, удобные места расположения банкоматов, быстрота обслуживания и удобное время работы банка. Открытость включала: рекомендации от друзей и родственников, общественную поддержку и доступность получения займов. Под компетентностью подразумевалась компетентность банковских служащих и наличие вспомогательных банковских услуг. В ре-1 зультате пришли к выводу, что клиенты оценивают работу банков по четырем основным { факторам; традиционные услуги, удобство, открытость и компетентность [1].

СУТЬ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Факторный анализ (factor analysis) -- это общее название для класса методов, используемых, главным образом, для сокращения числа переменных и их обобщения.

Факторный анализ (factor analysis)

Класс методов, используемых, главные образом, для сокращения числа переменных и их обобщения.

В ходе проведения маркетингового исследования можно столкнуться с множеством переменных, большинство из которых взаимосвязаны. Для удобства обработки данных их число следует снизить до приемлемого уровня. С этой целью связи между коррелированными переменными анализируют и представляют в виде небольшого числа факторов. Например, можно измерить имидж магазина, попросив респондентов оценить магазины по ряду пунктов и выразить эту оценку по семантической дифференциальной шкале. Затем полученные оценки можно проанализировать, чтобы определить факторы, характеризующие имидж магазина.

В дисперсионном анализе, множественной регрессии и л искри ми нантном анализе в качестве зависимой переменной рассматривается одна переменная, а остальные являются независимыми (предикторами). Однако в факторном анализе такого разграничения не делают Поэтому факторный анализ -- это скорее метод анализа взаимозависимости (interdependence technique), поскольку в факторном анализе проверяются всевозможные варианты взаимозависимых связей [2].

Метод анализа взаимозависимости (interdependence technique)

Многомерный -татистический метод, в котором изучают всевозможные варианты взаимозависимых связей.

Факторный анализ используют в следующих ситуациях.

Для определения основных факторов, которые объясняют связи в наборе переменных. Например, можно использовать набор высказываний об образе жизни для измерения психографических профилей потребителей. Затем эти высказывания подвергают факторному анализу, чтобы определить основные психографические факторы, как это показано в примере с универсальным магазином [3].

Для определения нового, меньшего по размеру, набора некоррелирующих переменных, заменяющих исходный набор коррелирующих переменных, на основании которого дальше выполняется многомерный анализ (регрессионный или дискриминантный). Например, выявленные психографические факторы можно использовать как независимые переменные при объяснении различий между лояльными и нелояльными потребителями.

Для преобразования большего по размеру набора в меньший набор ясно выраженных переменныхдля использования их в последующем многомерном анализе. Например, несколько исходных заявлений о стиле жизни, которые сильно коррелируют с выявленными факторами, можно использовать как независимые переменные для объяснения различий между лояльными и нелояльными клиентами.

Фактор (factor)

Латентная переменная, конструируемая таким образом, чтобы можно было объяснить корреляцию между набором переменных.

Факторный анализ широко используется в маркетинговых исследованиях.

* При сегментации рынка для определения латентных переменных с целью фуппировки потребителей. Покупателей новых автомобилей можно сгруппировать в зависимости от того, на что они обращают внимание при покупке автомобиля: экономию, удобства, рабочие характеристики автомобиля, комфорт и респектабельность. В результате получают пять сегментов рынка: покупатели, стремящиеся к экономии; покупатели, стремящиеся к удобствам; покупатели, стремящиеся к определенным рабочим характеристикам автомобиля; покупатели, ищущие комфортабельные автомобили; покупатели, ищущие респектабельные автомобили.

При разработке товарной стратегии факторный анализ используется для определения характеристик торговой марки, влияюших на выбор потребителей. Кокрентые торговые марки зубных паст оценивают с точки зрения защиты от кариеса, отбеливания зубов, вкуса, приятного запаха и цены.

При разработке рекламной стратегии маркетологи с помощью факторного анализа пытаются понять, каким передачам отдают предпочтение потребители целевого рынка. Покупатели замороженных продуктов, например, могут смотреть кабельное телевидение, любить фильмы оггередленногожанра и музыку в стиле "кантри".

При разработке стратегии ценообразования факторный анализ определяет характеристики потребителей, чувствительных к цене. Например, может оказаться, что они стремятся к экономии и ориентированы на домашний отдых.

МОДЕЛЬ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

С математической точки зрения факторный анализ в некоторой степени аналогичен множественному регрессионному анализу в том смысле, что каждая переменная выражена как линейная комбинация латентных факторов. Доля дисперсии отдельной переменной, принадлежащая общим факторам (и разделяемая с другими переменными) называется общностью (communality). Ковариацию среди переменных описывают небольшим числом общих факторов, плюс характерный фактор для каждой переменной. Эти факторы явно не видны. Если переменные нормированы, то факторную модель можно представить следующим образом-

X, =AitF, + А,Ъ +4в... +AiHFm + нм„

где Х,~ i-я нормированная переменная;

Ад-- нормированный коэффициент множественной регрессии переменной i по общему факторуу;

F,-- общий фактор;

V-- нормированный коэффициент регрессии переменной Я по характерному фактору /; Uj-- характерный фактор для переменной /: т -- число общих факторов.

Характерные факторы не коррелируют между собой и с общими факторами [4]. Общие факторы в свою очередь также можно выразить линейными комбинациями наблюдаемых переменных:

где F,_ оценка й -го фактора;

W-- весовой коэффициент или коэффициент значения фактора; Л--число переменных.

Можно подобрать веса так, чтобы первый коэффициент значения фактора объяснял наибольшую долю полной дисперсии. Затем отобрать второй набор весов так, чтобы второй фактор вносил наибольший вклад в остаточную дисперсию при условии, что он не коррелирует с первым фактором. Этотже принцип применяется для отбора дополнительных весов для дополнительных факторов. Таким образом, можно оценить факторы так, чтобы их значения, в отличие от значений исходных переменных, не коррелировали. Более того, первый фактор объясняет наибольшую дисперсию в данных, второй фактор -- вторую по величине дисперсию и т.д. Техническая обработка модели факторного анализа представлена в Приложении 19А. С факторным анализом связано несколько статистик

СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ С ФАКТОРНЫМ АНАЛИЗОМ

Ниже приведены ключевые статистики, связанные с факторным анализом.

Критерий сферичности Бартлетта (Bartlett's test of sphericity). Статистика, проверяющая

гипотезу о том, что переменные в генеральной совокупности не коррелируют между собой. Другими словами, корреляционная матрица в совокупности является характерной матрицей; каждая переменная коррелирует сама с собой (г= 1), но не взаимосвязана с другими переменными (г=0).

Корреляционная матрица (correlation matrix). Матрица попарных корреляций г между всеми возможными парами переменных, включенных в анализ. Это симметричная, неотрицательно определенная матрица.

Общность (communality). Доля дисперсии отдельной переменной, которую переменная делит с другими рассматриваемыми переменными. Это доля дисперсии, объясняемая общими факторами.

Собственное значение (eigenvalue). Представляет полную дисперсию, объясняемую каждым фактором.

Факторные нагрузки (factor loadings). Линейные корреляции между переменными и факторами.

График факторных нагрузок (factor loadings plot). График исходных переменных, где по осям координат откладывают значения факторных нагрузок

Матрица факторных нагрузок (factor matrix). Содержит факторные нагрузки всех переменных по всем выделенным факторам.

Значения фактора (factor scores). Суммарные значения, определенные для каждого респондента по производным факторам.

Критерий адекватности выборки Кайзера--Мейера--Олкина (Kaiser-- Meyer-- Olkin (КМО) measure of sampling adequacy). Коэффициент для проверки целесообразности выполнения факторного анализа. Высокие значения (от 0,5 до 1) указывают, что факторный анализ целесообразен. Малые значения (до 0,5) указывают, что факторный анализ неприемлем.

Процент дисперсии (percentage ofvariance). Процент от полной дисперсии, приписываемый каждому фактору.

Остатки (residuals). Разница между наблюдаемыми корреляциями, приведенными в исходной корреляционной матрице, и вычисленными корреляциями, определенными из матрицы факторных нагрузок.

Графическое изображения критерия "каменистой осыпи" (scree plot), График зависимости собственных значений от числа факторов в порядке их убывания.

Использование статистик как процедуры выполнения факторного анализа описано в следующем разделе.

ВЫПОЛНЕНИЕ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Первый этап состоит в формулировании проблемы факторного анализа и определении переменных, подвергаемых факторному анализу. Затем строится корреляционная матрица переменных и выбирается метод факторного анализа. Исследователь выбирает число факторов, которые следует выделить, и метод вращения факторов. Далее повернутые факторы следует интерпретировать. В зависимости от целей, можно вычислить значения факторов или отобрать переменные-заменители для представления факторов в последующем многомерном анализе. И наконец, смотрят, насколько хорошо подогнана факторная модель. Мы обсудим эти этапы подробнее в следующих разделах [5].

Формулировка проблемы

Формулировка проблемы включает несколько задач. Во-первых, четкое определение целей факторного анализа. Переменные, подвергаемые факторному анализу, задаются исходя из прошлых исследований, теоретических выкладок и по усмотрению исследователя. Важно, чтобы переменные измерялись в интервальной или относительной шкале. Выборка должна быть подходящего размера. Опыт подсказывает, что рекомендуется брать выборку, по крайней мере, в четыре или пять раз больше, чем число переменных [6]. Часто при маркетинговых исследованиях размер выборки мал, и это отношение значительно меньше. В таких случаях следует осторожно интерпретировать результаты.

Для иллюстрации факторного анализа предположим, что исследователь хочет определить основные преимущества, которые потребители хотят получить, покупая определенную зубную пасту. Маркетологи опросили в торговом центре 30 респондентов. Их попросили указать, используя семибалльную шкалу (1 -- полностью несогласен, 7 -- полностью согласен), степень согласия со следующими утверждениями:

Vx-- важно приобрести зубную пасту, которая предотвращает развитие кариеса;

V,-- мне нравится зубная паста, которая придает зубам белизну;

^-- зубная паста должна укреплять десна;

VA -- я предпочитаю зубную пасту, которая освежает дыхание;

Vs-- предотвращение порчи зубов не является важным преимуществом данной зубной пасты, Vf-- наиболее важной причиной покупки данной зубной пасты является способность зубной пасты улучшать внешний вид зубов.

Полученные данные приведены в табл. 19.1. На основании этих оценок построена корреляционная матрица.

Построение корреляционной матрицы

В основе нашего анализа лежит матрица корреляций между переменными. Ее анализ дает маркетологам ценную информацию. Целесообразность выполнения факторного анализа определяется наличием корреляций между переменными. На практике так обычно и бывает. Если же корреляции между всеми переменными небольшие, то факторный анализ бесполезен. Следует также ожидать, что переменные, тесно взаимосвязанные между собой, должны также тесно коррелировать с одним и тем же фактором или факторами.

Для проверки целесообразности использования факторной модели анализа зависимости перменных существует несколько статистик. С помощью критерия сферичности Бартлетта проверяется нулевая гипотеза об отсутствии корреляций между переменными в генеральной совокупности: другими словами, рассматривается утверждение о том, что корреляционная матрица совокупности -- это единичная матрица, в которой все диагональные элементы равны 1, а все остальные равны 0. Проверка с помощью критерия сферичности основана на преобразовании детерминанта корреляционной матрицы в статистику хи-квадрат. При большом значении статистики нулевую гипотезу отклоняют. Если же нулевую гипотезу не отклоняют, то целесообразность выполнения факторного анализа вызывает сомнения. Другая полезная статистика -- критерий адекватности выборки Кайзера--Мсйера--Олкина (КМО). Данный коэффициент сравнивает значения наблюдаемых коэффициентов корреляции со значениями частных коэффициентов корреляции. Небольшие значения КМО-статистики указывают на то, что корреляции между парами переменных нельзя объяснить другими переменными и что использование факторного анализа нецелесообразно.

Корреляционная матрица, построенная на основании данных, полученных из ответов рес-' пондентов о преимуществах различных видов зубной пасты, показана в табл. 19.2.

Таблица 19.2. Корреляционная матрица

Переменные	Vj	Vt		V*	Vs	Vs
Vi Ь Vi	1,00 - 0,053 0,873	1,00 -0,155	1,00
V*	- 0,086	0,572	0,248	1,00
v5	- 0,858	0,020	- 0,778	-0.007	1,00
	0,004	0,640	-0,018	0,640	-0,136	1,00

Из данных табл. 19.2 видно, что относительно высокое значение корреляции наблюдается между Vy (предотвращение кариеса), ^ (укрепление десен) и V (предотвращение порчи зубов). Можно ожидать, что эти переменные коррелируют с одним и тем же набором факторов. Аналогично, относительно высокие корреляции наблюдаются между Vt (отбеливание зубов), VA (свежее дыхание) и Уь (привлекательность внешнего вида зубов). Также можно ожидать, что эти переменные коррелируют с одними и теми же факторами [7].

Результаты факторного анализа приведены в табл. 19.3.

Нулевую гипотезу о том, что корреляционная матрица совокупности является единичной матрицей, отклоняют в соответствии с критерием сферичности Бартлетта. Приближенное значение статистики хи-квадрат равно 111,314с 15-ю степенями свободы, она является значимой при уровне 0,05. Значение статистики КМО (0,660) также большое (> 0,5). Таким образом, факторный анализ можно рассматривать как приемлемый метод для анализа корреляционной матрицы табл. 19.2.

Критерий сферичности Бартлетта

Приближенное значение статистики хи- квадрат - 111,314; число степеней свободы - 15; значимость - 0,00000

Критерий адекватности выборки Кайэера-Мейера-Олкина- 0,660

*Нижний левый треугольник содержит вычисленную к)ррея1щионнуюматрищ диагональ - общности; верхний правый треугольник--остатки между наблюдаемыми и вычисленными корреляциями.

Определение метода факторного анализа

Поскольку установлено, что факторный анализ подходит для анализа данных, необходимо выбрать соответствующий метод его выполнения. Различные методы факторного анализа различают в зависимости от подходов, используемых для выделения коэффициентов значения факторов. Существует два метода -- анализ главных компонент и анализ общих факторов. При анализе главных компонент (principal components analysis) учитывают всю дисперсию данных.

Анализ главных компонент (principal components analysis)

Метод факторного анализа, который учитывает всю дисперсию данных.

Диагональ корреляционной матрицы состоит из единиц, и вся дисперсия ввелена в матрицу факторных нагрузок. Анализ главных компонент рекомендуется выполнять, если основная задача исследователя -- определение минимального числа факторов, которые вносят максимальный вклад в дисперсию данных, чтобы в последующем использовать их в многомерном анализе. Эти факторы называют равными компонентами (principal component).

В анализе обших факторов (common factor analysis) факторы определяют только на основании общей дисперсии. Общности располагаются на диагонали корреляционной матрицы Этот метод подходит, если основной задачей является определение латентных переменных и общей дисперсии. Этот метод также известен какраз,южениематрицы (principal axis factoring).

Анализ общих факторов (common factor analysis)

Метод факторного анализа, который оцешеает факторы только по общей (для всех фв<то ров) дисперсии.

Существуют и другие методы оценки общих факторов. Они включают: метод невзвешенных наименьших квадратов, обобщенный метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, альфа-факторный метод, распознования образов. Эти методы сложнее, и их не рекомендуется использовать неопытным аналитикам [8].

В табл. 19.3 показано применение анализа главных компонент. В колонке "Исходные"' (часть таблицы под названием "Общности") видно, что значения общностей для каждой переменной от Vxдо Нравны 1, поскольку единицы введены в диагональ корреляционной матрицы. Часть табл. 19.3 под названием "Исходные собственные значения" дает собственные значения факторов, которые снижаются при переходе от первого фактора к шестому. Собственное значение фактора указывает полную дисперсию, присущую данному фактору. Полная дисперсия для всех шести факторов равна 6, т.е. числу переменных. Дисперсия, обусловленная влиянием первого фактора, равна 2,731 или 45,52% от полной дисперсии (2,731/6). Аналогично, дисперсия, обусловленная влиянием второго фактора, равна (2,218/6) или 36,97% от полной дисперсии, и два фактора вместе объясняют 82,49% полной дисперсии. Для определения числа факторов, которые необходимо использовать в анализе, существует несколько методов.

Определение числа факторов

Можно вычислить столько главных компонент, сколько имеется переменных, но это неэкономично. Чтобы обобщить информацию, содержащуюся в исходных переменных, лучше выделить небольшое число факторов. Вопрос в том: сколько? Для определения числа факторов предлагается несколько процедур: определение, основанное на предварительной информации; определение, основанное на собственных значениях факторов; критерий "каменистой осыпи"; определение на основе процента объясненной дисперсии; метод расщепления и критерии значимости.

Определение, основанное на предварительной информации. Иногда, руководствуясь предварительной информацией, исследователь знает, сколько факторов можно ожидать, и таким образом, может заранее определить число выделяемых факторов. После извлечения желаемого числа факторов их выделение прекращают. Большинство компьютерных программ позволяют пользователю определить число факторов, значительно упрошая применение этого метода.

Определение, основанное на собственных значениях факторов. В этом методе учитывают только факторы, собственные значения которых выше 1,0; остальные факторы в модель не включают. Собственное значение представляет значение дисперсии, обусловленной действием этого фактора. Следовательно, рассматривают только факторы с дисперсией выше 1,0. Если число переменных меньше 20, то этот метод завышает число факторов.

Определение, основанное на критерии "каменистой осыпи". Графическое изображение критерия "каменистой осыпи" представляет собой график зависимости собственных значений факторов от их номеров в порядке выделения. Для определения числа факторов используют форму графика. Обычно график имеет четкий разрыв между крутой частью кривой, где факторам свойственны большие собственные значения, и плавной хвостовой частью кривой, связанной с остальными факторами (в этом месте убывание собственных значений факторов слева направо максимально замедляется). Это плавное убывание собственных значений называется осыпь (scree). Опыт показывает, что точка, с которой начинается осыпь, указывает на действительное число факторов. Обычно число факторов, определенное по графику "каменистой осыпи", на единицу или несколько единиц больше числа факторов, полученных методом, основанным на собственных значениях.

Определение на основе процента объясненной дисперсии. В этом методе число выделяемых факторов определяют так. чтобы кумулятивный процент дисперсии, выделяемой факторами, достиг удовлетворительного уровня. Какой уровень дисперсии считать удовлетворительным, зависит от поставленной задачи. Однако рекомендуется выделять такое число факторов, которое объясняют, по крайней мере, 60% дисперсии.

Определение, основанное на оценке надежности, выполняемой расщеплением. В этом методе выборку расщепляют напополам и факторный анализ выполняют для каждой половины. При этом оставляют только факторы с высокой степенью соответствия факторных нагрузок в двух подвыборках.

Определение, основанное на критериях значимости. Можно определить статистическую значимость отдельных собственных значений и оставить только статистически значимые факторы. Недостаток этого метода в том, что при больших размерах выборок (больше 200) многие факторы, вероятно, статистически значимые, хотя с практической точки зрения, многие из них объясняют небольшую долю полной дисперсии.

В табл. 19.3, исходя из собственных значений факторов, превышающих единицу (по умолчанию), будет выделено два фактора. Из опыта (предварительная информация) мы знаем, что зубную пасту покупают по двум основным причинам. График "каменистой осыпи" приведен на рис. 19.2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Число факторов Рис. 19.2, График "каменистойосыпи"

На графике четкий разрыв виден в области трех факторов. И наконец, из значения кумулятивного процента объясненной дисперсии видно, что два первых фактора объясняют 82,49% дисперсии, и увеличение этого значения при переходе к трем факторам будет предельным. Кроме того, метод расщепления выборки также указывает на два фактора. Таким образом, в данной ситуации целесообразно рассмотреть Два фактора.

Во второй колонке части табл. 19.3 под названием "Общности" дана информация после выделения желаемого числа факторов. Общности в колонке "Выделенная" отличаются от значений в колонке "Начальная", поскольку всю дисперсию, соответствующую этим переменным, нельзя объяснить, если не оставить в модели все факторы. В части таблицы под названием "'Сумма квадратов нагрузок выделенных факторов" даны дисперсии, соответствующие факторам, которые оставили в модели. Обратите внимание, что их значения совпадают со значениями дисперсий в колонке "Исходные собственные значения". Это характерно для анализа главных компонент. Процент дисперсии, объясненной фактором, определяют, разделив соответствующее собственное значение на число факторов и умножив полученное значение на 100. Таким образом, первый фактор объясняет (2,731/6) ч 100, или 45,52%, от дисперсии, соответствующей шести переменным. Аналогично, второй фактор объясняет (2,218/6) ч 100, или 36,969% полной дисперсии. Интерпретация решения часто становится более ясной после врашения факторов.

Вращение факторов

Важный результат факторного анализа -- матрица факторных нагрузок, также называемая матрицей факторного отображения (factor pattern matrix). Она содержит коэффициенты, используемые для выражения нормированных переменных через факторы. Эти коэффициенты,, называемые факторными нагрузками, представляют корреляции между факторами и переменными. Коэффициент с высоким абсолютным значением показывает, что фактор и переменная тесно взаимосвязаны. Коэффициенты матрицы факторных нагрузок можно использовать для интерпретации факторов.

Несмотря на то, что матрица исходных или неповернутых факторов указывает на взаимосвязь факторов и отдельных переменных, она редко приводит к факторам, которые можно интерпретировать, поскольку факторы коррелируют со многими переменными. Например, в табл. 19.3 фактор 1, по крайней мере, частично связан с пятью из шести переменных (абсолютное значение факторной нагрузки больше 0,3). Как интерпретировать этот фактор? В такой сложной матрице это трудно. Поэтому вращением матрицу факторных коэффициентов преобразуют з более простую, которую легче интерпретировать.

При вращении факторов желательно, чтобы каждый фактор имел ненулевые или значимые нагрузки (коэффициенты) только для небольшого числа переменных. Аналогично, желательно, чтобы каждая переменная имела ненулевые или значимые нагрузки с небольшим числом фактором, если можно, то с одним фактором. Если несколько факторов имеют высокие значения факторных нагрузок с одной и той же переменной, то их трудно интерпретировать. Вращение не влияет на общности и процент объясненной полной дисперсии. Однако процент дисперсии, обусловленной влиянием каждого фактора, изменяется. Это видно из данных табл. 19.3. В результате вращения дисперсия, объясняемая каждым фактором, перераспределилась. Следовательно, разные методы вращения помогают интерпретировать различные факторы.

Вращение называют ортогональным вращением (orthogonal rotation), если при вращении сохраняется прямоугольная система координат.

Ортогональное вращение (orthogonal rotation)

Вращение факторов, при котором сохраняется прямоугольная система координат.

Самый распространенный метод вращения -- метод варимакс (вращение, максимизирующее дисперсию) (varimavprocedure).

Метод варимакс, или вращение, максимизирующее дисперсию) (varimax procedure)

Ортогональный метод вращения факторов, который минимизирует число переменных с высокими значениями нагрузок, усиливая тем самый интерпретируемость факторов.

Это ортогональный метод вращения, который минимизирует число переменных с высокими значениями нагрузок, усиливая тем самым интерпретируемость факторов [9]. В результате ортогонального вращения получают некоррелированные факторы. Вращение называют косоугольным вращением (oblique rotation), если несохраняется прямоугльная система координат и в результате врашения получают коррелированные факторы.

Косоугольное вращение (oblique rotation)

Вращение факторов, при котором не сохраняется прямоугольная система координат.

Иногда, допустив некоторую корреляцию между факторами, можно упростить матрицу факторной модели. Косоугольное вращение используется тогда, когда факторы в генеральной совокупности, вероятно, тесно взаимосвязаны.

Сравнив в табл. 19.3 матрицу факторных нагрузок, полученную после применения метода вращения варимакс, с матрицей факторных нагрузок до вращения (часть таблицы под названием "Матрица факторных нагрузок"), мы увидим, как врашение упрощает и усиливает интерпретируемость факторов. В то время как в неповернутой матрице пять переменных коррелируют с фактором I, после вращения с фактором 1 коррелируют только переменные Vu V5. Остальные переменные V^, F+h ^коррелируют с фактором 2. Более того, ни одна из переменных не коррелирует достаточно сильно с обоими факторами. Повернутая матрица создает основу для интерпретации факторов.

Интерпретация факторов

Для интерпретации факторов необходимо определить переменные, которые имеют высокие значения нагрузок по одному и тому же фактору. А затем этот фактор следует проанализировать с учетом этих переменных. Другое полезное средство интерпретации -- графическое изображение переменных, координатами которых служат величины факторных нагрузок. Так, в конце оси расположены переменные, которые имеют большие нагрузки только в связи с этим фактором и, следовательно, характеризуют его. Переменные в начале координат имеют небольшие нагрузки в связи с обоими факторами. Переменные, расположенные вдали от осей, связаны с обоими факторами. Если фактор нельзя четко определить с точки зрения связи с исходными переменными, то его следует пометить как неопределяемый или генеральный (общий для всех переменных).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис, 19.3. Диаграмма аЬакторных нагрузок

В повернутой матрице из табл. 19.3 фактор 1 имеет высокие коэффициенты для переменных Vj (предотвращение кариеса), К (укрепление десен), и отрицательный коэффициент для переменной (предотвращение порчи зубов не считается важным при покупке зубной пасты). Следовательно, этот фактор можно назвать фактором, укрепляющим здоровье. Обратите внимание, что отрицательный коэффициент для негативной переменной V5 ведет к положительной интерпретации этого фактора, а именно, предотвращение порчи зубов будет важным при покупке зубной пасты. Фактор 2 тесно связан с переменными V, (белизна зубов), Ул (свежее дыхание) и Уь (привлекательность внешнего вида зубов). Таким образом, фактор 2 можно пометить как фактор, отвечающий за внешний вид. Диаграмма факторных нагрузок на рис. 19.3 подтверждает эту интерпретацию факторов.

Переменные V„ У3, ^(обозначенные на диаграмме I, 3 и 5 соответственно) находятся на конце горизонтальной оси, причем точка, соответствующая К,, находится на конце, противоположном месту расположения точек, соответствующих V, и Kv В то же время переменные К2, У^и ^(обозначенные на диаграмме 2,4 и 6 соответственно) расположены на конце вертикальной оси (фактор 2). Можно обобщить данные, сделав вывод, что потребители, по-видимому, стремятся извлечь двойную пользу из зубной пасты: укрепить здоровье и приобрести хороший внешний вид.

Вычисление значения фактора

После интерпретации факторов необходимо вычислить их значения. Факторный анализ имеет собственную ценность. Однако если цель факторного анализа заключается в снижении исходного числа переменных до небольшого набора составных переменных (факторов), которые в дальнейшем используются в многомерном анализе, то имеет смысл вычислить для каждого респондента значение фактора. Фактор представляет собой линейную комбинацию исходных переменных. Значение для Я-гс фактора можно вычислить по формуле

Обозначения в этой формуле аналогичны приведенным выше.

Веса или коэффициенты значения фактора, используемые для объединения нормированных переменных, получают из матрицы коэффициентов значения фактора. Большинство компьютерных программ позволяет вычислить значения факторов. Только в анализе главных компонент можно вычислить точные значения факторов

Значение фактора (factor scores)

Суммарное значение, полученное для каждого респондента на основании всех факторов.

Более того, в анализе главных компонент эти значения не взаимосвязаны. В анализе общих факторов оценки значений факторов получают, но нет гарантии, что факторы не будут коррелировать между собой. Значения факторов можно использовать вместо исходных переменных в последующем многомерном анализе. Например, используя матрицу коэффициентов значения фактора в табл. 19.3, можно вычислить два значения фактора для каждого респондента. Если нормированные значения переменной умножить на соответствующий коэффициент значения фактора, то получится значение данного фактора.

Отбор переменных-заменителей

Иногда, вместо вычисления значений факторов, исследователь может выбрать переменные-заменители. Выбор переменных-заменителей (surrogate variables), заключается в выделении нескольких из исходных переменныхдля использования их в последующем анализе,

Переменные-заменители (surrogate variables)

Часть набора исходных переменных, выбранныхдля последующего анализа.

Это позволит выполнить последующий анализ и интерпретировать результаты с точки зрения исходных переменных, а не значения факторов. Из матрицы факторных коэффициентов можно выбрать для каждого фактора переменную с наивысшим значением нагрузки на данный фактор. Затем эту переменную используют в качестве переменной-заменителя для соответствующего фактора. Этот процесс протекает гладко, если одна из факторных нагрузок переменной значительно выше остальных. Однако сделать выбор не так легко, если нагрузки двух или больше переменных одинаково высокие. В таком случае выбор осуществляют, исходя из теоретических предпосылок. Например, теоретически предполагают, что переменная с несколько меньшей нагрузкой важнее, чем переменная с несколько большей нагрузкой. Аналогично, если переменная имеет несколько меньшую, но более точно измеренную нагрузку, то в качестве переменной-имитатора следует выбрать именно ее. В табл. 19.3 переменные У,, V-,u V$имеют высокие нагрузки в связи с фактором 1, причем достаточно близкие по величине. Переменная V, имеет относительно самое высокое значение и поэтому должна была бы оказаться вероятным кандидатом в переменные-имитаторы. Однако, исходя из предварительной информации, самым важным при выборе зубной пасты является ее способность предотвращать порчу зубов, и поэтому в качестве переменной-заменителя для фактора 1 должна быть выбрана переменная Vs. Осуществить выбор переменной-заменителя для фактора 2 также непросто. Переменные Уг, У^ и К(имеют сопоставимо высокие значения нагрузок на этот фактор. Если предварительная информация свидетельствует, что привлекательность внешнего вида зубов -- важнейший аспект общего внешнего вида, то следует выбрать переменную Vh.

Определение подгонки модели

Последняя стадия факторного анализа заключается в определении соответствия модели факторного анализа исходным данным, т.е. степени ее подгонки. Основное допущение, лежащее в основе факторного анализа, состоит в том, что наблюдаемая корреляция между переменными может быть свойственна общим факторам. Следовательно, корреляции между переменными можно вывести или воспроизвести из определенных корреляций между переменными и факторами. Изучив разности между наблюдаемыми корреляциями (данными в исходной корреляционной матрице) и вычисленными корреляциями (определенными из матрицы факторных нагрузок), можно определить соответствие модели исходным данным. Эти разности называют остатками (residuals). Если много остатков с большими значениями, то факторная модель не обеспечивает хорошее соответствие данным и требует пересмотра. Из данных табл. 19.3 видно, что только значение пяти остатков превышает 0,05, свидетельствуя тем самым о приемлемом соответствии модели данным.

Следующий пример иллюстрирует анализ главных компонент с точки зрения продвижения товара.

ПРИМЕР. Компоненты, влияющие на продвижение на рынок промышленных Й товаров

Цель этого исследования -- определить достаточно большой набор контролируемых I производителем переменных, имеющих отношение к продвижению его товаров в розничную торговую сеть, и показать, что существует связь между этими переменными и решением розничного торговца о поддержке усилий производителя по продвижению товара.

Решения о поддержке определяли по отношению розничного торговца к усилиям по про-I движению товара.

Факторный анализ выполнили по объясняющим переменным, руководствуясь главной целью -- снизить количество переменных. Методом главных компонент с использованием метода вращения варимакс уменьшили 30 объясняющих переменных до 8 факторов с собственными значениями выше 1,0. /Для интерпретации каждый фактор включал в себя переменные с нагрузками на этот фактор от 0,40 и выше. В двух случаях, когда переменные имели нагрузки 0,40 и выше на два фактора, каждой переменной присвоили один фактор, нагрузка на который была выше. Только одна переменная "легкость погрузочно-разгрузочных работ, накопление запасов в торговых точках" не имела нагрузки, по крайней мере, равной 0,4, ни на один из факторов. В целом, 8 факторов объясняли 62% суммарной дисперсии. Интерпретация матрицы факторных нагрузок оказалась несложной. В табл. перечислены факторы в порядке их выделения.

Для того чтобы определить, какой из восьми факторов (если такой фактор существует) предсказывает содействие продвижению товара на рынок в статистически значимой степени, выполнен пошаговый дискриминантный анализ. Значения всех восьми факторов выступают объясняющими переменными. Зависимая переменная состоит из оценки (рейтинга) розничным торговцем деловых отношений с производителем, которую разбивают на три группы, в зависимости от степени содействия в продвижении товара (низкая, средняя, высокая). Результаты дискриминантного анализа приведены в табл. 2.

Коэффициент л (для каждого фактора) -- все значимы при с < 0,001 j Значения F-статастик для многомерной выборки -- все значимы при с < 0,001 г Процент правильно классифицированных случаев -- 65% (t = 14,4; с < 0,001)

Все восемь факторов присутствуют в дискриминантных функциях. Критерии согласия * указали не то, что все восемь факторов дискриминировали (различали) высокий, средний и | низкий уровни содействия продажи товара, /"-статистики для многомерной выборки, ука-i зываюшие на степень дискриминации между каждой парой групп, были значимыми при с I < 0,001.65% случаев было верно отнесено к высокому, среднему и низкому уровню содействия продвижению товаров. Использовался порядок введения в дискриминантный анализ. / Для того чтобы определить относительную важность факторов, влияющих на содействие й торговле, факторы в дискриминантную функцию вводили в порядке, указанном в j табл.3 [10],

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА ОБЩИХ ФАКТОРОВ

Данные табл. 19.1 можно проанализировать, используя модель анализа общих факторов. С этой целью в диагональ матрицы вместо единиц вставили общности (относительные дисперсии общих факторов). Результаты, представленные в табл. 19.4, аналогичны результатам, полученным в ходе анализа главных компонент, приведенным в табл. 19.3.

...