Маркетинговые исследования

Общая корреляционная матрица (total correlation matrix). Если при вычислении корреляций наблюдения обрабатывают так, как будто они взяты из одной выборки, то в результате получают общую корреляционную матрицу.

Коэффициент л Уилкса (Wilks's л). Иногда называемый (/-статистикой, коэффициент X Уилкса для каждого предиктора -- это отношение внутри групповой суммы квадратов к общей сумме квадратов. Его значение варьирует от 0 до 1. Большое значение X (около 1) указывает на то, что средние групп не должны различаться. Малые значения Я (около 0) указывают на то. что средние групп различаются.

В дискриминантом анализе существуют такие допущения: каждая группа является выборкой из многомерной нормально распределенной совокупности; все совокупности имеют одну и ту же ковариационную матрицу. Чтобы лучше понять роль допущений и описанных выше статистик, следует изучить методы выполнения дискриминантного анализа.

ВЫПОЛНЕНИЕ ДИСКРИМИНАНТНОГО АНАЛИЗА

Выполнение дискриминантного анализа включает следующие стадии: формулирование проблемы, вычисление коэффициентов дискриминантной функции, определение значимости, интерпретация и проверка достоверности (рис 18.1).

Эти стадии обсуждаются и иллюстрируются для дискриминантного анализа двух групп. Множественный дискриминантный анализ рассматривается в этой главе ниже.

Формулирование проблемы

Первый шаг дискриминантного анализа -- формулирование проблемы путем определения целей, зависимой переменой и независимых переменных. Зависимая переменная должна состоять из двух или больше взаимоисключающих и взаимно исчерпывающих категорий. Если зависимая переменная измерена с помощью интервальной или относительной шкалы, то ее следует, в первую очередь, перевести в статус категориальной. Например, отношение к торговой марке, измеренное по семибалльной шкале, можно категоризировать как неблагоприятное (1,2, 3), нейтральное (4) и благоприятное (5, 6, 7). Можно поступить иначе Для этого следует построить график распределения значений зависимой переменной и сформировать группы равного размера с помошью точек отсечения. Предикторы следует выбирать, исходя из теоретической модели или ранее проведенного исследования, или, в случае поискового исследования, из интуиции и опыта исследователя.

Следующий шаг -- разделение выборки на две части. Одна из них -- анализируемая выборка (analysis sample) -- используется для вычисления дискриминантной функции.

Анализируемая выборка (analysis sample)

Часть общей выборки, которую используют для вычисления дискриминантной функции.

Другая часть -- проверочная выборка (validation sample) -- предназначена для проверки дискриминантной функции.

Когда выборка достаточно большая, ее можно разбить на две равные части. Одна служит анализируемой выборкой, а другую используют для проверки. Затем роль этих половинок взаимно меняют и повторяют анализ. Это называется двойной перекрестной проверкой, и она аналогична методу, рассмотренному в регрессионном анализе (глава 17).

'Проверочная выборка (validation sample)

Часть общей выборки, которую используют для проверки результатов расчета на основании анализируемой выборки.

Часто распределение количества случаев в анализируемой и проверочной выборки явствует из распределения в обшей выборке. Например, если общая выборка содержит 50% лояльно и 50% нелояльно настроенньж покупателей, то анализируемая и проверочная выборки должны каждая содержать 50% лояльных и 50% нелояльных покупателей. В другом случае, если выборка содержит 25% лояльных и 75% нелояльных покупателей, следует выбрать анализируемую и проверочную выборки таким образом, чтобы их распределения отражали аналогичную картину (25% против 75%).

И наконец, проверку достоверности дискриминантной функции предлагают выполнять неоднократно. Каждый раз выборку следует разбивать на две части: для анализа и проверки. Вычисляют дискриминантную функцию и выполняют анализ достверности модели. Таким образом, оценка достоверности основана на ряде испытаний. Предлагаются также более точные методы [5].

Чтобы лучше проиллюстрировать дискриминантный анализ для двух групп, обратимся к примеру. Предположим, что мы хотим определить главные характеристики семей, которые отдыхали на курорте в последние два года, Данные получены на основании выборки, включающей 42 семьи. Из них 30 включены (как показано в табл. 18.2) в анализируемую выборку, а оставшиеся 12 (как показано в табл. 18.3) стали частью проверочной выборки.

Как видно, анализируемая выборка содержит 15 семей каждой категории, а проверочная -- по 6 семей каждой категории. Кроме того, получены данные о ежегодном доходе каждой семьи (доход), отношении к путешествию (путешествие, оценивали по девятибалльной шкале), значении, придаваемом семейному отдыху (отдых, оценивали по девятибалльной шкале), размеру семьи (размер семьи) и возрасту главы семьи (возраст).

Определение коэффициентов дискриминантной функции

После определения анализируемой выборки (табл. 18.2) мы можем вычислить коэффициенты дискриминантной функции, используя два метода. Прямой метод (direct method) -- вычисление дискриминантной функции при одновременном введении всех предикторов.

Прямой метод (direct method)

Метод дискриминантного анализа, в котором дискриминантную функцию вычисляют при одновременном введении всех предикторов.

В этом случае учитывается каждая независимая переменная. При этом ее дискриминирующая сила не принимается во внимание. Этот метод больше подходит к ситуации, когда аналитик, исходя из результатов предыдущего исследования или теоретической модели, хочет, чтобы в основе различения лежали все предикторы. Альтернативным методом является пошаговый метод. При пошаговом дискриминантной анализе (stepwise discriminant analysis) предикторы вводят последовательно, исходя из их способности различить (дискриминировать) группы.

Пошаговый дискриминантный анализ (stepwise discriminant analysis)

Дискриминантный анализ, при котором предикторы вводятся гккэтедоватегьно, в зависимости от их способности различить группы.

Этот метод лучше применять в ситуации, когда исследователь хочет отобрать подмножество предикторов для включения их в дискриминатную функцию.

Результаты выполнения дискриминантного анализа для двух групп данных из табл. 18.2 с использованием SPSS представлены в табл. 18.4.

Процент гравильно классифицированных по группам случаев 83,33%

Некоторые результаты можно получить, изучив групповые средние и стандартные отклонения. Маркетологи обнаружили, что в деление совокупности на две группы самый большой вклад внесла переменная "доход". Кроме того, оказалось, что переменная "значение, придаваемое семейному отдыху*', важнее для различения групп, чем переменная "отношение к путешествию". По возрасту главы семьи две группы различаются мало, а стандартное отклонение этой переменной большое.

Объединенная внутригрупповая корреляционная матрица указывает на низкие коэффициенты корреляции между предикторами. Маловероятно, что возникнет проблема мульти-кол. й и неарности. Значимость одномерных /"-статистик (отношений внутри групповых сумм квадратов к обшей сумме квадратов) указывает, что когда предикторы рассматриваются по отдельности, то только доход; значение, придаваемое семейному отдыху; и размер семьи значимо различаются между семьями, которые посетили курорт, и между теми, кто не отдыхал на курорте.

Поскольку имеется две группы, то оценивается только одна дискриминантная функция. Собственное значение, соответствующее этой функции, равно 1,7862. Каноническая корреляция, соответствующая этой функции, равна 0,8007. Квадрат корреляции, равный (0,8007)г = 0,64, показывает, что 64% дисперсии зависимой переменной (посещение курорта) объясняется этой моделью. Следующая стадия дискриминантного анализа включает определение значимости искри минантноР функции.

Определение значимости дискриминантной функции

Бессмысленно интерпретировать результаты анализа, если определенные дискриминантные функции не являются статистически значимыми. Поэтому следует выполнить статистическую проверку нулевой гипотезы о равенстве средних всех дискриминантных функций во всех группах генеральной совокупности. В программе SPSS эта проверка базируется на коэффициенте лямбда (X) Уилкса. Если одновременно проверяют несколько функций, как в случае множественного дискриминантного анализа, то коэффициент X является суммой одномерных X для каждой функции. Уровень значимости оценивают, исходя из преобразования л-статистики в статистику хи-квадрат (исходя из распределения хи-квадрат. которому подчиняется Х-статистика). При проверке значимости в примере с посещением курорта (табл. 18.4) можно отметить, что Я, равная 0,3589, преобразуется в хи-квадрат статитстику, равную 26,13 с пятью степенями свободы. Она значима при уровне, превышаюшем 0,05. В программе SAS вычисляют приближенную /'-статистику, основанную на апроксимации к распределению отношения правдоподобия. В программе BMDP проверка нулевой гипотезы базируется на преобразовании Х- статистики Уилкса в /"-статистику. В Minitab нельзя выполнить проверку значимости. Если нулевую гипотезу отклоняют, что указывает на значимую дискриминацию, то можно продолжать интерпретировать результаты [6].

Интерпретация результатов

Интерпретация дискриминантных весов аналогична интерггоетации во множественном регрессионном анализе. Значение коэффициента для конкретного предиктора зависит от других предикторов, включенных в дискриминантную функцию. Знаки коэффициентов условны, но они указывают, какие значения переменной приводят к большом и маленьким значениям цнЗкхЗЗЗ связывают их с конкретными группами.

При наличии мультиколлинсарности между независимыми переменными не существует' однозначной меры относительной важности предикторов для дискриминации между группами [7]. Помня об этом предостережении, можно получить некоторое представление об относительной важности переменных, изучив абсолютные значения нормированных коэффициентов дискриминантной функции. Как правило, предикторы с относительно большими нормированными коэффициентами вносят больший вклад в дискриминирующую мощность функции по сравнению с предикторами, имеющими меньшие коэффициенты.

Некоторое представление об относительной важности предикторов можно также получить, изучив структурные коэффициенты корреляции, которые также называют каноническими или дискриминантными нагрузками. Эти линейные коэффициенты корреляции между каждым из предикторов и дискриминантной функцией представляют дисперсию, которую предиктор делит вместе с функцией. Как и нормированные коэффициенты, эти коэффициенты корреляции следует использовать осторожно.

Полезно исследовать нормированные коэффициенты дискриминантной функции в примере с отпуском на курорте. С данными низкими коэффициентами корреляциями между предикторами можно использовать значения нормированных коэффициентов, чтобы предположить, что доход -- наиболее важный предиктор при дискриминации между группами, а за ним следуют размер семьи и значение, придаваемое семейному отдыху. Аналогичное наблюдение получено из проверки структурных корреляций. Эти коэффициенты линейной корреляции между предикторами и дискриминантной функцией перечислены в порядке их убывания.

Также даны и ненормированные коэффициенты дискриминантной функции. Для классификации данных их можно применить к необработанным значениям переменных в проверочной выборке. Кроме того, показаны групповые центроиды, дающие значения дискриминантной функции, оцененные по групповым средним. Центроид группы 1 (семьи, отдыхающие на курорте) имеет положительное значение, а центроид группы 2 -- равное ему. но отрицательное. Знаки коэффициентов соответствующих предикторов положительны. Это означает, что чем выше доход семьи; ее размер; значение, придаваемое семейному отдыху; отношение к путешествию и возраст, тем выше вероятность семейной поездки на курорт. Разумно создать профиль двух групп с точки зрения трех предикторов, которые кажутся наиболее важными: доход, размер семьи и значение, придаваемое семейному отдыху. Значения этих трех переменных для двух групп приведены в табл. 18.4.

ПРИМЕР. Удовлетворенные сотрудники остаются

Чтобы определить, какие факторы объясняют различия между торговыми работниками уволившимися из крупной компании по производству компьютеров, и теми, кто остался, использовали дискриминантный анализ. Независимыми служили следующие переменные: рейтинг компании, безопасные условия труда, удовлетворение работой по семибалльной I шкале, наличие конфликтных ситуаций по четырехбалльной шкале, наличие неопределенности по четырехбалльной шкале и объем продаж по девятибалльной шкале. Зависимой переменной было разделение между теми торговыми работниками, кто остался работать в данной компании, и теми, кто уволился. Каноническая корреляция, измеряемая коэффициен-I том дискриминации R = 0,4572, оказалась значимой (ЛУилкса= 0,7909; F (26,173)= 1,7588; с =0,0180).

Результаты, полученные при одновременном введении всех переменных в дискриминантный анализ, даны в следующей таблице.

Относительную важность предикторов иллюстрирует следующий пример.

Результаты дискриминантного анализа

	Перемешая	Коэффициенты	Нормированные коэффициенты	Каноничг нагрузки
1	Работа3	0,0903	0,3910	0,5446
2	Продвижение по службе*	0,0288	0,1515	0,5044
3	Безопасные условия труда	0,1567	0,1384	0,4958
4	Вэаимотношенияс покупателимиь	0,0086	0,1751	0,4906
5	Рейтинг компании	0,4059	0,3240	0,4824
6	Работа с другими11	0,0018	0,0365	0,4651
7	Интенсивность труда"	-0,0148	- 0,3252	0,4518
В	Менеджмент (управление) временем-территорией13	0,0126	0,2899	0,4496
9	Продажи"	0,0059	0,1404	0,4484
10	Мастерство презентации11	0.0118	0,2526	0,4387
11	Техническая информации11	0,0003	0,0065	0,4173
12	Выплата пособий3	0,0600	0,1843	0,3788
13	Достигнутая норма выработки11	0,0035	0,2915	0,3780
14	Менеджмент"	0.0014	0.0138	0,3571
15	Сбор информации"	-0,0146	- 0,3327	0,3326
16	Семья1	- 0,0684	- 0,3408	- 0,3221
17	Менеджер по продажам3	-0,0121	-0.1102	0,2909
18	Сослуживец3	0,0225	0,0893	0,2671
19	Покупатель1	- 0,0625	- 0,2797	-0,2602
20	Семьи"	0.0473	0,1970	0,2180
21	Работа'	0,1378	0,5312	02119
22	Работа'	0,0410	0,5475	-0,1029
23	Покупатель"	- 0,0060	-0,0255	0,1004
24	Менеджер по продажам11	- 0,0365	-0,2406	- 0,0499
25	Менеджер по продажам"	- 0,0606	- 0,3333	0,0467
26	Покупатель8	- 0,0338	-0,1468	0,0192

Замечание. Ранговый порядокважности переменной присвоен в соответствии с величиной канонической нагрузки. 'Примечание удовлетворение

Эффективность работы

Неопределенность | Конфликт

Ранговый порядок важности переменной в соответствии с относительной величиной канонических нагрузок представлен в первой колонке. Удовлетворение работой и возможность продвижения по службе самые важные дискриминаторы, за которыми следовали условия безопасной работы. Продавцы, оставшиеся работать в компании, в отличие от уволившихся, считали свою работу увлекательной, интересной и приносящей удовлетворение [8].

Обратите внимание, что в этом примере, исходя из канонических нагрузок, продвижение по службе идентифицировали как вторую наиболее важную переменную. Однако продвижение по службе не является второй наиболее важной переменной, если исходить из абсолютной величины нормированных коэффициентов дискриминантной функции. Эта аномалия -- результат мультиколлинеарности.

При интерпретации результатов дискриминантного анализа также может помочь разработка характеристической структуры (characteristic profile) для каждой группы посредством описания каждой группы через групповые средние для предикторов.

Характеристическая структура (characteristic profile)

Средство интерпретации результатов дискриминантного анализа описанием каждой группы через групповые средние для предикторов.

Если важные предикторы установлены, то сравнение групповых средних по этим переменным может помочь понять межгрупповые различия. Однако прежде чем интерпретировать ка-кис-л1:бо факты, необходимо убедиться в достоверности результатов.

Оценка достоверности дискриминантного анализа

Как уже говорилось, данные разбивают случайным образом на две подвыборки. Анализируемую часть выборки используют для вычисления Дискриминантной функции, а проверочную--для построения классификационной матрицы. Дискриминантные веса, определенные анализируемой выборкой, умножают на значения независимых переменных в проверочной выборке, чтобы получить дискриминантные показатели для случаев в этой выборке. Затем слуи распределяют по группам, исходя из искрим шнантных показателей и соответствующего правила принятия решения. Например, при дискриминантном анализе двух групп случай может быть отнесен к группе с самым близким по значению центроидом. Затем, сложив элементы, лежащие на диагонали матрицы, и разделив полученную сумму на общее количество случаев, можно определить коэффициент результативности (hit ratio) или процент верно классифицированных случаев [9].

Коэффициент результативности (hit ratio)

Полезно сравнить процент случаев, верно классифицированных с помощью дискриминантного анализа, с процентом случаев, который можно получить случайным образом. Для равных по размеру групп процент случайной классификации равен частному от деления единицы на количество групп. Превысит ли и насколько количество верно классифицированных случаев их случайное количество? Здесь нет общепринятого подхода, хотя некоторые авторы считают, что точность классификации, достигнутая с помощью дискриминантного анализа, должна быть, по крайней мере, на 25% выше, чем точность, которую можно достичь случайным образом [Ю].

Большинство программ для выполнения дискриминантного анализа также определяют классификационную матрицу, исходя из анализируемой выборки. Поскольку программы учитывают даже случайные вариации вданных, то полученные результаты всегда точнее, чем классификация данных на основе проверочной выборки 1111-

В табл. 18.4 (пример семейного отдыха на курорте) также показаны результаты классификации, полученные на основе анализируемой выборки. Коэффициент результативности или процент верно классифицированных случаев равен (12 + 15)/Ju = 0,90 или 90%. Могут возникнуть сомнения, что этот коэффициент результативности искусственно завышен, поскольку данные, использованные для вычисления, использовались и для проверки. Выполнение классификационного анализа по независимому набору данных приводит к классификационной матрице с немного меньшим коэффициентом результативности (4 + 6)/12 = 0,833 или 83,3% (табл. 18.4). Задав случайным образом две группы равного размера, можно ожидать, что коэффициент результативности равен 1/2 = 0,50 или 50%. Однако превышение точности классификации над случайной классификацией составляет свыше 25%, и поэтому достоверность дискриминантного анализа оценивают как удовлетворительную.

Следующий пример иллюстрирует иное применение дискриминантного анализа двух групп.

Процент случаев, верно классифицированных с помощью дискриминантной анализа.

ПРИМЕР. Домоседы

Маркетологи использовали Дискрим инантный анализ для двух групп, чтобы оценить j силу каждого из пяти факторов, использованных при делении людей на тех, кто смотрит телевизор, и тех, кто не смотрит. Данный метод хорошо подходил для этой цели вследствие природы предопределенных категориальных групп (телезрители и нетелезрители) и интервальных шкал, использованных для получения отдельных значений факторов.

Отобраны две группы по 185 взрослых зрителей (телезрителей и нетелезрителей) с обшим размером выборки « = 370. Дискриминантное уравнение для анализа вычислено с помощью подвыборки, состоящей из 142 респондентов, взятых из выборки в 370 человек. Оставшиеся 198 респондентов служили как проверочная подвыборкав перекрестной проверке уравнения. J 30 респондентов исключили из анализа из-за отсутствия дискриминантных значений.

Каноническая корреляция для дискриминантной функции, равная 0,4291, являлась [ значимой при с < 0,0001 уровне. Собственное значение равнялось 0,2257. В таблице приведены нормированные канонические дискриминантные коэффициенты. Значительная часть Й дисперсии объясняется дискриминантной функцией. Кроме того, как показано в таблице, I фактор "ориентация на дом" внес наибольшой вклад в классификацию индивидуумов на I телезрителей и нетелезрителей. Также свой вклад внесли мораль, безопасность и здоровье, Й уважение. Как оказалось, социальный фактор играл небольшую роль.

Результаты дискриминантного анализа

Стандартные коэффициенты канонической дискриминантной функции

Процент верно классифицированных случаев 75,76%

Метод перекрестной проверки, использующий пискриминантную функцию из анализируемой выборки, подтвердил точку зрения, что выбранный фактор помог исследователям разделить людей на телезрителей и нетелезрителей. Как показано в таблице, применение

¦ дискриминантной функции удачно при зачислении к определенной группе 75,76% случаев,j Это означает, что рассмотрение существенных факторов поможет специалистам по маркетингу понять потребности пожилых людей [12].

МНОЖЕСТВЕННЫЙ ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ Формулирование проблемы

Данные табл. 18.2 и 18.3 можно использовать для иллюстрации дискриминантного анализа для трех групп. В последней колонке этих таблиц домашние хозяйства классифицируют по трем категориям, исходя из суммы, потраченной на семейный отдых (Б -- большая, С -- средняя и М -- маленькая). Десять домашних хозяйств попали в каждую из категорий. Интересно выяснить, действительно ли семьи, которые потратили большую, среднюю или маленькую сумму на отдых (сумма), различаются с точки зрения семейного дохода (доход), отношения к путешествию (путешествие), значения, придаваемого семейному отдыху (отдых), размера семьи (размер семьи) и возраста главы семьи (возраст) [13].

Определение коэффициентов дискриминантной функции

В табл. 18 5 представлены результаты, полученные с помощью дискриминантного анализа трех групп. Изучение групповых средних показало, что переменная "доход" разделяет группы более широко, чем любая другая переменная. Существует некоторое разделение по переменным "путешествие" и "отдых". А ют с точки зрения размера семьи и возраста главы семьи группы 1 и 2 почти не различаются.

Каноническая корреляция обозначает две канонические дискриминантные функции, оставшиеся в анализе. Нормированные коэффициенты канонической дискриминантной функции

Структурная матрица

Объединенные внутригрупповые корреляции между различающими переменными и каноническими дискриминант-ными функциями (переменные ранжированы в соответствии с размером корреляции внутри функции)

Самое большое стандартное отклонение внутри группы для всех трех групп имеет переменная "возраст". Объединенная межгрупповая корреляционная матрица указывает на некоторую корреляцию переменных "отдых" и "размер семьи" с "доходом". Переменная "возраст" имеет отрицательную корреляцию с "путешествием" (т.е. зависимость между путешествием и возрастом обратная). К тому *с эти корреляции находятся в нижнем ряду, указывая, что хотя мультиколлинеарность и может иметь место, но она, вероятно, не вызовет серьезной проблемы. Значимость соответствующих одномерных F-статистик (отношений межгрупповой суммы квадратов к внутри рупповой) указывает, что когда предикторы рассматриваются по отдельности, то при дифференциации двух групп только доход и путешествие значимы.

Если при проведении множественного дискриминантного анализа имеется G групп, то можно определить (G -- 1) дискриминантную функцию, если число предикторов больше этого количества. Вообще, с С группами и к предикторами можно вычислить и меньше, чем (G-- 1) или к дискрмминантных функций. Первая функция имеет самое высокое значение отношения межгрупповой суммы квадратов к внутригруппововой сумме квадратов. Вторая функция, не-коррелирующая с первой, имеет второе по величине собственное значение и т.д. Однако не все функции могут быть статистически значимыми.

Поскольку имеется три группы, можно определить значения двух функций. Собственное значение первой функции равно 3,8190, и эта функция объясняет 93,93^ объяснимой дисперсии.

Поскольку собственное значение большое, то первая функция, вероятно, старше. Вторая функция имеет небольшое собственное значение, равное 0,2469, и объясняет только 6,07% объяснимой дисперсии.

Определение значимости дискриминантной функции

Чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве центроидов групп, рассмотрим обе функции одновременно. Можно успешно проверить средние функций, выполнив первую проверку всех средних одновременно Затем, на следующих этапах, каждый раз исключают одну из функций и проверяют средние оставшихся функций. Если в табл. 18.5 в колонке "После удаления функции" стоит 0, то значит не была удалена ни одна функция. Значение коэффициента л Уилкса равно 0,1644. Коэффициент Я Уилкса преобразуется в статистику хи-квадрат, равную 44,831 с Ю-тью степенями сюбоды, которая является значимой выше 0,05 уровня. Таким образом, две функции вместе значимо дискриминируют (различают) три группы Однако после исключения первой функции коэффициент л Уилкса, ссютаетстаующий второй функции, равен 0,8020, и является не значимой при уровне 0,05. Поэтому вторая функция не вносит значимый вклад в групповые различия.

Интерпретация результатов

Интерпретировать результаты анализа помогает проверка нормированных коэффициентов дискриминантной функции, структурных корреляций и построение диаграмм. Нормированные коэффициенты показывают высокое значение коэффициента для дохода по функции 1; в то время как функция 2 имеет относительно большие значения коэффициентов для переменных "путешествие", "отдых" и "возраст". К аналогичному заключению можно прийти, изучив структурную матрицу (см. табл. 18.5), Для удобства интерпретации переменные с большими коэффициентами для конкретной функции группируют вместе. Эти группировки отмечены звездочкой. Так "доход" и "размер семьи" помечены звездочкой для функции 1, поскольку эти переменные имеют коэффициенты, значения которых для функции 1 выше, чем для функции 2. Эти переменные связаны главным образом с функцией 2, что и показывают звездочки.

На рис. 18.2приведена диаграмма рассеяния всех групп для функций 1 и 2.

Видно, что группа 3 имеет наивысшее значение по функции 1, а группа 1 -- самое низкое. Поскольку функция 1 в первую очередь связана с переменными "доход" и "размер семьи", можно ожидать, что три группы будут ранжированы по этим двум переменным, Большие семьи, имеющие более высокие доходы, вероятно, будут тратить большую сумму на отдых. И наоборот, небольшие семьи с низкими доходами, вероятно, будуттратить небольшие суммы денег на отдых. Эти результаты подтверждаются проверкой групповых средних по переменным: доход и размер семьи.

Кроме того, рис. 18.2 показывает, что функция 2 стремится разделить группы 1 (наивысшее значение) и 2 (наиболее низкое значение). Эта функция главным образом связана с переменными "путешествие", "отдых" и "возраст". Имея положительную корреляцию этих переменных с функцией 2 в структурной матрице, мы ожидаем, что значения переменных "путешествие", "отдых" и "возраст" в группе 1 больше, чем значения тех же переменных в группе 2. Это действительно верно для переменных '"путешествие" и "отдых", на что указывают внутригрупповые средние этих переменных. Если семьи в группе 1 лояльнее относятся к путешествию и придают большее значение семейному отдыху, по сравнению с семьями из группы 2. то почему они тратят на это меньше денег? Возможно, они и хотели бы потратить большую сумму на отдых, но они не могут сделать этого из-за низких доходов.

Аналогичные выводы получены с помошью территориальной карты, (territorial map), показанной на рис. 18.3.

Территориальная карта (territorial map)

Инструмент для оценки результатов дискриминантного анализа на основе построения диаграммы групповой принадлежности каждого случая.

На территориальной карте каждый групповой центроид указан звездочкой. Границы группы показаны числами в соответствии с номерами групп. Таким образом, центроид группы 1 ограничен цифрами 1: центроид группы 2 -- цифрами 2: центроид группы 3 -- цифрами 3.

Оценка достоверности дискриминантного анализа

Результаты классификации, полученные на основе анализируемой выборки показывают, что (9 + 9 +8)/30 = 86,67% случаев классифицировано верно. Если классификационный анализ выполняют на основе проверочной независимой выборки табл. 18.3, то процент попаданий немного меньше -- 83,3%. Задав три группы равного размера, и исходя только из случайности, можно ожидать, что коэффициент результативности (процент попаданий) равен 1/3 = 0,333 или 33,3%. Превышение полученного результата над случайным составляет 50%, и это свиде-' тельствует об удовлетворительной достоверности модели [14].

Следующий пример иллюстрирует применение множественного дискриминантного анализа для нескольких групп.

ПРИМЕР. Дом -- там, где нравится пациенту

Для определения отношения людей к четырем системам предоставления медицинских услуг (медицинское обслуживание на дому, больницы, дома престарелых и амбулаторные клиники) проведен их опрос по 10 характеристикам обслуживания. Полученные 102 ответа проанализированы с помощью множественного дискриминантного анализа (табл 1).

Таблица 1. Нормированные коэффициенты дискриминантной функции

Дисиримннан тная функция

.Переменная		2	3
Безопасность	-0,20	-0,04	0,15
Удобство (близость)	0,08	0,08	0,07
Вероятность медицинских осложнений*	- 0,27	0,10	0,16
Дороговизна (услуги)1	0,30	-0,28	0,52
Комфортабельность (комфорт)	0,53	0,27	-0,19
Санитария	-0,27	- 0,14	-0,70
Наилучшее медицинское обслуживание	- 0,25	0,67	-010
[Уединенность (приватность)	040	0,08	0,49
1 Более быстрое выздоровление	0,30	0,32	-0,15
Комплектация лучшим медицинским персоналом	-0.17	-0,03	0,16
Процент объясняемой дисперсии	ез,оь	29,4'	7.6Ь
Статистика хи-квадрат	663,3	289,2	70,1

В вопроснике эти два пункта заданы наоборот. Для анализа данных их закодировали в обратном порядке, j *р < 0,01

Определены три дискриминантные функции. Проверка статистик хм-квадрат показала, что все три дискриминантные функции значимы при уровне 0,01. Вклад первой функции в общую дискриминирующую способность составил 63%, а вклад оставшихся двух функций -- 29,4% и 7,6% соответственно.

В табл. I представлены нормированные коэффициенты дискриминантной функции 10 переменных в дискриминантных уравнениях. Значения коэффициентов варьирует в пределах от --1 до + I. При определении способности каждой характеристики классифицировать (делить на группы) систему предоставления медицинских услуг использованы абсолютные значения. В первой дискриминантной функции двумя переменными с самыми большими коэффициентами оказались переменные "комфорт" (0,53) и "приватность "(0,40). Поскольку обе переменные связаны с персональным обслуживанием и медицинским уходом, то | первая характеристика обозначена как "индивидуальный уход"'. Во второй функции двумя j переменными с самыми большими коэффициентами стали переменные "качество меди-I цинского обслуживания" (0,67) и "вероятность более быстрого выздоровления" (0,32). По-I этому эта характеристика названа "качество медицинского обслуживания". В третьей дис-I криминантной функции наиболее значимыми характеристиками оказались '"санитария" (-- | 0,70) и "дороговизна (услуг)" (0,52). Поскольку эти две характеристики представляют стои-| мость и цену, третья дискриминантная функция получила название "стоимость". Значения четырех групповых центроидов показаны в табл. 2.

Таблица 2. Центроиды систем медицинского обслуживания в дискриминантом пространстве

		Дискриминантная функция
Система	J	г	3
Больница (стационар)	-1,66	0,97	-0,08
Ме^цинсксе обслуэюшние на	-0,60	-1,36	- 0,27
Амбулаторная клиника	0,54	-0,13	0,77
Медицинский уход в домах престарелых	1.77	0,50	-0,39

Данные таблицы показывают, что медицинское обслуживание на дому оценивается как наиболее приемлемое обслуживание по характеристике "индивидуальный уход", а пребывание в больнице -- как наихудший вариант. Что касается характеристики "качество медицинского обслуживания", то здесь наблюдалось существенное различие между медицинским обслуживанием на дому и другими тремя системами. По этой характеристике "качество медицинского обслуживания", "обслуживание на дому" также получило наивысшие оценки по сравнению с амбулаторными клиниками. Но, с другой стороны, амбулаторные клиники оценены как наилучшие с точки зрения предлагаемой цены.

Классификационный анализ 102-х респондентов, представленный в табл. 3, показывает верное отнесение к группам, начиная с 86% для больниц и 68% -- для амбулаторных клиник.

Неверная классификация для больниц составила по 6% для домов престарельх и амбулаторных клиник и 2% -- для медицинского обслуживания на дому (вместо отнесения к больницам 6% было отнесено к домам престарелых и амбулаторным клиникам и 2% -- к медицинскому обслуживанию на дому). Неверная классификация для домов престарелых была такой: 9% отнесли к больницам, 10% -- к амбулаторным клиникам и 3% -- к медицинскому обслуживанию на дому. Неверная классификация для амбулаторных клиник была такой: 9% неверно отнесли к больницам, 13% -- к домам престарелых и 10% -- к медицинскому обслуживанию на дому. Для медицинского обслуживания на дому неверная классификация оказалась такой: 5% отнесли к больницам, 4% -- к домам престарелых и 13% -- к амбулаторным клиникам. Результаты показали, что дискричинантные (классифицирующие) функции оказались достаточно точными при предсказании групповой принадлежности [15].

ПОШАГОВЫЙ ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ

Пошаговый дискриминантный анализ аналогичен пошаговому множественному регрессионному анализу (см. главу 17) в том отношении, что предикторы вводят последовательно, исходя из их способности различать (дискриминировать) группы. Значение F-- статистики рассчитывают для каждого предиктора, выполняя одномерный дисперсионный анализ, в котором группы рассматривают как категориальную переменную, а предиктор -- как критериальную переменную. Предиктор с самым высоким значением /'-статистики первым отбирают для включения в дискриминантую функцию, если он удовлятворяет определенной значимости и допустимому критерию. Второй предиктор вводят, исходя из самого высокого скорректированного или частного значения F, и приняв во внимание уже выбранный предиктор.

Для того чтобы каждый выбранный предиктор оставить в уравнении, его проверяют, исходя из его связи с другими предикторами. Процесс введения и исключения продолжают до тех пор, пока все предикторы не будут удовлетворять критерию значимости -- условию, необходимому для введения этих предикторов в дискриминантную функцию. На каждой стадии рассчитывают несколько статистик. Кроме того, в заключение подводят итог введенным или исключенным предикторам. Пошаговый метод приводит к тому же стандартному выводу который вытекает из прямого метода.

Выбор пошагового метода основан на оптимизации принятого критерия. Метод Махалано-биса (Mahalanobis procedure) основан на максимизации обобщенной меры расстояния между двумя самыми близкими группами. Этот метод позволяет маркетологам-исследователям извлечь максимальную пользу из имеющейся информации [16].

Метод Махаланобиса (Mahalanobis procedure)

Пошаговый метод, используемый в дискриминантом анализе для максимизации обобщенной меры расстояния между двумя самыми близкими группами.

Метод Махаланобиса использован для выполнения пошагового дискриминантного анализадвух групп при изучении данных в табл. 18,2 и 18.3. Первой выбранной переменной был доход, за ним следовали размер семьи и отдых. Порядок введения переменных указывает на их значимость в дискриминации двух групп. Впоследствии это подтвердила проверка нормированных коэффициентов дискриминантной функции и структура коэффициентов корреляции. Обратите внимание, что результаты пошагового анализа согласуются с выводами, ранее полученными прямым методом.

Врезка 18.1 "Практика маркетинговых исследований" -- пример применения дискриминантного анализа в международных маркетинговых исследованиях [17], а врезка 18.2 "Практика маркетинговых исследований" представляет собой исследование этических проблем в маркетинге [18]

Врезка 18.1. Практика маркетинговых исследований

Навстречу пожеланиям клиентов

В настоящее время все больше компьютерных компаний акцентируют внимание на программах оказания услуг потребителям, а не на характеристиках и возможностях компьютеров. Компания Hewleti-Packai усвоила этот урок, работая на рынках Европы. Исследование, проведенное на европейском рынке, выявило, что требования клиентов в отношении оказываемых услуг различаются в зависимости от возраста потребителя. Изучение целевых групп показало, что потребители старше 40 лет испытывают технические трудности при работе на компьютере и поэтому как никто другой нуждаются в программах поддержки. С другой стороны, молодые потребители должным образом оценивали технические новинки, которые вносились в компьютер по их желанию. В ходе маркетинговых исследований определены факторы, приводящие к различиям этих двух возрастных групп. Маркетологи выполнили дискриминантный анализ для двух групп, в котором в качестве групп были удовлетворенные и неудовлетворенные клиенты, а несколькими независимыми переменными являлись следующие: техническая информация, легкость в обращении, разнообразие и масштаб программ оказания услуг для клиентов и т.д. Результаты подтвердили, что переменная "разнообразие и масштаб программ оказания услуг для клиентов" -- действительно сильный дифференцирующий фактор. Это было главным результатом исследования, поскольку теперь компания Hewlett-Packard могла лучше удовлетворять желания неудовлетворенных клиентов, делая акцент больше на обслуживании потребителей, а не на технических деталях. В результате компания Hewlett-Packardycneumo провела в жизнь три программы услуг: программу обратной связи с клиентами, программу опросов по удовлетворению желаний потребителей и программу тотального контроля качества. Эти усилия способствовали полной удовлетворенности клиентов компьютерами и услугами.

Врезка 1&2. Практика маркетинговых исследований

С помощью дискриминантного анализа можно разобраться в вопросах этики

Для определения важных переменных, которые позволяют спрогнозировать этичное и неэтичное поведение, маркетологи использовали дискриминантный анализ. Предварительное исследование показало, что на принятие этических решений влияют следующие переменные: отношение к этике, позиция руководства, наличие или отсутствие Этического кодекса и размер организации.

Для определения наилучших предикторов нравственного поведения провели опрос 149 фирм, в котором попросили указать, как веде й себя фирма в каждой из 18-ти различных ситуаций. Из этих 18-ти ситуаций 9 были связаны с маркетинговыми видами деятельности, Эти виды деятельности включали: использование вводящих в заблуждение презентаций товара; принятие подарков для приоритетного обслуживания; калькуляция цен. заниженная по сравнению с фактической оплатой наличными и тому подобное. Основываясь на этих девяти пунктах, фирмы разбиты на две группы: "непрактикующие (такие методы)" и "практикующие (такие методы)".

Проверка переменных, влияющих на классификацию, показала, что переменные "отношение к этике" и "размер компании" -- наилучшие предикторы нравственного поведения. Выявлено, что более мелкие фирмы демонстрируют более этическое поведение в сфере маркетинга.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ INTERNET И КОМПЬЮТЕРА

В SPSS процедуру DISCRIMINANT используют для выполнения дискриминантного анализа. Это общая программа для дискриминантного анализа для двух групп или множественного дискриминантного анализа. Кроме того, с ее помошью можно выполнить прямой или пошаговый метод.

В программе SAS для выполнения дискриминантного анализа для двух групп или множественного дискриминантного анализа можно использовать процедуру DISCRIM. Если допущение о многомерном нормальном распределении не выполняется, то можно использовать процедуру NEIGHBOR. В этой процедуре для классификации наблюдений используют непараметрическое правило "ближайших соседей"'. Программа CANDISC выполняет канонический дискриминантный анализ и связана с анализом основных компонентов и канонической корреляцией. Процедуру STEPDISC можно использовать для выполнения пошагового дискриминантного анализа.

В программном пакете BMDP для выполнения пошагового дискриминантного анализа можно использовать программу Р7М. Но она не дает нормированные коэффициенты дискриминантной функции [19].

В Minitab дискриминантный анализ можно выполнить с помошью функции Stats>Multivariate>Discriminate Analysis. Она позволяет вычислить как линейный, так и квадратный дискриминантный анализ при разбиении (классификации) наблюдений на две или больше групп. Дискриминантный анализ недоступен в Excel (версия 7.0 для PC).

В центр* внимания Burke

Как и во множественном регрессионном анализе, использование дискриминантного анализа первоначально заключалось в предсказании и определении сравнительной важности независимых переменных. Главное отличие этих двух методов в том, что в рамках множественной регрессии используют зависимую переменную, выраженную в интервальной или относительной шкале, а в дискриминантном -- категориальную зависимую переменную. В то время как множественный регрессионный анализ можно использовать для определения степени покупательского интереса к данному товару, дискриминантный анализ только установит принадлежность человека к группе покупателей или непокупателей.

Один из вопросов для исследователя заключается в том, использовать "естественные группы" или "искусственно созданные". Например, если вас интересует возраст респондентов, то вы часто собираете данные по возрастным категориям, а не используете фактический возраст респондентов. В этом случае используемые категории определят результат анализа, в котором они должны выступать как зависимая переменная. Объединяя людей в усредненные возрастные группы, вы можете увидеть различия между ними. Взгляд на детальные данные позволит вам сделать определенные выводы о создании больших по размеру групп респондентов, исходя из любого частного показателя. В другой ситуации вы можете также собрать данные о том, проживает респондент один в квартире или с кем-то. Для описания условий проживания естественно использовать номинальные категории, поскольку трудно подобрать показатели, измеряемые по интервальной шкале. Если группы выбраны правильно, то это вселяет уверенность в качестве результатов.

В ходе проведенного Burke маркетингового исследования использования торговой марки получена следующая классификационная матрица. Каждому респонденту задали вопрос: старается ли он покупать товары определенной торговой марки? Далее попытались различить респондентов, исходя из их оценок выгод, которые приносит обладание данным товаром. Каждый респондент рассматривался с точки зрения того, придерживаются они покупок товара определенной торговой марки или нет. Из всей выборки 30% (60 человек) ответили, что они не стремятся купить товар определенной торговой марки, а 70% (202 человека) -- стремятся. Обычно при непропорциональном распределении групп среди населения ожидают, что большая по размеру группа будет предсказана с большей точностью по сравнению' с меньшей. Об этом свидетельствует тот факт, что если использовать для прогноза случай-1 ный выбор, то к первой группе (приверженцев торговой марки) будет отнесено 49% (0,7 * | 0,7), а ко второй 9% (0,3 * 0,3). Процент неверно классифицированных респондентов составит 42% от всего числа (0,3 * 0,7 + 0,7 * 0,3). Эта модель классифицирует меньшую группу 1 (неприверженцев торговой марки) менее точно, чем группу приверженцев, но все равно1 точнее, чем при отнесении респондентов к группе методом случайного выбора.

Кроме того, маркетологи выполнили перекрестную проверку с помощью программы SPSS. В этой программе дискриминантную модель пересчитывают столько раз, сколько респондентов в выборке. Каждый пересчет исключает одного респондента, и модель используется для отнесения его к определенной группе. Если нет возможности использовать большую проверочную выборку, то целесообразно выполнять перекрестную проверку для надежности расчета, поскольку в перекрестной проверке изучают каждого респондента по очереди. В этой ситуации перекрестная проверка приводит почти к такому же уровню точности, как и полная модель. Обратите внимание, что перекрестная проверка дает больше ошибок при предсказании респондентов меньшей группы.

Результат, полученный стандартным методом, иногда не подходит к альтернативным способам, с помощью которых менеджмент может пожелать интерпретировать модель в свете подразумеваемого использования результатов. Например, руководство спрашивает: "Если бы вы должны были предсказать, что данный респондент относится к группе неприверженцев торговой марки, то какова ожидаемая вероятность того, что вы правы?"' В этой ситуации (используя перекрестную проверку) специалисты фирмы Burke могли бы сказать: "Мы вправе ожидать, что предсказанное число респондентов, соответствующих группе "неприверженцы торговой марки", составило около 18% от всего числа опрошенных [(33 + 15)/262 = 0,18]."" При этой проверке следует ожидать, что будет верно отнесено примерно 69% респондентов (33/48 = 0,69). Результат, полученный стандартным путем, сразу не показывают руководству. Возвращаясь к методу случайного выбора, фирма Burke могла бы сказать руководителям: "Метод случайного отбора оценил бы количество неприверженцев торговой марки в 30%, и эта цифра была бы верна только на 43%" (т.е. доля выборки случайно отнесенной к группе "неприверженцы торговой марки" равна 0,3 * 0,7 + 0,3 * 0,3 = 0,30; доля верно классифицированных респондентов составляет 0,3 * 0,3/0,3 *0,7 = 43%). Но, увидев только процент верно классифицированных респондентов, нельзя оценить всю картину целиком.

Результаты классификации

Предсказанная групповая принадлежность

Примечание, а. Перекрестная проверка выполнена только дая случаев аналюируэмой выборки. При перекрестной проверке каждый случай классифицировали с помощью функций выведенных на основе всех случаев, а не этого одного случая. 34,7% от ясехслучаев в исходной группе классифицировано верно. 34,0% от всех случаев, для которых выполнена перекрестна* проверка, классифицировано верю.

РЕЗЮМЕ

Дискриминантный анализ целесообразно использовать, когда зависимая переменная является категориальной, а предикторы (независимые переменные) -- интервальными. Если зависимая переменная имеет две категории, то используемый метод известен как дискриминантный анализ для двух групп. Если анализируют три или больше групп, то метод называют множественным дискриминантным анализом.

Процедура дискриминантного анализа состоит из пяти шагов. Первый шаг -- формулирование проблемы, требует определения целей, зависимой и независимых переменных. Выборку делят на две части. Анализируемую выборку используют для вычисления дискриминантной функции; проверочную -- для проверки достоверности модели. Второй шаг -- определение функции, включает выведение такой линейной комбинации предикторов (дискриминантных функций), чтобы группы максимально возможно различались между собой значениями предикторов

Определение статистической значимости представляет собой третий шаг. Она включает проверку нулевой гипотезы о том, что в совокупности средние всех дискриминантных функции во всех группах равны между собой. Если нулевую гипотезу отклоняют, то имеет смысл интерпретировать результаты.

Четвертый шаг -- интерпретация дискриминантных весов или коэффициентов аналогична такой же стадии во множественном регрессионном анализе. Приданной чульти коллинеарности в предсказанных переменных не существует однозначной меры относительной важности предикторов в дискриминации ими групп. Однако некоторое представление об относительной важности переменных можно получить, изучив абсолютные значения нормированных коэффициентов дискриминантной функции и структуру корреляций или дискриминантных нагрузок. Эти коэффициенты линейной корреляции между каждым предиктором и дискриминантной функцией представляют дисперсию, которую предиктор делит вместе с функцией. Другим средством интерпретации результатов дискриминантного анализа является разработка характеристической структуры для каждой группы, исходя из групповых средних для предикторов.

Пятый шаг -- проверка достоверности. Она включает разработку классификационной матрицы. Дискриминантные веса, определенные с помощью анализируемой выборки, умножают на значения независимых переменных в проверочной выборке, чтобы получить дискриминантные показатели для случаев в этой выборке. Затем случаи распределяют по группам, исходя из дискриминантных показателей и соответствующего правила принятия решения. Определяют процент верно классифицированных случаев и сравнивают его с процентом случаев, которое можно ожидать на основе классификации методом случайного выбора

Для оценки коэффициентов существует два известных подхода. Прямой метод включает оценку дискриминантной функции при одновременном введении всех предикторов. Альтернативный ему пошаговый метод включает последовательное введение предсказанных переменных, исходя из их способности дискриминировать группы

Во множественном дискриминантной анализе, если имеется G групп и к предикторов можно оценить (G - 1) и меньше, чем (G - 1) или к дискриминантных функций. Первая функция имеет самое высокое значение отношения межгрупповой суммы квадратов к внутри-группооовой сумме квадратов. Вторая функция, некоррелирующая с первой, имеет второе по величине собственное значение и т.д.

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ и понятия

¦· /"-статистики и их значимость (/-values

and theirsignificance) ¦· анализируемая выборка (analysis sample)

групповыесредние (grouped means)

групповые стандартные отклонения (group standard deviations)

дискриминантная функция (discriminant function)

дискриминантный анализ (discriminant analysis)

* дискриминантный анализ для двух групп (two-groupdiscriminantanalysis)

дискриминантный показатель (discriminant score)

каноническая корреляция (canonical correlation)

классификационная матрица (classification matrix)

коэффицент 1 Уилкса {Wilks's л)

¦ коэффициент результативности (hit ratio)

пошаговый дискриминантный анализ (stepwise discriminant analysis)

проверочная выборка (validation sample)

прямой метод (direct method)

» собственное (характеристическое) значение (eigenvalue)

структурные корреляции (structure correlations)

территориальная карта (territorial map)

характеристическая структура (characteristicprofile)

центроид (centroid)

¦ коэффициенты дискриминантной функции (discriminant function coefficients)

метод Махаланобиса (Mahalanobisprocedure)

множественный дискриминантный анализ (multiple discriminant analysis)

модель дискриминантного анализа (discriminant analysis model)

нормированные коэффициенты дискриминантной функции (standardized discriminant function coefficients)

...