Теория и практика формирования познавательной компетентности старшеклассников в процессе обучения математике

Целостность педагогического взаимодействия названных характеристик обеспечивает гуманистически ориентированные отношения между субъектами учебно-воспитательного процесса, стимулирует у учащихся формирование опыта в сфере самостоятельной познавательной деятельности.

Достижение поставленных целей педагогического сопровождения развития познавательной самостоятельности старшеклассника сопряжено с изменением структуры урока (учебного занятия). Исходя из единства процессов формирования математической культуры и познавательной компетентности учащихся, усвоение основных дидактических единиц школьного курса математики предполагает проявление максимальной самостоятельности учащимся и, соответственно, со стороны учителя - создание условий для ее развития и проявления. Структурная композиция урока, наряду с обозначенными факторами педагогического взаимодействия, является важнейшим фактором в создании условий для проявления самостоятельности старшеклассников. В то же время урок в традиционной форме не в полной мере отвечает данному требованию.

Изменения в структуру урока вносятся в соответствии с принципами развивающего обучения, конструктивистской дидактики и логикой формирования опыта самостоятельной познавательной деятельности (см. Рисунок 12).

Рисунок 12 - Структурная модель комбинированного урока

После организационного момента, где учащимся сообщается тема, цели и задачи предстоящего урока, актуализируются знания, необходимые для изучения новой темы, ставится некоторая проблема - как правило, предлагается реальная ситуация практической направленности, требующая для своего решения от учащихся изучения нового учебного материала. Далее работа ведется в дифференцированных по уровню сформированности познавательной самостоятельности группах. Каждой группе предлагаются задания, оформленные в виде технологической карты по усвоению основных дидактических единиц и необходимые дидактические средства (справочники, средства ИКТ и др.), позволяющие им самостоятельно решить обозначенную проблему. В ходе самостоятельной, по сути - творческой работы, учителем оказывается дозированная помощь - при необходимости даются задания, позволяющие с минимальной подсказкой самим учащимся сформулировать некоторое свойство, правило, алгоритм, найти ответ на вопрос и решить поставленную проблему. Задания технологических карт дифференцированы по содержанию, по форме и по структуре, требуют для своего выполнения проявления познавательной самостоятельности различного уровня (см. Таблица 6, 7, 8). Так, если группе учащихся с низким уровнем познавательной самостоятельности предлагаются несложные задания, выводящие их на репродуктивный и частично-поисковой уровень работы (найти в учебнике (справочнике) изучаемое понятие, представить текстовые данные в виде таблицы и т.п.), то учащиеся с высоким уровнем познавательной самостоятельности выполняют задания с нечетко сформулированным условием, требующие в своем решении творческого подхода.

Значимое место в уроке занимает этап обобщения изученного. Дидактической целью этапа обобщения является не только систематизация полученных знаний, но и объяснение изучаемого материала с опорой на самостоятельно полученные знания учащимися, повторное первичное закрепление, рассмотрение наиболее сложных моментов. Средством обобщения и систематизации изученного выступает проблемная задача, поставленная в начале урока. В зависимости от полноты рассмотрения приемов ее решения на уроке, она может служить связующим звеном между урочной и внеурочной самостоятельной познавательной деятельностью старшеклассников.

Таким образом, данная структура урока способствует организации самостоятельного изучения нового учебного материала учащимися. Изменение структурной композиции урока позволяет опираться на полученные знания старшеклассников, организовать работу учащихся "в зоне ближайшего развития и саморазвития" на частично-поисковом и исследовательском уровнях.

В качестве примера приведем план хода урока по теме "Показательная функция" [17].

Цели урока:

- усвоить понятие показательной функции: сформулировать определение данной функции, определить ее свойства, выработать умения применять свойства показательной функции к решению задач;

- способствовать формированию познавательной компетентности старшеклассников;

- воспитывать нравственные качества коммуникативной деятельности.

Тип урока: комбинированный урок.

Применяемые методы, формы и дидактические средства обучения: частично-поисковый и поисковый методы работы учащихся, дифференцированно-групповая работа, задачи практического содержания, "задачи с измененной структурой условия".

План хода урока

I. Организационный момент. Постановка проблемной задачи.

В природе и технике часто встречаются процессы, для которых характерно одно и то же отношение величин за равные промежутки времени. Такая зависимость называется показательной. С помощью этой зависимости описывается, например, рост численности населения в стране, радиоактивный распад, рост продукции в условиях конкуренции, рост банковского вклада и др.

Примером такой задачи может служить следующая: "По данным Государственного доклада “О санитарно-эпидемиологической обстановке в Российской Федерации в 1997 году” на территории Новозыбковского района Брянской области основными дозообразующими радионуклидами в 1997 году являлись стронций-90 (90Sr) и цезий-137 (137Cs). Согласно данному источнику, максимальная мощность дозы g-излучения в 1997 году составляла на территории района 140 мкР/ч. Считая, что период полураспада 90Sr 28 лет, определите начальную мощность дозы g-излучения 90Sr на территории Новозыбковского района после аварии на ЧАЭС. Через сколько лет мощность дозы g-излучения 90Sr достигнет естественного? Для определенности безопасным считать уровень мощности дозы g-излучения до 20 мкР/ч."

К решению данной задачи мы вернемся в конце урока.

Сегодня, работая в группах, мы выясним, как выглядит график показательной функции, попытаемся самостоятельно сформулировать определение данной функции, определить ее свойства, научимся применять полученные теоретические знания к решению задач. Для построения графиков показательной функции мы будем использовать возможности ЭТ Excel (учителем даются необходимые пояснения по работе с электронной таблицей).

Выраженная региональная практическая направленность материала способствует принятию учебного материала как личностно-значимого.

II. Актуализация знаний учащихся.

А) Используя определение степени с рациональным показателем, найдите, если возможно, значения числовых выражений:

; ; ; ; ; ;; ; ; ; 36; ; ; ;

В ходе фронтальной работы актуализируется определение степени с рациональным показателем, свойства степени. Особое внимание уделяется ограничению a>0.

Б) С помощью каких преобразований получены графики следующих функции? Назовите исходную функцию. Как выглядит ее график?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

В ходе фронтальной беседы посредством дополнительных вопросов актуализируются знания старшеклассников об основных изученных функциях и их преобразованиях: "Что такое функция?", "Дайте понятие области определения функции?", "Что такое область значений функции?", "Какая функция называется возрастающей (убывающей)?", "Как построить график функции?".

III. Самостоятельная работа учащихся в группах

Формируются рабочие группы учащихся на основе результатов диагностики. Старшеклассникам предлагается самостоятельно выполнить задания, оформленные в виде технологической карты. Учитель опосредованно управляет работой учащихся в группах, оказывая "дозированную" помощь.

Введение понятия проводится конкретно-индуктивным методом. Применение различных алгоритмов работы с определением (см. Таблица 6) позволяет создать условия для самостоятельной формулировки учащимися определения показательной функции.

Построение графиков показательных функций с различными основаниями проводится с помощью электронной таблицы (ЭТ). Цель данного задания - в ходе частично-поисковой, поисковой или исследовательской работы (уровень работы учащегося определяется формулировкой условия) выявить области определения и значений данной функции, сформулировать ее свойства. Формулировка заданий позволяет также регулировать уровень познавательной самостоятельности работы старшеклассников и при выполнении упражнений, направленных на формирование умений и навыков по применению полученных теоретических знаний к решению задач.

Технологическая карта 1-й группы (очень низкий уровень познавательной самостоятельности)

Задания группе	Указания
1. Численность бактерий (в миллионах) со временем (в час) изменяется по закону y=2t . Определить, сколько бактерий было в конце 1-го, 2-го, 3-го, 4-го, 5-го часа наблюдения. Сколько миллионов бактерий будет в конце 10-го часа наблюдений? Сколько миллионов бактерий было за 2 часа до начала наблюдения?	Подставьте значение переменной t в формулу, отражающую зависимость числа бактерий от времени.
Наблюдался ли рост числа бактерий через 2 ч 12 мин с начала наблюдения? А через 3 ч 25 м 58 с с начала наблюдения? Есть ли такой временной интервал, на котором зависимость роста бактерий не соответствует закону y=2t? Почему?	Используйте свойство непрерывности времени.
Будет ли зависимость y=2t функциональной? Ответ обоснуйте?	Вспомните определение функции.
Зная, что зависимость y=аt называется показательной, дайте определение показательной функции.	Рассмотрите соответствие "Зависимость y=х называется линейной. Функция, заданная формулой y=х, называется линейной" и воспользуйтесь приемом аналогии.
Можно ли вычислить (-2)х? Почему? Как будет выглядеть график показательной функции при a=1?	Дайте определение степени с рациональным показателем.
С учетом выявленных особенностей уточните данное Вами определение показательной функции. Сверьтесь с учебником.
2. Заполните пропуски в предложениях: Функция, заданная формулой _________ (где а>0, a?1), называется показательной функцией с основанием а. ____________ называется функция, заданная формулой y=at (где а>0, a?1). Функция, заданная формулой y=at, называется показательной функцией с основанием а, если выполняются условия: _________. Функция, заданная формулой _______________, называется _______________ с основанием а.	Воспользуйтесь сформулированным Вами определением и определением, данным в учебнике
3. С помощью ЭТ постройте графики функций y=2x, y=5x, y=3.5x. Сделайте схематичные рисунки графиков в тетрадь. Что общего в поведении всех трех графиков (возрастают или убывают)? Какие основания степени у этих функций? Постройте графики функций . Сделайте схематичные рисунки графиков в тетрадь. Что общего в поведении этих трех графиков (возрастают или убывают)? Какие основания степени у этих функций? Сделайте вывод относительно свойств показательной функции в зависимости от основания, заполнив пропуски в предложении: "При a _____ показательная функция возрастает на всей своей области определения, при a ____ показательная функция убывает"	Воспользуйтесь функцией построения диаграмм в ЭТ Excel: Вставка-Диаграммы-Точечная Прочитайте пункт 35 учебника [17].
4. Анализируя полученные графики, сделайте вывод об области определения и области значений показательной функции. "Область определения показательной функции у=ах D(y)=… " "Область значений показательной функции у=ах E(y)=... ".	Выясните, какие значения может принимать: переменная X, переменная Y?
5. На основании полученных свойств схематично изобразите графики функций y=4х и y=(1/3)x	Обратите внимание на основание функции
6. Пользуясь свойствами показательной функции (убывание и возрастание в зависимости от значения основания а), проверьте истинность выражений: .	Воспользуйтесь схематичными графиками показательной функции.
7. Решите №449 а) б)	Существует ли число Объясните свой ответ.
8*. Какому из промежутков (-;0), (0;1), (1; +) принадлежит корень уравнения 3х=3,5.	Постройте схематично графики функций y=3х и y=3,5.

Технологическая карта 2-й группы (низкий уровень познавательной самостоятельности)

Задания группе	Указания
1. Уровень радиоактивности некоторого вещества изменяется со временем (в днях) по закону . Какова радиоактивность будет наблюдаться через 1, 2, 3, 4, 5 дней с начала измерения? Какова радиоактивность будет на 8-й день наблюдения? Какова она была за 3 дня до измерения?	Воспользуйтесь данной в условии зависимостью изменения радиоактивности со временем.
Наблюдалось ли изменение радиоактивности через 1,5 дня с начала наблюдения? А через 3,12345 дня с начала наблюдения? Существует ли такой временной интервал, на котором зависимость уровня радиоактивности данного вещества не соответствует закону ? Ответ обоснуйте?	Используйте свойство непрерывности времени.
Будет ли зависимость функциональной? Почему?	Вспомните определение функции.
Зная, что зависимость y=аt называется показательной, дайте определение показательной функции.	Рассмотрите соответствие "Зависимость y=х называется линейной. Функция, заданная формулой y=х, называется линейной".
Можно ли вычислить степень с рациональным показателем от отрицательного числа? Почему? Как будет выглядеть график показательной функции при a=1?	Дайте определение степени с рациональным показателем
С учетом выявленных особенностей уточните данное Вами определение показательной функции. Сверьтесь с учебником
2. Заполните пропуски в предложениях: Функция, заданная ______________ (где а>0, a?1), называется показательной функцией ______________. ____________ называется функция, заданная формулой y=at (где а>0, a?1). Функция, заданная формулой y=at, называется _________ функцией с основанием а, если выполняются условия: _________. Функция, заданная формулой _______________, называется _______________ с основанием а.	Воспользуйтесь сформулированным Вами определением и определением, данным в учебнике
3. С помощью ЭТ постройте графики функций y=3x, y=7.1x, y=10x. Сделайте схематичные рисунки графиков в тетрадь. Что общего в поведении всех трех графиков (возрастают или убывают)? Какие основания степени у этих функций? Постройте графики функций . Сделайте схематичные рисунки графиков в тетрадь. Что общего в поведении этих трех графиков (возрастают или убывают)? Какие основания степени у этих функций? Сделайте вывод, заполнив пропуски в предложении: "При a ... показательная функция возрастает на всей своей области определения, при a ... показательная функция убывает".	Воспользуйтесь функцией построения диаграмм в ЭТ Excel: Вставка-Диаграммы-Точечная Прочитайте пункт 35 учебника [17].
4. Анализируя полученные графики, сделайте вывод об области определения и области значений показательной функции. "Область определения показательной функции у=ах D(y)=... ". "Область значений показательной функции у=ах E(y)=... ".	Выясните, какие значения может принимать: переменная X, переменная Y?
5. На основании полученных свойств схематично изобразите графики функций y=5х и y=0,2x	Обратите внимание на основание.
6. Пользуясь свойствами показательной функции (убывание и возрастание в зависимости от значения основания а), проверьте истинность выражений:	Воспользуйтесь схематичными графиками показательной функции.
7. Какие из перечисленных ниже функций являются показательными? Какие из показательных функций возрастающие, какие убывающие? y=2x, y=x2, y=(-3)x, .	Показательная функция задается формулой y=ax, при a>0, a?1
7*. Какому из промежутков (-;0), (0;1), (1; +) принадлежит корень уравнения ?	Воспользуйтесь графиком показательной функции y=



Технологическая карта 3-й группы (средний уровень познавательной самостоятельности)

Задания группе	Указания
1. Рост бактерий (в млн.) в зависимости от времени наблюдения (в час.) описывается таблицей:	Установите, какова зависимость между числом бактерий и порядковым номером часа наблюдения. Подставьте соответствующее значение в полученную формулу.
	Время наблюдения	1	2	3	4	5	...
	Количество (в млн.)	2	4	8	16	32	...
Определить, какой зависимостью описывается рост бактерий? Каково будет число бактерий через год? Каково было число бактерий за 4 дня до начала наблюдений?
Можно ли вычислить количество бактерий через 2,5 дня с начала наблюдений? Через 3 дня 6 часов 27 мин 30 сек? Есть ли такой временной интервал, на котором зависимость количества бактерий от времени не соответствует полученному Вами закону? Почему?	Используйте свойство непрерывности времени.
Будет ли полученная Вами зависимость функциональной? Ответ обоснуйте?	Что такое функция?
Зная, что зависимость y=аt называется показательной, дайте определение показательной функции.	Проанализируйте определение Функция, заданная формулой y=х, называется линейной".
Можно ли вычислить степень с рациональным показателем от отрицательного числа? Почему? Как будет выглядеть график функции y=аx при a=1?	Дайте определение степени с рациональным показателем
С учетом выявленных особенностей основания a уточните данное Вами определение показательной функции.
2. Выпишите информационно-смысловые элементы определения, заполнив пропуски: А) показательная функция задается формулой _______; Б) показательная функция рассматривается при основании а_____________; В) функция y=аx при а>0, a?1 называется ______________; Г) функция, заданная ___________, где ________, называется ___________ с основанием ____.	Сверьте полученное Вами определение показательной функции с данным в учебнике.
3. С помощью электронной таблицы постройте графики функций y=2x, , y=5x, , y=3.5x. Сделайте схематичные рисунки графиков в тетрадь. Обратите внимание на поведение графиков в зависимости от основания. Сделайте вывод, заполнив пропуски в предложении: "При a ... показательная функция возрастает на всей своей области определения, при a ... показательная функция убывает"	Воспользуйтесь функцией построения диаграмм в ЭТ Excel: Вставка-Диаграммы-Точечная Прочитайте пункт 35 учебника [17]
4. Какова область определения и область значений показательной функции. "Область определения показательной функции у=ах D(y)=..." "Область значений показательной функции у=ах E(y)=... "	Используя полученные Вами графики, выясните, какие значения может принимать: переменная X, переменная Y?
5. На основании полученных свойств схематично изобразите графики функций y=6,77х и y=0,1x.	Обратите внимание на основание степени.
6. Для показательной функции остаются верными пять свойств степени, рассмотренные нами на прошлых уроках. Вспомните и запишите их.
7. Какой формулой задается данный график показательной функции?	Воспользуйтесь свойством степени a1=a.
8. Пользуясь свойствами показательной функции (убывание и возрастание функции в зависимости от значения основания а, свойства степени), сравните числа:.	Воспользуйтесь свойствами степени (am)n=amn, .
9.* Какому из промежутков (-;0), (0;1), (1; +) принадлежит корень уравнения .	Используйте графический способ решения уравнений.

Технологическая карта 4-й группы (уровень познавательной самостоятельности выше среднего)

Задания группе	Указания
1. Изменение радиоактивности некоторого вещества (в беккерелях) по годам представлено в таблице: Год 2006 2007 2008 2009 2010 Уровень радиоактивности 25 5 1 Определите, по какому закону изменяется уровень активности радиоактивного источника?	Перепишите данные таблицы в виде степени, используя свойство a - n = .
Какой уровень радиоактивности будет в 2012 году? Какой уровень радиоактивности был в 2004 году? Можно ли вычислить уровень радиоактивности на 24 ноября 2009 года? На любой момент рассматриваемого периода?	Учтите свойство непрерывности времени
Учитывая свойства степени с рациональным показателем, дайте определение показательной функции.	Функция, заданная формулой ______, называется показательной функцией с основанием _____. При этом а ____.
2. Выпишите информационно-смысловые элементы определения показательной функции.
3. Беря различные значения основания степени a и строя графики показательных функций, подметьте закономерность и сформулируйте свойство показательной функции y=ax, отражающее поведение ее графика в зависимости от значения а. Сделайте схематичные рисунки графиков в тетрадь. Сделайте вывод об области определения и области значений показательной функции, основываясь на полученных изображениях графиков.	Прочитайте пункт 35 учебника.
4. На основании полученных свойств схематично изобразите графики функций y= х и y=0,2x.
5. Будут ли верными для показательной функции пять свойств степени, рассмотренные нами на прошлых уроках? Ответ обоснуйте?
6. Какой из графиков соответствует функции ? а) б) в) среди указанных графика нет.	Как выполнить преобразования графика функции? Как определяется поведение графика показательной функции значением основания?
7. Вычислите .	Используйте свойства показательной функции.
8. Верно ли поставлен знак сравнения?	Сравните правую и левую части неравенства с единицей.
9*. Решите уравнение 3х=3,5.

Технологическая карта 5-й группы (высокий уровень познавательной самостоятельности)

Задания группе	Указания
1. Уровень активности радиоактивного источника (в кюри) представлен в таблице: Месяц октябрь ноябрь декабрь январь февраль март Уровень радиоактивности 9 3 1
Определите, по какому закону изменяется радиоактивность? Определите уровень радиоактивности источника в конце II-го квартала года наблюдения? Можно ли утверждать, что данному закону подвержен уровень активности радиоактивного источника в любой момент времени? Обоснуйте ответ. Учитывая, что данная зависимость называется показательной, дайте определение показательной функции.
2. Подметьте закономерность и сформулируйте свойство показательной функции y=ax, отражающее поведение графика функции в зависимости от значения а. Сделайте вывод об области определения и области значений показательной функции.	Постройте графики нескольких показательных функций, беря различные основания степени.
3. Как располагаются графики показательных функций по отношению друг к другу ? Сделайте схематичные рисунки в тетрадь.
4. Верны ли для показательной функции свойства степени, рассмотренные нами на прошлых уроках? Почему?
5. Для указанных функций найдите наибольшее и наименьшее значения: y=2x, y=2|x|, y=2sinx.
6. Вычислите .	Используйте свойства показательной функции.
7. Верно ли поставлен знак сравнения ?	Приведите правую и левую части неравенств к одному основанию степени.
8*. Решите уравнение .

Выполнение учащимися предложенных заданий требует от них разработки плана действий, обоснования полученных результатов, объяснения решения своим одноклассникам, работающим в группе, проведения контроля результатов. Применение последовательности "задач с изменой структурой условия" при усвоении понятия "показательная функция" позволяет, опосредованно управляя самостоятельной познавательной деятельностью старшеклассников, создавать условия для формирования у учащихся опыта саморегулируемого учения.

IV. Обобщение.

Обобщение изученного проводится в форме фронтальной беседы. Объяснение ведут учащиеся с более слабым уровнем сформированности познавательной самостоятельности. Данный прием позволяет оказывать влияние на мотивационно-волевые аспекты самостоятельной познавательной деятельности старшеклассников. В частности, получают удовлетворение потребности в достижениях, формируется положительный эмоциональный опыт познавательной деятельности у учащихся всех групп.

Вопросы для обобщения:

1. Дайте определение показательной функции. Выделите основные информационно-смысловые единицы в определении? Чем вызваны в определении ограничения на основание a (a>0, a1)?

2. Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими: ? Какая функция называется возрастающей (убывающей) на области своего определения? Как по виду показательной функции определить расположение ее графика?

3. Сравните выражения:

V. Решение проблемной задачи.

Решение проблемной задачи в полном объеме в классе не предусматривается - намечаются возможные пути ее решения. В частности, с учащимися рассматривается формула, задающая изменение мощности дозы g-излучения 90Sr. Учащимся предлагается, используя возможности электронной таблицы, смоделировать данный процесс и получить численные значения ответа.

Данный прием позволяет организовать взаимосвязь урочной и внеурочной познавательной деятельности старшеклассников.

VI. Подведение итогов урока, определение домашнего задания.

Учитель предлагает учащимся выделить знания, умения и навыки, полученные ими на уроке. Дифференцированно по группам определяется домашнее задание.

Большая часть всех уроков закрепления изученного проводится также с применением дифференцированно-групповой формы работы. Учащимся каждой группы предлагаются дифференцированные по сложности задачи преимущественно практического содержания, требующие поисковой учебной деятельности и направленные на закрепление рассмотренного ранее (с элементами нового, различными модификациями). Возрастание сложности заданий для групп выражается в качественных изменениях условий задач.

Приведем план хода урока практического применения знаний и умений.

Тема: "Иррациональные уравнения" ("Алгебра и начала математического анализа", 11 класс)

Цели урока:

Познавательные: обобщить усвоенные способы решения иррациональных уравнений и их систем, выработать умения отбирать рациональные методы решений данных уравнений и систем.

Развивающие: формировать опыт самостоятельной познавательной деятельности

Воспитывающие: способствовать формированию коллективизма, толерантности, воспитывать коммуникативные навыки.

Тип урока: урок обобщения знаний, умений и навыков.

Применяемые методы и дидактические средства обучения: преимущественное использование задач практического содержания, работа учащихся на уроке в референтных группах одноклассников, применение частично-поискового и поискового методов работы учащихся.

План хода урока

I. Организационный момент

Учащимся сообщаются цели и задачи предстоящей работы: повторить способы решения иррациональных уравнений, научиться по виду уравнения отбирать оптимальные способы решения.

II. Актуализация знаний. Проверка выполнения заданий домашней работы.

На этом этапе рассмотрены варианты выполнения учащимися заданий домашней работы и фронтально разобраны задания:

а) Какие из следующих уравнений являются иррациональными:

?

Дайте определение иррационального уравнения.

б) Найдите область определения функций:

.

в) Не решая следующих уравнений, объясните, почему каждое из них не может иметь корней:

.



III. Обобщение и систематизация изученного.

Форма работы - дифференцированно-групповая.

Учащиеся разбиваются на группы. Каждой группе предлагается к решению ряд заданий, дифференцированных по сложности. В ходе работы учителем оказывается дозированная помощь.

Дифференцированность заданий способствует тому, что практически все учащиеся могут самостоятельно их выполнить. Тем самым, выполняя работу, старшеклассники приобретают положительный эмоциональный опыт самостоятельной познавательной деятельности. Задания требуют переноса теоретических знаний на практику, способствуют формированию умений проводить отбор наиболее рациональных методов решения. Выполнение ряда заданий предполагает обращение учащихся к справочной литературе по методам решения уравнений и систем уравнений, что также способствует формированию и совершенствованию умений старшеклассников ведения самостоятельной познавательной деятельности.

Группам предлагаются следующие задания.

Технологическая карта 1-й группы

(очень низкий уровень познавательной самостоятельности)

Задача №1. Возведя обе части уравнения в квадрат, решите уравнение .

Задача №2. Закончите решение уравнения

Задача №3. Какие из чисел являются корнями уравнения ? Имеет ли данное уравнение еще корни?

Задача №4*. Проверьте, верно ли решено уравнение ?

"Подстановка:

Имеем Откуда

Ответ: -1."

Технологическая карта 2-й группы (низкий уровень познавательной самостоятельности)

Задача №1. Какие из чисел 2, 1, -1, 0, -2 являются корнями уравнения ?

Задача №2. Закончите решение

Задача №3. Верно ли начато решение уравнения ?

Вычислите корни данного уравнения.

Задача №4*. Введя новую переменную, решите уравнение .

Технологическая карта 3-й группы

(средний уровень познавательной самостоятельности)

Задача №1. После возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения было получено следующее равенство: 3x2+6x+1=49-14x+x2. Восстановите первоначальный вид уравнения и решите его.

Задача №2. Какой из методов решения для данного уравнения наиболее рациональный а) метод возведения обеих частей в квадрат или б) метод подстановки?

Задача №3. Воспользуйтесь равносильным переходом и решите уравнение .

Задача №4*. Решите уравнение .

Технологическая карта 4-й группы (уровень познавательной самостоятельности выше среднего)

Задача №1. Решите уравнение .

Задача №2. На основании определение арифметического квадратного корня при решении иррационального уравнения была получена система

Восстановите первоначальный вид уравнения и решите его.

Задача №3. Некоторое иррациональное уравнение решали методом подстановки (введена новая переменная y) и получили следующую запись:

Восстановите исходный вид этого уравнения и решите его другим методом.

Задача №4*. Решите уравнение наиболее рациональным методом . Указание: используйте умножение на сопряженное выражение.

Технологическая карта 5-й группы

(высокий уровень познавательной самостоятельности)

Задача №1. Решите уравнения, выбирая наиболее рациональные методы решений:



а)

б);

в) .

Задача №2. Составьте уравнение, соответствующее равносильному переходу в своем решении к системе . Решите составленное уравнение.

Задача №4*.

IV. Обобщение. Подведение итогов.

Для подведения итогов урока представителям групп предлагается выписать на доске методы решения иррациональных уравнений, примененные учащимися в ходе работы, и соответствующие примеры. После выступлений старшеклассников, учителем делается обобщение, выделяются следующие методы решения иррациональных уравнений: а) возведение обеих частей уравнения в степень; б) сведение исходного уравнения к системе уравнения и неравенства; в) введение вспомогательных неизвестных; г) умножение обеих частей уравнения на некоторое, не обращающееся в нуль, выражение; д)* метод выделения полного квадрата в подкоренном выражении.

Для фронтальной работы предлагается следующее задание, позволяющее обобщить изученные методы решения иррациональных уравнений:

"Какие методы обоснованно применить для решения следующих уравнений? В чем сущность данных методов решения иррациональных уравнений:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .?"

V. Определение домашнего задания. Подобрать в учебнике или составить пример на каждый рассмотренный метод решения иррациональных уравнений.

4 этап. Оперативная обратная связь, диагностика уровня сформированности компетентности познавательной самостоятельности учащегося.

Оперативная диагностика уровня сформированности познавательной самостоятельности старшеклассников осуществляется непосредственно в ходе усвоения учащимися программного материала по математике. Эффективности диагностики способствует применение дифференцированно-групповой формы работы учащихся на уроке. Данная форма работы определяет возможность оказания оперативной дозированной помощи старшеклассникам со стороны учителя (в том числе, могут быть предложены задания более низкого уровня сложности).

5 этап. Коррекция процедур обучения в случае несовпадения результатов с поставленными целями формирования познавательной компетентности и ее компонентов, а также требованиями учебной программы по математике.

Для проведения корректировочных процедур предусматривается ведение уроков в традиционной форме и организация внеурочной корректирующей деятельности по предмету (дополнительные занятия и др.). Четвертая-пятая часть уроков (в зависимости от сложности темы, общего усвоения учебного материала старшеклассниками и др.), отводимых на изучение темы проводится по традиционной методике. Это уроки закрепления и систематизации изученного. Основная дидактическая цель таких уроков - обобщение и, возможно, корректировка знаний, полученных учащимися в ходе самостоятельной работы. Одной из задач данных уроков - выявление степени достижения каждым учащимся поставленной цели развития познавательной самостоятельности.

6 этап. Оценка результатов, постановка перспективных целей формирования познавательной компетентности старшеклассника.

Оценка достигнутого уровня развития компетентности познавательной самостоятельности направлена на анализ достижения поставленных целей и выявление сформированности умений и навыков самостоятельной познавательной деятельности: отбора информации (акцентирование внимания, приемы запоминания и др.); конструирования целостного образа из отдельных единиц учебной информации и оперирование им; проводить закрепление учебного материала, применять теоретические знания на практике; уровень интеграции и обобщенности знаний, наличие личностной составляющей в усвоенном знании - оперирование знаниями "в личных целях".

Кроме того, данный этап предполагает выполнение диагностики социально-коммуникативной компетентности и отношений учащихся между собой с целью выполнения условия работы учащихся в референтных группах.

Проектирование дальнейшей деятельности предполагает оценку качества педагогического сопровождения и постановку перспективных целей формирования познавательной компетентности через конкретные ориентиры развития познавательной самостоятельности учащихся, что позволяет реализовать цикличность этапов технологии.

Обобщая сказанное, отметим, что в основе разработки технологии формировании познавательной компетентности старшеклассников лежит спроектированная целостная модель педагогического сопровождения формирования опыта саморегулируемой познавательной деятельности старшеклассника в процессе обучения математике в поликультурном образовательном пространстве школы.

Система процедур педагогического сопровождения, включающая в себя процедуры проектирования, организации и формирования познавательной компетентности старшеклассников, отвечает всем характеристикам педагогической технологии: разработана под конкретный педагогический замысел на основе определенной методологической позиции; предполагает предварительное проектирование структуры и содержания учебно-познавательной деятельности учащегося; определяет строгое следование технологической цепочке педагогических действий; предполагает диалогическое сотрудничество педагога и учащегося на основе оптимальной реализации человеческих и технических возможностей; содержит диагностические процедуры на основе разработанных критериев, предложенной системы инструментария измерения результатов деятельности, позволяющих провести объективный контроль качества усвоения учащимися учебного материала и развития личности; подчинена требованию соблюдения принципа целостности структуры и содержательности компонентов учебно-воспитательного процесса; обладает свойствами воспроизводимости и гарантированности Поскольку развитие личности всегда индивидуально и обусловлено, во многом, объективными условиями внешней среды, формализованное описание конкретных личностных изменений практически невозможно. Как следствие, реализация педагогических технологий всегда имеет в определенной степени вероятностный характер. достижения планируемых результатов (В.П. Беспалько) [35].

Особенностью реализации предлагаемой технологии является усвоение всеми учащимися некоторого содержания по математике требуемого объема при работе различными методами, доступными для учащихся. Создается реальная возможность усвоения школьного курса математики на уровне, определяемом учебными программами, и, одновременно, достижение цели формировании познавательной компетентности старшеклассников посредством развития у них познавательной самостоятельности и ее компонентов-компетентностей.

Разработанная педагогическая система формирования познавательной компетентности старшеклассников в процессе обучения математике прошла апробацию. Рассмотрим опыт реализации разработанной технологии, выявим эффективность отдельных методических систем и эффективность спроектированной педагогической системы в целом.

4.2 Педагогическая оценка эффективности методических систем формирования опыта самостоятельной познавательной деятельности старшеклассников в процессе обучения математике

В основу понимания эффективности методической системы правомерно положить определение качества процессов формирования опыта самостоятельной познавательной деятельности старшеклассника в процессе обучения математике. Как следствие, эффективность средств и форм формирования познавательной компетентности учащегося целесообразно рассматривать в контексте создания педагогических условий, направленных на удовлетворение потребности старшеклассника в самоуправляемом познании.

Ключевой особенностью спроектированной модели и разработанной педагогической технологии является формирование опыта самостоятельной познавательной деятельности учащихся посредством развития отдельных подструктур-компетентностей его сущностной основы - познавательной самостоятельности.

В ходе теоретического обоснования методических систем была показана зависимость стратегий познавательной деятельности старшеклассника от формулировки условия математических задач (заданий). Тем самым, важнейшей составляющей педагогической технологии являются "задачи с измененной структурой условия". Организация усвоения основных дидактических единиц школьного курса математики посредством предъявления последовательности данных задач, как отмечалось, создает условия для формирования всех подструктур опыта самостоятельной познавательной деятельности учащегося и особенно - когнитивной и функциональной компетентностей познавательной самостоятельности.

С целью педагогической оценки эффективности применения "задач с изменой структурой условия" как средства формирования познавательной компетентности старшеклассников в процессе усвоения учащимися основных дидактических единиц школьного курса математики был проведен локальный эксперимент. Экспериментальная работа проведена при подготовке нами диссертации на соискание степени кандидата педагогических наук на базе 10-11-х классов средних школ №1 и №6 г. Новозыбкова Брянской области (в эксперименте приняли участие 70 старшеклассников экспериментальной группы (ЭГ) и 72 учащихся контрольной группы (КГ) [224, c.115-123]) и в 2008-2009 учебном году на базе средней школы №1 и гимназии г. Новозыбкова (экспериментальную группу составили 46, контрольную - 49 учащихся 10-х классов). Таким образом, в эксперименте приняли участие 237 учащихся (116 школьников - экспериментальная группа, 121 старшеклассник - контрольная).

При изучении большинства тем школьного курса алгебры и начал анализа в классах, учащиеся которых составили экспериментальную группу, на уроках закрепления и систематизации знаний и умения применялись "задачи с измененной структурой условия" как средство педагогического сопровождения формирования познавательной компетентности старшеклассников в процессе усвоения учащимися основных дидактических единиц школьного курса математики. Данные задачи требовали, в своем большинстве, поискового и исследовательского методов работы, выявление зависимости между данными и формулировки условия, отбор ответа, выбор эффективного способа решения и др. На уроках в контрольных классах использовались стандартные задания из учебников, практиковались традиционные методы и формы обучения. Уроки в экспериментальных и контрольных классах строились, исходя из дидактических, воспитательных и развивающих целей и задач, степени сложности изучаемого материала, с учетом особенностей учащихся каждого класса.

Приведем примеры заданий, используемых в экспериментальной в контрольной группах в процессе эксперимента:

Задания, используемые в процессе обучения в экспериментальной группе	Задания, используемые в процессе обучения в контрольной группе
Какую последовательность образует ряд чисел: ? Укажите какие-либо числа и такие, что число находится между числами данного ряда, а - продолжает его.	Запишите числа в порядке возрастания
Найдите значение , если .	Найдите значение , если
Какой многочлен необходимо разделить на , чтобы получить ?	Выполните деление "уголком" на
Укажите многочлен, который делится без остатка на многочлен	Докажите, что многочлен делится без остатка на многочлен
Разложите на множители многочлен . Можно ли указать несколько способов группировки одночленов?	Разложите многочлен на множители

Степень влияния "задач с измененной структурой условия" на развитие и совершенствование умений и навыков ведения самостоятельной познавательной деятельности отслежена путем сопоставления уровней развития когнитивной и функциональной компетентностей познавательной самостоятельности до и после проведения эксперимента. На начало эксперимента (в 1998-1999 и в 2008-2009 учебных годах) учащимся контрольных и экспериментальных групп был предложен стимульный материал, в котором дано определение матрицы, введено понятие определителя квадратной матрицы, на конкретном примере показано, как вычислить определитель второго порядка. Учащимся предлагалось найти значение определителя второго порядка, составить и записать план устного ответа по теме, записать алгоритм вычисления определителя второго порядка. После проведения эксперимента старшеклассники выполняли аналогичное задание: в предлагаемом учебном тексте раскрывалось понятие сочетания из n элементов по k элементов, приведена формула вычисления числа сочетаний, конкретный пример с использованием этой формулы. Учащимся предлагалось решить подобную рассмотренной задачу, составить и записать план устного ответа по теме, записать алгоритм вычисления числа сочетаний из n элементов по k элементов.

Полученные до и после проведения эксперимента ответы старшеклассников были проанализированы, исходя из следующих положений: разработка учащимся алгоритма (даже с некоторыми ошибками) считалась проявлением высокого уровня сформированности когнитивной и функциональной компетентностей (материал учащемуся не знаком, затруднительна для восприятия терминология, проведено обобщение частного случая на целый класс задач, в тексте выделены ключевые положения); средний уровень сформированности рассматриваемых компетентностей характеризует представленный план устного ответа (учебный текст осознан учащимся, выделено главное в содержании, сложилось целостное представление о предмете); выполнение действий по аналогии считалось проявлением низкого уровня сформированности когнитивной и функциональной компетентностей познавательной самостоятельности.



Таблица 9 - Показатели уровня сформированности когнитивной и функциональной компетентностей опыта самостоятельной познавательной деятельности у старшеклассников, выявленные в ходе эксперимента*

Период выполнения контрольных заданий	Группа**	Всего учащихся	Уровень сформированности когнитивной и функциональной компетентностей	Не справились с заданием
			Высокий	Средний	Низкий
На начало эксперимента	ЭГ	116 (70 / 46)	23 (15 / 8)	18 (7 / 11)	34 (21/13)	41 (27 / 14)
	КГ	121 (72 / 49)	26 (17 / 9)	18 (6 / 12)	37 (21/16)	40 (28 / 12)
На конец эксперимента	ЭГ	116 (70 / 46)	29 (18 / 11)	25 (11 /14)	34 (23/11)	28 (18 / 10)
	КГ	121 (72 / 49)	24 (16 / 8)	20 (7 / 13)	38 (23/15)	39 (26 / 13)

Результаты выполнения старшеклассниками контрольных заданий на начало и на конец эксперимента представлены в таблице 9, динамика показателей по результатам двух экспериментов - на рисунке 13.

* Представление данных: Всего / (1997-1998/2008-2009 уч. год)

** ЭГ - экспериментальная группа, КГ - контрольная группа

Рисунок 13.

Изменения в различии распределения уровней сформированности когнитивной и функциональной компетентностей опыта самостоятельной познавательной деятельности старшеклассников экспериментальной и контрольной групп, проявившиеся в ходе эксперимента, отслежены с помощью критерия Колмогорова-Смирнова. При отвержении, в целом, нулевой гипотезы (лкр(0,05)=1,358), регистрируются значимые показатели критерия в сравнении различий: для контрольной (КГ) и экспериментальной (ЭГ) групп на начало и конец эксперимента; для экспериментальной группы до и после эксперимента Здесь и далее расчеты проведены в электронной таблице Excel 5.0. Граничные значения критериев отслежены по таблицам: URL: http://statexpert.org.:

	ЭГ до эксперимента	КГ до эксперимента	ЭГ после эксперимента	КГ после эксперимента
ЭГ до эксперимента	-
КГ до эксперимента	0,169	-
ЭГ после эксперимента	0,854	0,685	-
КГ после эксперимента	0,239	0,131	0,616	-

Влияние эксперимента на социально-коммуникативную компетентность познавательной самостоятельности выявлено посредством методики определения силы познавательной потребности [312]. Динамика в развитии личностных особенностей отслежена на примере изменения уровня силы воли [185]. Результаты исследований представлены в таблице 10 и на рисунках 14, 15. При этом, как показывает анализ, динамика сформированности социально-коммуникативной компетентности, развития индивидуальных характеристик и сформированности мета-компетентности познавательной самостоятельности учащихся старших классов, зафиксированная в ходе эксперимента, статистически незначима.

Таблица 10 - Показатели уровня сформированности социально-коммуникативной компетентности опыта самостоятельной познавательной деятельности у старшеклассников, выявленные в ходе эксперимента*

Компонент опыта самостоятельной познавательной деятельности	Период тестирования	Группа**	Всего учащихся	Уровень сформированности компетентности
				Высокий	Средний	Низкий
Социально-коммуникативная компетентность (сила познавательной потребности)	На начало эксперимента	ЭГ	116 (70 / 46)	15 (10 / 5)	46 (29/17)	55 (31/24)
		КГ	121 (72 / 49)	21 (14 / 7)	50 (31/19)	50 (27/23)
	На конец эксперимента	ЭГ	116 (70 / 46)	19 (12/7)	54 (36/18)	43 (22/21)
		КГ	121 (72 / 49)	20 (13/7)	54 (34/20)	47 (25/22)
Индивидуальные характеристики, мета-компетентность (сила волевой саморегуляции)	На начало эксперимента	ЭГ	116 (70 / 46)	43 (26/17)	53 (33/20)	20 (11/9)
		КГ	121 (72 / 49)	49 (28/21)	56 (35/21)	16 (9/7)
	На конец эксперимента	ЭГ	116 (70 / 46)	46 (28/18)	57 (34/23)	13 (8/5)
		КГ	121 (72 / 49)	50 (28/22)	57 (36/21)	14 (8/6)
* Представление данных: Всего / (1997-1998/2008-2009 уч. год) ** ЭГ - экспериментальная группа, КГ - контрольная группа

Рисунок 14.

Результаты локального эксперимента подтверждают теоретические обоснования применения при организации усвоения основных дидактических единиц школьного курса математики "задач с измененной структурой условия" для формирования когнитивной и функциональной сторон саморегулируемого учения старшеклассников. Вместе с тем, эксперимент показал, что для многих старшеклассников данные задачи сложны; необходим более полный учет индивидуальных характеристик учащихся в процессе обучения.

Рисунок 15.

Средством дифференциации в обучении математике и формировании опыта самостоятельной познавательной деятельности старшеклассников, как было обосновано, является дифференцированно-групповая работа учащихся. Педагогическая оценка эффективности ее применения при усвоении учащимися основных дидактических единиц школьного курса математики на уроке проведена посредством локального эксперимента. В эксперименте приняли участие: в 1997-1998 учебном году - 66 учащихся экспериментальной группы и 73 старшеклассника контрольной группы (база: средняя школа №4 г. Новозыбкова Брянской области, школа-гимназия №7 Советского района г. Брянска); в 2008-2009 учебном году - 45 учащихся 11-х классов средней школы №1 и гимназии г. Новозыбкова составили экспериментальную, а 48 школьников - контрольную группу. Всего в локальном педагогическом эксперименте приняли участие 232 учащихся (111 старшеклассников составили экспериментальную, 121 - контрольную группу).

Уроки в экспериментальных и контрольных классах строились, исходя из дидактических, воспитательных и развивающих целей и задач, степени сложности изучаемого материала, с учетом особенностей учащихся каждого класса. При изучении ряда тем в классах, учащиеся которых составили экспериментальную группу, на уроках математики практиковалась групповая форма работы. Первичное деление учащихся на группы проведено на основе результатов тестирования по методике ШТУР [81]: учащиеся каждого экспериментального класса разделены на 5-6 групп (в зависимости от наполняемости класса). Методика выбрана с целью учета сформированности операций мышления как основы самостоятельной познавательной деятельности учащихся. Корректировка состава групп проведена с учетом межличностных отношений их участников. На уроках в ко...